Soal SBMPTN dan Pembahasan Persamaan Kuadrat

1. Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat x² - x - p = 0 sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan x² - px - 1 = 0, maka nilai p sama dengan .....

   A. √2 + 1

   B. √2 - 1

   C. √2 + 1 atau -√2 + 1

   D. √3 - 1 atau √3 + 1

   E. 2 - √2 atau 2 + √2

   
   
   Pembahasan :
   Jika ada dua persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berhubungan dengan pola hubungan tertentu, maka yang harus kita lakukan adalah mencari nilai jumlah akar dan hasil kali akar masing-masing persamaan kuadrat dan selanjutnya memanfaatkan nilai atau persamaan yang kita peroleh untuk menentukan nilai variabel yang ditanya.
   
   Dengan demikian, berikut beberapa langkah yang dapat kita lakukan :
   

   • Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
   • Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
   • Tulis hubungan aka-akar kedua persamaan dalam bentuk matematika dan substitusi nilai atau persamaan yang kita peroleh dari langkah 1 dan 2.
   • Tentukan nilai p berdasarkan persamaan yang dipeoleh pada langkah 3.

Langkah Pertama 
Dari x² - x - p = 0
Dik : a = 1, b = -1, c = -p

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ¹⁄₁
⇒ u + v = 1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-p⁄₁
⇒ u.v = -p

Langkah Kedua
Dari x² - px - 1 = 0
Dik : a = 1, b = -p, c = -1

Jumlah akar :
⇒ m + n = ^-b⁄_a
⇒ m + n = ^p⁄₁
⇒ m + n = p

Hasil kali akar :
⇒ m.n = ^c⁄_a
⇒ m.n = ^-1⁄₁
⇒ m.n = -1

Langkah Ketiga
Untuk menulis hubungan akar dalam bentuk matematika maka kita harus teliti dalam mengartikan kalimat. Kata "kuadrat jumlah kebalikan" harus kita tulis dari belakang yaitu kebalikan akar (seper akar) dijumlahkan kemudian dikuadratkan. Sedangkan kata "jumlah kuadrat" artinya dikuadratkan dulu baru dijumlahkan. Untuk teori akar-akar persamaan kuadrat, kamu bisa baca artikel Jumlah dan hasil kali akar.

Sehingga, hubungan akar-akar persamaan kuadrat pertama dan kedua dalam bentuk matematika dapat ditulis menjadi :
⇒ u² + v² = (¹⁄_m + ¹⁄_n)²

⇒ (u + v)2 - 2u.v =	(m + n)2
	(m.n)2

⇒ (1)2 - 2(-p) =	(p)2
	(-1)2

⇒ 1 + 2p = p²
⇒ p² - 2p - 1 = 0
Dik a = 1, b = -2, c = -1

Langkah Keempat 
Nilai p dapat ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat yang kita peroleh di langkah ketiga. Untuk mencari akar-akar tersebut, kita dapat menggunakan Rumus Kuadrat abc sebagai berikut :

⇒ p1,2 =	-b ± √b2 - 4a.c
	2a

⇒ p1,2 =	-(-2) ± √(-2)2 - 4(1)(-1)
	2(1)

⇒ p1,2 =	2 ± √4 + 4
	2

⇒ p1,2 =	2 ± √8
	2

⇒ p1,2 =	2 ± 2√2
	2

⇒ p_1,2 = 1 ± √2

Karena akar-akarnya persamaan x² - x - p = 0 real, maka ada syarat yang harus dipenuhi yaitu :
⇒ D > 0

⇒ b² - 4ac > 0

⇒ (-1)² - 4(1)(-p) > 0

⇒ 1 + 4p > 0

⇒ p > -¼

Dengan demikian nilai p yang memenuhi adalah 1 + √2 karena nilainya positif dan lebih besar dari -¼. Sedangkan 1 - √2 tidak memenuhi karena bernilai lebih kecil dari -¼.

Jawaban : A

2. Jumlah akar-akar persamaan |x|² - 2|x| - 3 = 0 sama dengan ....

   A. -10	D. 0
   B. -3	E. 4
   C. -1

   
   Pembahasan :
   Prinsip pengerjaan soal di atas sama dengan persamaan kuadrat biasa hanya saja karena variabel x dalam bentuk mutlak |x| yang berarti ada dua nilai x yaitu x < 0 (-x) dan x ≥ 0 (x), maka ada dua persamaan yang berbeda.

Untuk x < 0
Substitusikan |x| = -x
⇒ |x|² - 2|x| - 3 = 0
⇒ (-x)² - 2(-x) - 3 = 0
⇒ x² + 2x - 3 = 0
⇒ (x + 3)(x - 1) = 0
⇒ x₁ = -3 atau x₂ = 1

Untuk x > 0
Substitusikan |x| = x
⇒ |x|² - 2|x| - 3 = 0
⇒ (x)² - 2(x) - 3 = 0
⇒ x² - 2x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(x + 1) = 0
⇒ x₃ = 3 atau x₄ = -1

Dengan demikian, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah :
⇒ Jumlah akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
⇒ Jumlah akar = -3 + 1 + 3 + (-1)
⇒ Jumlah akar = 0

Dengan menggunakan prinsip jumlah akar-akar persamaan kuadrat, akan kita peroleh hasil yang sama :
Untuk  x² + 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = 2, c = -3
⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = ^-2⁄₁
⇒ x₁ + x₂ = -2

Untuk  x² - 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = -2, c = -3
⇒ x₃ + x₄ = ^-b⁄_a
⇒ x₃ + x₄ = ²⁄₁
⇒ x₃ + x₄ = 2

Dengan demikian jumlah akar-akarnya :
⇒ Jumlah akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
⇒ Jumlah akar = -2 + 2 = 0

Jawaban : D

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.