SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI TANGEN SUDUT GANDA

Setelah membahas tentang trigonometri sudut ganda untuk sinus 2α dan cosinus 2α, sekarang kita akan membahas tentang rumus tan 2α. Sama seperti sinus dan cosinus, rumus tan 2α juga diturunkan dari rumus tangen untuk jumlah dua sudut, tan (α + β). Kita dapat menggunakan rumus tangen sudut rangkap untuk menghitung nilai tangen suatu sudut yang nilainya dua kali sudut istimewa.

Kita juga dapat memanfaatkan rumus tan 2α untuk menyatakan suatu bentuk trigonometri dalam bentuk sudut relasinya. Pada umumnya kita dapat menggunakan rumus tan 2α jika nilai sin atau cos suatu sudut diketahui. Setelah nilai tan α dikethaui maka nilai tan 2α dapat ditentukan dengan mudah.

Untuk mendapatkan rumus tan 2α, maka ingat kembali rumus tan (α + β). Dengan menyamakan β = α, maka rumus jumlah tersebut akan menjadi rumus tan 2α. Berdasarkan rumus tangen jumlah dua sudut, maka diperoleh :

$\mathrm{tan\; 2\alpha \; = }\frac{\mathrm{tan\; \alpha \; +\; tan\; \alpha }}{\mathrm{1 -\; tan\; \alpha \; tan\; \alpha }}$
⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; \alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²\; \alpha }}$

Soal dan Pembahasan Trigonometri

1. Dengan menggunakan rumus tan 2α, nyatakan :
   1. tan α dalam bentuk ½α
   2. tan 3α dalam bentuk ³⁄₂α

   
   Pembahasan :
   

   1. tan α = tan 2(½α)
      ⇒ $\mathrm{tan\; \alpha \; = }\frac{\mathrm{tan\; ½\alpha \; +\; tan\; ½\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan\; ½\alpha \; tan\; ½\alpha }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; \alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; ½\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²\; ½\alpha }}$
      
      
   2. tan 3α = tan 2 (³⁄₂α)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 3\alpha \; = }\frac{\mathrm{tan\; ³⁄₂\alpha \; +\; tan\; ³⁄₂\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan\; ³⁄₂\alpha \; tan\; ³⁄₂\alpha }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 3\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; ³⁄₂\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; <span\; style="font-size:\; x-small;">3</span>}<span\; style="font-size:\; x-small;">⁄₂</span>\alpha }}$

   
   
   
   
2. Jika diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos  β = ⅘, maka tentukanlah nilai :
   1. tan 2α
   2. tan 2β

   
   Pembahasan :
   Karena sin α = cos  β = ⅘, maka :
   ⇒ tan α = ⁴⁄₃
   ⇒ tan β = ³⁄₄
   
   

   1. tan 2α = tan (α + α)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; \alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²\alpha }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; (⁴⁄₃)}}{\mathrm{1 -\; (⁴⁄₃)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; = }\frac{\mathrm{⁸⁄₃}}{\mathrm{1 - \; ¹⁶⁄₉}}$
      ⇒ tan 2α = -²⁴⁄₇
      
      
   2. tan 2β = tan (β + β)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\beta \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; \beta }}{\mathrm{1 -\; tan²\beta }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\beta \; =}\frac{\mathrm{2\; (³⁄₄)}}{\mathrm{1 -\; (³⁄₄)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\beta \; = }\frac{\mathrm{³⁄₂}}{\mathrm{1 - \; ⁹⁄₁₆}}$
      ⇒ tan 2β = ²⁴⁄₇

   
   
   
   
3. Dengan konsep tan 2α, buktikan bahwa :
   1. tan 60^o = √3
   2. tan 120^o = -√3

   
   Pembahasan :
   

   1. tan 60^o = √3
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; 30^o}}{\mathrm{1 -\; tan²30^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; (⅓\surd 3)}}{\mathrm{1 -\; (⅓\surd 3)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{⅔\surd 3}}{\mathrm{1 - \; ⅓}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{⅔\surd 3}}{⅔}$
      ⇒ tan 60^o = √3
      (Terbukti).
      
      
   2. tan 120^o = -√3
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; 60^o}}{\mathrm{1 -\; tan²60^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; (\surd 3)}}{\mathrm{1 -\; (\surd 3)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{2\surd 3}}{\mathrm{1 -\; 3}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{2\surd 3}}{\mathrm{-2}}$
      ⇒ tan 60^o = -√3
      (Terbukti).

   
   
   
   
4. Tanpa menggunakan tabel triogonometri atau kalkulator, hitunglah nilai :
   1. $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}$
   
   
   2. $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}$
      
   
   

   Pembahasan :
   

   Rumus untuk tan 2α

   

   
   

   1. $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; tan\; 2(^{\; \pi}⁄₈)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; tan \; ^{\; \pi}⁄₄}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; tan\; 45^o}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; 1}$
   
   
   2. $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}\mathrm{=\; 2\; tan\; 2(^{\; \pi}⁄₁₂)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}\mathrm{=\; 2\; tan \; ^{\; \pi}⁄₆}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}\mathrm{=\; 2\; tan\; 30^o}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; ⅔\surd 3}$

   
   

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.