Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk pertidaksamaan yang memuat variabel tertentu berpangkat dua. Pertidaksamaan yang memuat variabel x berpangkat dua disebut sebagai pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x. Tentu saja variabel tidak harus x dan bisa menggunakan huruf-huruf lainnya. Sesuai dengan namanya, pertidaksamaan kuadrat menunjukkan bahwa bentuk kuadrat pada ruas kiri tidak sama dengan nilai yang ada pada ruas kanan. Hubungan antara ruas kiri dan ruas kanan dalam pertidaksamaan dinyatakan dalam beberapa bentuk antaralain kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari sama dengan (≤), dan lebih dari sama dengan (≥). Sebelumnya telah dibahas penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan grafik. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan.
Baik dengan metode grafik atau dengan metode garis bilangan, untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita harus terlebih dahulu mengubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan dan menentukan penyelesaian untuk persamaan tersebut sebelum menentukan penyelesaiaan untuk pertidaksamaan.
Saat menggunakan metode grafik, kita harus terlebih dahulu mencari grafik untuk fungsi kuadrat yang bersesuaian dengan bentuk pertidaksamaan kuadrat yang kita selesaikan. Salah satu langkahnya adalah menentukan titik potong terhadap sumbu-y. Proses itu sama dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat.
Saat menggunakan metode garis bilangan, kita harus terlebih dahulu mencari penyelesaian untuk persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan bentuk pertidaksamaan kuadrat yang kita selesaikan. Langkah pertama adalah menentukan akar-akar atau nilai-nilai x yang membuat persamaan kuadrat bernilai nol.
Oleh karena itu, sebelum mempelajari lebih jauh mengenai pertidaksamaan kuadrat, tentu kita harus terlebih dahulu memahami konsep persamaan kuadrat minimal dapat menyelesaikan persamaan kuadrat. Jika sudah menguasai konsep persamaan kuadrat, maka pertidaksamaan kuadrat hanya tinggal menentukan interval yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya saja.
Baca juga : Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Metode Grafik.
Dari interval-interval yang dihasilkan pada garis bilangan selanjutnya akan ditentukan beberapa nilai uji untuk menentukan tanda pada masing-masing interval. Selanjutnya, penyelesaiaan pertidaksamaan diperoleh berdasarkan tanda-tanda pada interval tersebut.
Pertidaksamaan dapat dinyatakan dalam empat bentuk yang berbeda. Misal bentuk persamaan kuadrat yang umum adalah ax2 + bx + c = 0, maka bentuk pertidaksamaan kuadratnya dapat ditulis dalam empat bentuk sebagai berikut :
1). Kurang dari : ax2 + bx + c < 0
2). Kurang dari sama dengan : ax2 + bx + c ≤ 0
3). Lebih dari : ax2 + bx + c > 0
4). Lebih dari sama dengan : ax2 + bx + c ≥ 0
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan diagram garis bilangan, maka ada beberapa langkah atau tahapan yang harus dierjakan. Langkah awal adalah menentukan penyelesaian untuk persamaan kuadrat yang bersesuaian.
Secara umum, langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan adalah sebagai berikut:
1. Ubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
2. Cari akar-akar persamaan kuadrat tersebut
3. Gambar akar-akar yang diperoleh dalam garis bilangan
4. Substitusikan nilai uji yang bersesuain dengan garis bilangan untuk menentukan tanda interval
5. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan sesuai tanda interval yang diperoleh.
Contoh :
Tentukanlah penyelesaian untuk dari pertidaksamaan berikut dengan menggunakan garis bilangan:
a). x2 + x - 6 < 0
b). x2 + x - 6 ≤ 0
c). x2 + x - 6 > 0
e). x2 + x - 6 ≥ 0
Pembahasan :
Karena bentuk pertidaksamaan di atas mempunyai bentuk yang sama, maka untuk menghemat waktu, penyelesaian akan dibahas secara bersama-sama.
