SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI COSINUS SUDUT GANDA

Posted by on 26 January 2015 - 11:32 AM

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, rumus trigonometri untuk cosinus sudut ganda juga diturunkan dari rumus cosinus jumlah dua sudut. Kita dapat menurunkan rumus cos 2α dari rumus jumlah sudut yaitu cos (α + β) dengan catatan β = α.  Rumus cosinus sudut ganda dapat kita manfaatkan untuk menentukan nilai cosinus suatu sudut yang dapat diubah menjadi dua kali suatu sudut istimewa (2α) dengan α sudut tunggal istimewa.

Untuk cos 2α terdapat tiga rumus yang dapat kita gunakan sesuai dengan kondisi soal. Identitas yang harus kita ingat dalam rumus cos 2α adalah sin2 α + cos2 α = 1. Dengan memanfaatkan identitas tersebut, kita dapat mengubah bentuk cos 2α dalam kuadrat sinus.

Rumus untuk cos 2α diturunkan dari rumus cos (α + β). Jika β = α, maka bentuk tersebut akan menjadi cos (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut, maka diperoleh :
cos 2α = cos (α + α)
⇒ cos 2α = cos α .cos α − sin α sin α
⇒ cos 2α = cos2 α − sin2 α
⇒ cos 2α = 1 − 2sin2 α
⇒ cos 2α = 2cos2 α − 1

Soal dan Pembahasan

  1. Dengan menggunakan rumus cos 2α, nyatakan :
    1. cos α dalam bentuk ½α
    2. cos 3α dalam bentuk 32α.

    Pembahasan :
    1. cos α dalam bentuk ½α
      cos α = cos 2(½α)
      ⇒ cos 2α = cos2 ½α − sin2 ½α
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 sin2 ½α
      ⇒ cos 2α = 2 cos2 ½α − 1

    2. cos 3α dalam bentuk 32α.
      cos 3α = cos 2(32α)
      ⇒ cos 2α = cos2 32α − sin2 32α
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 sin2 32α
      ⇒ cos 2α = 2 cos2 32α − 1


  2. Jika diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos  β = ⅘, maka tentukanlah nilai :
    1. cos 2α
    2. cos 2β

    Pembahasan :
    1. cos 2α = 1 − 2sin2 α
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 (⅘)2
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 (1625)
      ⇒ cos 2α = 1 − 3225
      ⇒ cos 2α = 25253225
      ⇒ cos 2α = - 725

    2. cos 2β = 2 cos2 β − 1
      ⇒ cos 2β = 2 (⅘)2 − 1
      ⇒ cos 2β = 2 (1625) − 1
      ⇒ cos 2β = 3225 − 1
      ⇒ cos 2β = 32252525
      ⇒ cos 2β = 725


  3. Jika 30o = a, nyatakanlah cos 90o dalam bentuk cos a.

    Pembahasan :
    90o = 3 x 30o = 3a
    ⇒ cos 90o = cos 3a
    ⇒ cos 90o = cos (2a + a)
    ⇒ cos 90o = cos 2a cos a − sin 2a sin a
    ⇒ cos 90o = (2cos2 a − 1) cos a − (2 sin a cos a) sin a
    ⇒ cos 90o = (2cos2 a − 1) cos a − 2 sin2 a cos a
    ⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2 sin2 a cos a
    ⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2 (1 - cos2 a) cos a
    ⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2 (cosa - cos3 a)
    ⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2cosa + 2cos3 a
    ⇒ cos 90o = 4cos3 α − 3 cos a


  4. Dengan konsep cos 2α, buktikan bahwa :
    1. cos 60o = ½
    2. cos 90o = 0

    Pembahasan :
    1. cos 60o = ½
      ⇒ cos 2(30o) = ½
      ⇒ cos2 30o − sin2 30o = ½
      ⇒ (½√3)2 − (½)2 = ½
      ⇒ ¾ − ¼  = ½
      ⇒ ½  = ½
      (Terbukti).

    2. cos 90o = 0
      ⇒ cos 2(45o) = 0
      ⇒ cos2 45o − sin2 45o = 0
      ⇒ (½√2)2 − (½√2)2 = 0
      ⇒ 0  = 0
      (Terbukti).


  5. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, tentukan nilai eksak dari :
    1. cos2 π12 − sin2 π12
    2. 2 cos2 67 ½o − 1

    Rumus untuk cos 2α

    rumus trigonometri

    Pembahasan :
    1. cos2 π12 − sin2 π12 = cos 2(π12)
      ⇒ cos2 π12 − sin2 π12 = cos π6
      ⇒ cos2 π12 − sin2 π12 = cos 30o
      ⇒ cos2 π12 − sin2 π12 = ½√3.

    2. 2 cos2 67 ½o − 1 = cos 2(67 ½o)
      ⇒ 2 cos2 67 ½o − 1 = cos 2(1352o)
      ⇒ 2 cos2 67 ½o − 1 = cos 135o
      ⇒ 2 cos2 67 ½o − 1 = -½√2.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment