SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI SINUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

Posted by on 21 January 2015 - 6:00 PM

Pembahasan trigonometri dibagi menjadi dua bagian yaitu trigonometri I (dasar) dan trigonometri II (lanjutan). Pada trigonometri dasar telah dibahas mengenai rumus-rumus dasar serta identitas trigonometri. Selanjutnya, topik trigonometri dititikberatkan pada penggunaan rumus-rumus lanjutan yang lebih kompleks.

Rumus-rumus yang akan dibahas meliputi rumus perbandingan trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, perbandingan trigonometri untuk sudut ganda, perbandingan trigonometri untuk setengah sudut, dan perkalian trigonometri.

Rumus Sin (α + β)

Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dapat digunakan untuk menentukan nilai perbandingan tirgonometri suatu sudut yang tidak diketahui, misalnya kita dapat menentukan nilai sinus dari sudut 165o dengan menggunakan rumus jumlah dua sudut istimewa yaitu 120o + 45o .

Kita juga dapat menentukan nilai sinus 165o dengan menggunakan rumus selisih dua sudut yaitu 210o - 45o. Berikut ringkasan rumus trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut.

Kumpulan soal dan pembahasan sin (α + β)

  1. Dengan menggunakan rumus sin (α ± β), tentukan nilai dari :
    1. sin 165o 
    2. sin 195o
    3. sin 255o

    Pembahasan :
    1. sin 165o = sin (120o  + 45o)
      ⇒ sin 165o = sin 120o .cos 45o + cos 120o .sin 45o
      ⇒ sin 165o = (½√3).(½√2) + (½).(½√2)
      ⇒ sin 165o = ¼√6 + ¼√2
      ⇒ sin 165o = ¼ (√6 + √2)
      Jadi, sin 165o = ¼ (√6 + √2).

      Atau :
      sin165o = sin (210o − 45o)
      ⇒ sin 165o = sin 210o .cos 45o − cos 120o .sin 45o
      ⇒ sin 165o = (-½).(½√2) − (-½√3).(½√2)
      ⇒ sin 165o = -¼√2 − (-¼√6)
      ⇒ sin 165o = ¼√6 − ¼√2
      ⇒ sin 165o = ¼ (√6 + √2)
      Jadi, sin 165o = ¼ (√6 + √2). 

    2. sin 195o = sin (150o  + 45o)
      ⇒ sin 195o = sin 150o .cos 45o + cos 150o .sin 45o
      ⇒ sin 195o = (½).(½√2) + (-½√3).(½√2)
      ⇒ sin 195o = ¼√2 + (-¼√6)
      ⇒ sin 195o = ¼√2 − ¼√6
      ⇒ sin 195o = ¼ (√2 − √6)
      Jadi, sin 195o = ¼ (√2 − √6). 

      Atau :
      sin195o = sin (240o − 45o)
      ⇒ sin 195o = sin 240o .cos 45o − cos 240o .sin 45o
      ⇒ sin 195o = (-½√3).(½√2) − (-½).(½√2)
      ⇒ sin 195o = -¼√6 − (-¼√2)
      ⇒ sin 195o = ¼√2 − ¼√6
      ⇒ sin 195o = ¼ (√2 − √6)
      Jadi, sin 195o = ¼ (√2 − √6). 

    3. sin 255o = sin (210o  + 45o)
      ⇒ sin 255o = sin 210o .cos 45o + cos 210o .sin 45o
      ⇒ sin 255o = (-½).(½√2) + (-½√3).(½√2)
      ⇒ sin 255o = -¼√2 + (-¼√6)
      ⇒ sin 255o = -¼√2 − ¼√6
      ⇒ sin 255o = -¼ (√2 + √6)
      Jadi, sin 255o = -¼ (√2 + √6). 

      Atau :
      sin 255o = sin (300o − 45o)
      ⇒ sin 255o = sin 300o .cos 45o − cos 300o .sin 45o
      ⇒ sin 255o = (-½√3).(½√2) − (½).(½√2)
      ⇒ sin 255o = -¼√6 − ¼√2
      ⇒ sin 255o = -¼ (√6 + √2)
      ⇒ sin 255o = -¼ (√2 + √6)
      Jadi, sin 255o = -¼ (√2 + √6). 


