Turunan fungsi, limit fungsi, dan integral merupakan tiga topik matematika yang selalu keluar dalam ujian nasional. Ketiga topik tersebut biasanya berada pada nomor yang berdekatan. Untuk turunan fungsi, model soal yang sering keluar antaralain menentukan turunan pertama (y') dari suatu fungsi trigonometri, menentukan turunan pertama fungsi aljabar, dan menentukan nilai dari turunan pertama suatu fungsi jika variabel bebasnya ditentukan.
Bentuk fungsi yang sering digunakan dalam soal ujian nasional adalah bentuk perkalian dan pembagian dua fungsi, konsep aturan rantai, dan garis singgung kurva. Berikut beberapa soal ujian nasional mengenai turunan fungsi yang pernah keluar.
Bentuk fungsi yang sering digunakan dalam soal ujian nasional adalah bentuk perkalian dan pembagian dua fungsi, konsep aturan rantai, dan garis singgung kurva. Berikut beberapa soal ujian nasional mengenai turunan fungsi yang pernah keluar.
Soal 1
Turunan pertama dari fungsi di bawah ini adalah ....
Pembahasan :
Gunakan konsep turunan pembagian dua fungsi :
Misalkan :
u = sin x, maka u' = cos x
v = sin x + cos x, maka v' = cos x - sin x.
Dengan rumus di atas diperoleh :
| y = | sin x |
| sin x + cos x |
| A. y' = | cos x |
| (sin x + cos x)2 |
| B. y' = | 1 |
| (sin x + cos x)2 |
| C. y' = | 2 |
| (sin x + cos x)2 |
| D. y' = | sin x − cos x |
| (sin x + cos x)2 |
| E. y' = | 2 sin x cos x |
| (sin x + cos x)2 |
Pembahasan :
Gunakan konsep turunan pembagian dua fungsi :
| y' = | dy | = | u'(x).v(x) − u(x).v'(x) |
| dx | v2(x) |
Misalkan :
u = sin x, maka u' = cos x
v = sin x + cos x, maka v' = cos x - sin x.
Dengan rumus di atas diperoleh :
| y' = | u'(x).v(x) − u(x).v'(x) |
| v2(x) |
| y' = | cos x.(sin x + cos x) − sin x (cos x - sin x) |
| (sin x + cos x)2 |
| y' = | |
| (sin x + cos x)2 |
| y' = | cos2 x + sin2 x |
| (sin x + cos x)2 |
| y' = | 1 |
(sin x + cos x)2
Jawaban : B.
Soal 2
Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka nilai f(0) + 2 f '(0) = .....
| f(x) = | x2 + 3 |
| 2x + 1 |
| A. -10 | C. -7 | E. -3 |
| B. -9 | D. -5 |
Pembahasan :
| f(0) = | (0)2 + 3 |
| f(0) = | 3 |
1
f(0) = 3
Sekarang kita cari turunannya, misalkan :
u = x2 + 3, maka u' = 2x
v = 2x + 1, maka v' = 2.
Dengan rumus di atas diperoleh :
| f '(x) = | u'(x).v(x) − u(x).v'(x) |
| v2(x) |
| f '(x) = | 2x.(2x + 1) − (x2 + 3)(2) |
| (2x + 1)2 |
| f '(x) = | 4x2 + 2x − 2x2 − 6 |
| (2x + 1)2 |
| f '(x) = | 2x2 + 2x − 6 |
| (2x + 1)2 |
| f '(0) = | 2(0)2 + 2(0) − 6 |
(2.0 + 1)2
f '(0) = -6
Dengan demikian diperoleh :
f(0) + 2 f '(0) = 3 + 2(-6) = -9
Jawaban : B.
Soal 3
Jika f(x) = sin2 (2x + π⁄6), maka nilai dari f '(0) adalah ....
| A. 2√3 | C. √3 | E. ½√2 |
| B. 2 | D. ½√3 |
Pembahasan :
Gunakan rumus aturan rantai turunan trigonometri :
| f '(x) = c.n sinn-1 g(x). cos g(x).g '(x) |
Dari soal dik :
c = 1, n = 2.
g(x) = 2x + π⁄6, maka g'(x) = 2.
Dengan demikian diperoleh :
f '(x) = c.n sinn-1 g(x). cos g(x).g '(x)
f '(x) = 1.2 sin2-1 (2x + π⁄6). cos (2x + π⁄6).(2)
f '(x) = 4 sin (2x + π⁄6). cos (2x + π⁄6)
f '(0) = 4 sin (2.0 + π⁄6). cos (2.0 + π⁄6)
f '(0) = 4 sin (π⁄6). cos (π⁄6)
f '(0) = 4 (½) (½√3)
f '(0) = √3.
Jawaban : C.
Soal 4
A. 2 sin2 (3x2 − 2) sin (6x2 − 4)
B. 12x sin2 (3x2 − 2) sin (6x2 − 4)
C. 12x sin2 (3x2 − 2) cos (6x2 − 4)
D. 24x sin3 (3x2 − 2) cos2 (3x2 − 2)
E. 24x sin3 (3x2 − 2) cos (3x2 − 2)
Pembahasan :
B. 12x sin2 (3x2 − 2) sin (6x2 − 4)
C. 12x sin2 (3x2 − 2) cos (6x2 − 4)
D. 24x sin3 (3x2 − 2) cos2 (3x2 − 2)
E. 24x sin3 (3x2 − 2) cos (3x2 − 2)
Pembahasan :
Dari soal diketahui :
c = 1, n = 4
g(x) = 3x2 − 2 , g'(x) = 6x.
Dengan demikian diperoleh :
f '(x) = c.n sinn-1 g(x). cos g(x).g '(x)
f '(x) = 1.4 sin4-1 (3x2 − 2). cos (3x2 − 2).(6x)
f '(x) = 24x sin3 (3x2 − 2). cos (3x2 − 2)
Jawaban : E
c = 1, n = 4
g(x) = 3x2 − 2 , g'(x) = 6x.
Dengan demikian diperoleh :
f '(x) = c.n sinn-1 g(x). cos g(x).g '(x)
f '(x) = 1.4 sin4-1 (3x2 − 2). cos (3x2 − 2).(6x)
f '(x) = 24x sin3 (3x2 − 2). cos (3x2 − 2)
Jawaban : E
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.