Langkah #1 : tentukan persamaan kuadrat.
Bentuk persamaan kuadrat yang bersesuain dengan bentuk pertidaksamaan kuadrat pada soal adalah x2 + x - 6 = 0.
Langkah #2 : cari akar-akar persamaan kuadrat.
⇒ x2 + x - 6 = 0
⇒ (x + 3)(x - 2) = 0
⇒ x = -3 atau x = 2
Langkah #3 : gambar nilai x pada garis bilangan.
Untuk menggambar garis bilangan, tarik garis lurus mendatar kemudian buat dua titik sebagai titik untuk bilangan -3 dan 2. Ingat bilangan negatif berada di sebelah kiri bilangan nol.
Dari garis bilangan di atas dapat kita lihat ada tiga interval, yaitu x < -3, -3 < x < 2, dan x > 2.
Langkah #4 : gunakan nilai uji.
Nilai uji harus mewakili ketiga interval. Pada contoh ini, kita bisa menggunakan nilai uji x = -4 (untuk mewakili x < -3), x = 0 (untuk mewakili -3 < x < 2) dan x = 3 (untuk x > 2).
Berdasarkan tabel di atas, maka tanda untuk tiap interval adalah sebagai berikut:
Ingat tanda + berarti nilainya > 0 sedangan tanda - berarti nilainya < 0.
Langah #5 : tentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Berdasarkan tanda pada masing-masing interval seperti terlihat pada gambar di atas, maka penyelesaian untuk keempat pertidaksamaan di atas adalah:
a). x2 + x - 6 < 0 → HP = {x| -3 < x < 2}
b). x2 + x - 6 ≤ 0 → HP = {x| -3 ≤ x ≤ 2}
c). x2 + x - 6 > 0 → HP = {x| x < -3 atau x > 2}
e). x2 + x - 6 ≥ 0 → HP = {x| x ≤ -3 atau x ≥ 2}
Baca juga : Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat.
Hubungan Persamaan dan Pertidaksamaan
Pada dasarnya, pertidaksamaan merupakan bentuk lain dari persamaan. Suatu pertidaksamaan kuadrat dapat dibentuk dari persamaan kuadrat atau sebaliknya dengan mengubah tanda penghubung ruas saja. Selain itu, persamaan kuadrat merupakan konsep dasar yang harus dikuasai untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.Baik dengan metode grafik atau dengan metode garis bilangan, untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita harus terlebih dahulu mengubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan dan menentukan penyelesaian untuk persamaan tersebut sebelum menentukan penyelesaiaan untuk pertidaksamaan.
Saat menggunakan metode grafik, kita harus terlebih dahulu mencari grafik untuk fungsi kuadrat yang bersesuaian dengan bentuk pertidaksamaan kuadrat yang kita selesaikan. Salah satu langkahnya adalah menentukan titik potong terhadap sumbu-y. Proses itu sama dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat.
Saat menggunakan metode garis bilangan, kita harus terlebih dahulu mencari penyelesaian untuk persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan bentuk pertidaksamaan kuadrat yang kita selesaikan. Langkah pertama adalah menentukan akar-akar atau nilai-nilai x yang membuat persamaan kuadrat bernilai nol.
Oleh karena itu, sebelum mempelajari lebih jauh mengenai pertidaksamaan kuadrat, tentu kita harus terlebih dahulu memahami konsep persamaan kuadrat minimal dapat menyelesaikan persamaan kuadrat. Jika sudah menguasai konsep persamaan kuadrat, maka pertidaksamaan kuadrat hanya tinggal menentukan interval yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya saja.
Baca juga : Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Metode Grafik.
