KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI KUADRAT

Untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, kita harus memahami konsep dasar dalam fungsi kuadrat meliputi bentuk umum fungsi kuadrat itu sendiri, nilai diskriminan fungsi kuadrat dan bagaimana pengaruh nilai tersebut terhadap bentuk dan sifat grafik fungsi kuadrat, dan cara menggambar grafik fungsi kuadrat. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, maka rumus yang kita perlukan adalah rumus untuk menentukan sumbu simetri parabola, rumus menentukan nilai ekstrim dan titik balik, dan tentu saja cara menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Bentuk dan karakteristik dari suatu grafik fungsi kuadrat sangat bergantung pada nilai kontstanta a,b,c dan nilai diskriminannya.

Kumpulan Soal Fungsi Kuadrat

Soal 1
Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x² - 20x + 1.

Pembahasan
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi kuadrat pada soal diperoleh a = 5 dan b = -20.
x = -b/2a
⇒ x = -(-20)/2(5)
⇒ x = 20/10
⇒ x = 2
Jadi sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x² - 20x + 1 adalah x = 2.

Soal 2

Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)² + 3.

Pembahasan
Terlebih dahulu kita uraikan fungsi kuadrat di atas menjadi :
F(x) = 2(x + 2)² + 3
⇒ F(x) = 2(x² + 4x + 4) + 3
⇒ F(x) = 2x² + 8x + 8 + 3
⇒ F(x) = 2x² + 8x + 11
Dari fungsi di atas diperoleh a = 2, b = 8.

Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -8/2(2)
⇒ x = -8/4
⇒ x = -2
y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(-2)
⇒ y = 2(-2)² + 8(-2) + 11
⇒ y = 2(4) - 16 + 11
⇒ y = 8 - 16 + 11
⇒ y = 8 - 16 + 11
⇒ y = 3
Jadi, titik balik untuk fungsi kuadrat  F(x) = 2(x + 2)² + 3 adalah (-2,3).

Soal 3

Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x - 6)(x + 2).

Pembahasan
Uraikan persamaan di atas menjadi :
y = (x - 6)(x + 2)
⇒ y = x²  + 2x - 6x - 12
⇒ y = x²  - 4x - 12
Dari persamaan di atas diperoleh a = 1 dan b = -4.

Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -(-4)/2(1)
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2
y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(2)
⇒ y = 2²  - 4(2) - 12
⇒ y = 4 - 8 - 12
⇒ y = -16
Jadi, titik balik fungsi kuadrat y = (x - 6)(x + 2) adalah (2,-16).

Baca juga : Kumpulan Soal SBMPTN tentang Fungsi Kuadrat.

Soal 4
Jika grafik fungsi y = x² + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan nilai p dan k.

Pembahasan
Dari y = x² + px + k diperoleh a = 1, b = p dan c = k.
Titik puncak (1,2) maka x = 1 dan y = 2.
x = -b/2a = 1
⇒ -b/2a = 1
⇒ -p/2 =1
⇒ p = -2
y = y(-b/2a) = y(1) = 2
⇒ x² + px + k = 2
⇒ (1)² + -2(1) + k = 2
⇒ 1 - 2 + k = 2
⇒ k = 2 + 1
⇒ k = 3
Jadi, p = -2 dan k = 3.

Rumus Umum Fungsi Kuadrat

Soal 1

Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x² - 2x  - 2 dengan sumbu x dan sumbu y.

Pembahasan 
(Perbaikan : soalnya salah ketik seharusnya y = 3x² - x  - 2)
Titik potong pada sumbu x dapat diperoleh jika y = 0.
3x² - 2x  - 2 = 0
⇒ (3x + 2)(x - 1) = 0
⇒ x1 = -2/3 dan x2 = 1
Maka titik potongnya (-2/3,0) dan (1,0).

Titik potong pada sumbu y dapat diperoleh dengan x = 0.
⇒ y = 3x² - x  - 2
⇒ y = 3(0)² - (0)  - 2
⇒ y = -2
Maka titik potongnya (0,-2).

Read more : Soal dan Jawaban Membentuk Fungsi Kuadrat.

