Sudut ganda atau sudut rangkap adalah dua kali sudut tertentu (2α), dengan α adalah sudut tunggal. Pada trigonometri sudut ganda akan dibahasa beberapa materi yaitu rumus sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. Rumus-rumus tersebut juga akan digunakan sebagai acuan dalam penentuan rumus trigonometri sudut setengah (½α).
Pada dasarnya, rumus trigonometri sudut ganda mengikuti suatu kaidah khusus yang dapat kita manfaatkan untuk menentukan nilai perbaningan trigonometri suatu sudut. Rumus-rumus trigonometri sudut ganda diturunkan dari rumus trigonometri jumlah dua sudut yang telah dibahas pada artikel sebelumnya.
Pada dasarnya, rumus trigonometri sudut ganda mengikuti suatu kaidah khusus yang dapat kita manfaatkan untuk menentukan nilai perbaningan trigonometri suatu sudut. Rumus-rumus trigonometri sudut ganda diturunkan dari rumus trigonometri jumlah dua sudut yang telah dibahas pada artikel sebelumnya.
Rumus untuk sin 2α diturunkan dari rumus sin (α + β). Jika β = α, maka bentuk tersebut akan menjadi sin (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut, maka diperoleh :
sin 2α = sin (α + α)
⇒ sin 2α = sin α .cos α + cos α sin α
⇒ sin 2α = 2 sin α .cos α
Kumpulan Soal dan Pembahasan
- Dengan menggunakan konsep sin 2α, nyatakan sin α dalam perbandingan trigonometri ½α.
Pembahasan :
sin α = sin 2 (½α)
⇒ sin α = 2 sin ½α cos ½α
Jadi, sin α = 2 sin ½α cos ½α - Jika diketahui α adalah sudut lancip dengan sin α = ⅗, maka hitunglah nilai dari sin 2α.
Pembahasan :
Ingat, karena sin α = ⅗, maka cos α = ⅘.
sin 2α = 2 sin α cos α
⇒ sin 2α = 2 (⅗) (⅘)
⇒ sin 2α = 24⁄25
Jadi, sin 2α = 24⁄25.
- Diketahui 3α = (2α + α), buktikan bahwa sin 3α = -4 sin3α + 3sin α.
Pembahasan :
sin 3α = -4 sin3α + 3sin α
⇒ sin (2α + α) = -4 sin3α + 3sin α
⇒ sin 2α cos α + cos 2α sin α = -4 sin3α + 3sin α
⇒ (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin2α) sin α = -4 sin3α + 3sin α
⇒ 2 sin α cos2α + (sin α − 2 sin3α) = -4 sin3α + 3sin α
⇒ 2 sin α cos2α + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
Ingat bahwa cos2α = 1 − sin2α, sehingga :
⇒ 2 sin α (1 − sin2α) + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
⇒ 2 sin α − 2 sin3α + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
⇒ 3 sin α − 4 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
⇒ -4 sin3α + 3 sin α = -4 sin3α + 3sin α
(Terbukti).
- Jika ABC adalah sudut dalam segitiga, tunjukkanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
Pembahasan :
Karena segitiga, maka A + B + C = 180o = π.
A = π - (B + C)
⇒ 2A = 2π - (2B + 2C)
⇒ sin 2A = sin {2π - (2B + 2C)}
⇒ sin 2A = sin 2π cos (2B + 2C) − cos 2π sin (2B + 2C)
⇒ sin 2A = 0. cos (2B + 2C) − (1) sin (2B + 2C)
⇒ sin 2A = -sin (2B + 2C)
⇒ sin 2A = -{sin 2B cos 2C + cos 2B sin 2C)
⇒ sin 2A = -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C
Selanjutnya, substitusi sin 2A ke soal yang ditanya.
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
⇒ -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
⇒ -sin 2B cos 2C + sin 2B − cos 2B sin 2C + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
⇒ sin 2B (1 − cos 2C) + sin 2C (1 − cos 2B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 2 sin B cos B (2 sin2C) + 2 sin C cos C (2 sin2B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B cos B (sin2C) + 4 sin C cos C (sin2B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (cos B sin C + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C sin (B + C) = 4 sin A sin B sin C
Ingat bahwa B + C = π - A, maka :
⇒ 4 sin B sin C sin (π - A) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin A sin B sin C = 4 sin A sin B sin C.
(Terbukti). - Nyatakan sin 3α dalam sudut 3⁄2α.
Rumus untuk sin 2α
Pembahasan :
sin 3α = sin 2(3⁄2α)
⇒ sin 3α = 2 sin 3⁄2α cos 3⁄2α
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.
0 comments :
Post a Comment