Menentukan HP dengan Garis Bilangan
Garis bilangan adalah garis yang digunakan untuk menggambarkan nilai-nilai variabel yang memenuhi suatu persamaan atau pertidaksamaan. Nilai yang digambar terlebih dahulu dan dijadikan sebagai patokan interval adalah nilai-nilai variabel untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.Dari interval-interval yang dihasilkan pada garis bilangan selanjutnya akan ditentukan beberapa nilai uji untuk menentukan tanda pada masing-masing interval. Selanjutnya, penyelesaiaan pertidaksamaan diperoleh berdasarkan tanda-tanda pada interval tersebut.
Pertidaksamaan dapat dinyatakan dalam empat bentuk yang berbeda. Misal bentuk persamaan kuadrat yang umum adalah ax2 + bx + c = 0, maka bentuk pertidaksamaan kuadratnya dapat ditulis dalam empat bentuk sebagai berikut :
1). Kurang dari : ax2 + bx + c < 0
2). Kurang dari sama dengan : ax2 + bx + c ≤ 0
3). Lebih dari : ax2 + bx + c > 0
4). Lebih dari sama dengan : ax2 + bx + c ≥ 0
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan diagram garis bilangan, maka ada beberapa langkah atau tahapan yang harus dierjakan. Langkah awal adalah menentukan penyelesaian untuk persamaan kuadrat yang bersesuaian.
Secara umum, langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan adalah sebagai berikut:
1. Ubah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
2. Cari akar-akar persamaan kuadrat tersebut
3. Gambar akar-akar yang diperoleh dalam garis bilangan
4. Substitusikan nilai uji yang bersesuain dengan garis bilangan untuk menentukan tanda interval
5. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan sesuai tanda interval yang diperoleh.
Contoh :
Tentukanlah penyelesaian untuk dari pertidaksamaan berikut dengan menggunakan garis bilangan:
a). x2 + x - 6 < 0
b). x2 + x - 6 ≤ 0
c). x2 + x - 6 > 0
e). x2 + x - 6 ≥ 0
Pembahasan :
Karena bentuk pertidaksamaan di atas mempunyai bentuk yang sama, maka untuk menghemat waktu, penyelesaian akan dibahas secara bersama-sama.
Langkah #1 : tentukan persamaan kuadrat.
Bentuk persamaan kuadrat yang bersesuain dengan bentuk pertidaksamaan kuadrat pada soal adalah x2 + x - 6 = 0.
Langkah #2 : cari akar-akar persamaan kuadrat.
⇒ x2 + x - 6 = 0
⇒ (x + 3)(x - 2) = 0
⇒ x = -3 atau x = 2
Langkah #3 : gambar nilai x pada garis bilangan.
Untuk menggambar garis bilangan, tarik garis lurus mendatar kemudian buat dua titik sebagai titik untuk bilangan -3 dan 2. Ingat bilangan negatif berada di sebelah kiri bilangan nol.
Langkah #4 : gunakan nilai uji.
Nilai uji harus mewakili ketiga interval. Pada contoh ini, kita bisa menggunakan nilai uji x = -4 (untuk mewakili x < -3), x = 0 (untuk mewakili -3 < x < 2) dan x = 3 (untuk x > 2).
| Nilai uji | Substitusi ke x2 + x - 6 | Tanda |
| -4 | (-4)2 + (-4) - 6 = 6 | + |
| 0 | 02 + 0 - 6 = -6 | - |
| 3 | 32 + 3 - 6 = 6 | + |
Berdasarkan tabel di atas, maka tanda untuk tiap interval adalah sebagai berikut:
Langah #5 : tentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Berdasarkan tanda pada masing-masing interval seperti terlihat pada gambar di atas, maka penyelesaian untuk keempat pertidaksamaan di atas adalah:
a). x2 + x - 6 < 0 → HP = {x| -3 < x < 2}
b). x2 + x - 6 ≤ 0 → HP = {x| -3 ≤ x ≤ 2}
c). x2 + x - 6 > 0 → HP = {x| x < -3 atau x > 2}
e). x2 + x - 6 ≥ 0 → HP = {x| x ≤ -3 atau x ≥ 2}
Baca juga : Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.