Cara Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Kumpulan Soal Grafik Fungsi Kuadrat

1. Ke arah manakah grafik fungsi f(x) = x² harus digeser untuk memperoleh grafik fungsi kuadart f(x) = x² - 6x + 7.
   
   Pembahasan 
   Fungsi kuadrat f(x) = x² memiliki nilai :
   ⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas.
   ⇒ b = 0 sehingga titik balik parabola berada pada sumbu y.
   ⇒ c = 0 sehingga grafik parabola melalui titik (0,0).
   
   Fungsi kuadrat f(x) = x² - 6x + 7 memiliki nilai :
   ⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas
   ⇒ b = -6 maka a.b = -6 < 0 sehingga titik balik ada di kanan sumbu y.
   ⇒ c = 7 > 0 sehingga parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
   
   Karena titik balik ada di kanan sumbu y, berarti grafik f(x) = x² harus digeser ke arah kanan sumbu x. Untuk lebih jelasnya kita dapat menentukan terlebih dahulu titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
   ⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 3
   ⇒ nilai ekstrim = y = f(-b/2a) = f(3) = 3² - 6(3) + 7 = -2
   ⇒ titik balik = (x,y) = (3,-2)
   
   Ingat bahwa grafik  f(x) = x² melalui titik (0,0) sedangkan grafik f(x) = x² - 6x + 7 melalui titik (3,-2), maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x² - 6x + 7 dengan menggeser grafik fungsi kuadrat f(x) = x² ke arah kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu y sejauh 2 satuan seperti gambar di bawah ini :
   
   

   

   
   
   
2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x + 5.
   
   Pembahasan 
   Dari soal diperoleh a = 1, b = 2 dan c = 5. Tentukan titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
   ⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -2/2(1) = -1
   ⇒ nilai ekstrim = y = f(-1) = (-1)² + 2(-1) + 5 = 4
   ⇒ titik balik = (x,y) = (-1,4) berarti parabola tidak memotong sumbu x.
   ⇒ titik potong pada sumbu y = (0,c) = (0,5)
   
   maka grafik untuk y = x² + 2x + 5 adalah seperti berikut ini :
   
   

   

   
   Jika dianalisis berdasarkan nilai a, b, c dan diskriminan, kita dapat membuktikan bahwa grafik di atas sesuai atau tidak.
   ⇒ a = 1 → a > 0 : parabola terbuka ke atas.
   ⇒ b = 2 → a.b = 1(2) = 2 → a.b > 0 : titik balik di kiri sumbu y.
   ⇒ c = 5 → c > 0 : parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
   ⇒ D = b² - 4ac = 4 - 4(1)(5) = - 16 : grafik tidak memotong sumbu x karena D < 0.
   
   
3. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3).
   
   Pembahasan 
   Misalkan fungsi kuadrat f(x) =  ax² + bx + c maka kita harus mencari nilai a, b, dan c.
   Titik balik minimum (1,2) maka :
   sumbu simetri = x = 1
   ⇒ -b/2a = 1 maka b = -2a
   nilai ekstrim = y = 2
   ⇒ f(-b/2a) = 2
   ⇒ a(1)² + b(1) + c = 2
   ⇒ a + b + c = 2 → ganti b dengan -2a.
   ⇒ a - 2a + c = 2
   ⇒ -a + c = 2
   
   Melalui titik (2,3), maka :
   ⇒ f(2) = 3
   ⇒ a(2)² + b(2) + c = 3
   ⇒ 4a + 2b + c = 3
   ⇒ 4a + 2(-2a) + c = 3
   ⇒ 4a - 4a + c = 3
   ⇒ c = 3
   Substitusi nilai c = 3 ke persamaan -a + c = 2.
   ⇒ -a + 3 = 2
   ⇒ -a = -1
   ⇒ a = 1
   Karena a = 1 maka :
   ⇒ b = -2a
   ⇒ b = -2(1)
   ⇒ b = -2
   Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya melalaui titik (2,3) dan titik balik minimum (1,2) adalah : x² - 2x + 3.

Baca juga : Pembahasan Contoh Soal Cerita Fungsi Kuadrat.

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.