  2. Sederhanakan tiap bentuk berikut ini :
    1. sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a)
    2. sin (π3 + p) cos (π6 + p) − cos (π3 + p) sin (π6 + p)

    Pembahasan :
    1. sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a)
      misalkan : (90o + a) = α dan (270o − a) = β.
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin (α + β)
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin {(90o + a) + (270o − a)}
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin (90o + a + 270o − a)
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin 360o
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = 0
      Jadi, sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a) = 0.

    2. sin (π3 + p) cos (π6 + p) − cos (π3 + p) sin (π6 + p)
      misalkan (π3 + p) = α  dan (π6 + p) = β.
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (α − β)
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin {(π3 + p) − (π6 + p)}
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (π3 + p − π6 − p)
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (π3π6)
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin π6
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin 30o
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = ½
      Jadi, sin (π3 + p) cos (π6 + p) − cos (π3 + p) sin (π6 + p) = ½.


  3. Dengan prinsip (α ± β), tunjukkan bahwa :
    1. sin (45o + a) − sin (45o − a) = √2 sin a
    2. sin (150o + a) + sin (30o + a) = cos a

    Pembahasan :
    1. Mari kita bahas pertahap :
      sin (45o + a) = sin 45o .cos a + cos 45o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½√2 cos a + ½√2 sin a
      sin (45o − a) = sin 45o .cos a − cos 45o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½√2 cos a − ½√2 sin a

      Selanjutnya :
      sin (45o + a) − sin (45o − a) = √2 sin a
      ⇒ ½√2 cos a + ½√2 sin a − (½√2 cos a − ½√2 sin a) = √2 sin a
      ⇒ ½√2 cos a + ½√2 sin a − ½√2 cos a + ½√2 sin a = √2 sin a
      ⇒ ½√2 cos a − ½√2 cos a + ½√2 sin a + ½√2 sin a = √2 sin a
      ⇒ ½√2 sin a + ½√2 sin a = √2 sin a
      ⇒ √2 sin a = √2 sin a
      (Terbukti).

    2. Mari kita bahas pertahap :
      sin (150o + a) = sin 150o .cos a + cos 150o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½ cos a + (-½√3) sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½ cos a − ½√3 sin a
      sin (30o + a) = sin 30o .cos a + cos 30o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½ cos a + ½√3 sin a

      Selanjutnya :
      sin (150o + a) + sin (30o + a) = cos a
      ⇒ ½ cos a − ½√3 sin a + ½ cos a + ½√3 sin a = cos a
      ⇒ ½ cos a + ½ cos a − ½√3 sin a + ½√3 sin a = cos a
      ⇒ ½ cos a + ½ cos a  = cos a
      ⇒ cos a = cos a
      (Terbukti.)


  4. Diketahui α  dan β sudut lancip. Jika cos α = ⅗ dan cos β = ⅘, hitunglah nilai dari :
    1. sin (α + β)
    2. sin (α − β)

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal ini, maka kita perlu mencari nilai sin untuk α dan β.
    Karena cos α = ⅗  → sin α = ⅘
    Karena cos β = ⅘ → sin β = ⅗

    1. sin (α + β) = sin α .cos β + cos α sin β
      ⇒ sin (α + β) = ⅘.⅘ + ⅗.⅗
      ⇒ sin (α + β) = 1625925
      ⇒ sin (α + β) = 2525
      ⇒ sin (α + β) = 1.

    2. sin (α − β) = sin α .cos β − cos α sin β
      ⇒ sin (α − β) = ⅘.⅘ − ⅗.⅗
      ⇒ sin (α − β) = 1625 −  925
      ⇒ sin (α − β) = 725.

    rumus trigonometri

  5. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai dari tiap bentuk berikut ini.
    1. sin 64o cos 26o  + cos 64o  sin 26o
    2. sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o
    3. sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o

    Pembahasan :
    1. sin 64o .cos 26o  + cos 64o .sin 26o  = sin (64o + 26o)
      ⇒ sin 64o .cos 26o  + cos 64o .sin 26o  = sin 90o
      ⇒ sin 64o .cos 26o  + cos 64o .sin 26o  = 1.

    2. sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o  = sin (34o + 26o)
      ⇒ sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o  = sin 60o
      ⇒ sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o  = ½√3.

    3. sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o = sin (140o − 50o)
      ⇒ sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o = sin 90o
      ⇒ sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o = 1.



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment