Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena mengandung peubah atau variabel. Nilai kebenaran suatu kalimat terbuka akan sangat bergantung pada nilai peubah yang digunakan. Pada artikel sebelumnya telah dibahas bagaimana cara mengubah kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan sehingga dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas bagaimana cara mengubah suatu kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan berkuantor. Sebuah kalimat terbuka dapat diubah menjadi kalimat berkuantor universal atau kalimat berkuantor eksistensial tergantung kuantor apa yang akan digunakan. Nilai kebenaran kalimat terbuka yang sudah diubah menjadi pernyataan berkuantor juga dapat ditentukan.
Selain dengan cara tersebut, kita juga dapat mengubah sebuah kalimat terbuka menjadi pernyataan berkuantor. Kalimat terbuka yang dibubuhkan kuantor universal di bagian depan kalimat tersebut akan menghasilkan pernyataan berkuantor universal.
Proses ini dapat dilakukan dengan menambahkan kata semua atau setiap pada awal kalimat terbuka dan menentukan himpunan semesta yang bersesuaian. Misal p(x) adalah kalimat terbuka yang akan diubah menjadi pernyataan berkuantor universal dengan himpunan semesta S, ditulis dengan notasi sebagai berikut:
Notasi di atas dapat dibaca "Untuk semua x anggota himpunan S, berlakulah p(x)". Notasi tersebut juga dapat dipersingkat menjadi ∀x, p(x) dan dibaca "Untuk semua x berlakulah p(x)".
Setelah kalimat terbuka diubaha menjadi sebuah pernyataan berkuantor universal, maka kita juga dapat menentukan nilai kebenarannya. Nilai kebenaran untuk pernyataan berkuantor universal ditentukan dengan cara merubah variabel dengan nilai berdasarkan himpunan yang ditentukan.
Dengan demikian, nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor universal yang disusun dari kalimat terbuka bergantung pada himpunan semseta yang ditinjau dan bentuk kalimat terbukanya.
Contoh 1 :
Ubah kalimat terbuka p(x) : x2 + 6 > 0 menjadi kalimat berkuantor universal dan tentukan nilai kebenarannya jika himpunan semestanya adalah semua himpunan bilangan real.
Pembahasan :
Kalimat terbuka x2 + 6 > 0 dapat diubah menjadi pernyataan berkuantor universal sebagai berikut :
∀x ∈ R, x2 + 6 > 0
Pernyataan berkuantor di atas bernilai benar karena untuk semua x bilangan real, x2 + 6 > 0 bernilai benar. Cara menentukannya mudah, ingat bahwa untuk semua x bilangan real, x2 akan menghasilkan bilangan yang lebih besar atau sama dengan nol sehingga pasti x2 + 6 > 0.
Contoh 2 :
Ubah kalimat terbuka p(x) : 3x + 4 = 10 menjadi kalimat berkuantor universal dan tentukan nilai kebenarannya untuk himpunan semesta semua himpunan bilangan real.
Pembahasan :
Kalimat terbuka 3x + 4 = 10 dapat diubah menjadi pernyataan berkuantor universal sebagai berikut :
∀x ∈ R, 3x + 4 = 10
Untuk melihat nilai kebenarannya, coba ganti x dengan salah satu bilangan real misalnya x = 1. Jika x diganti menjadi 1, maka diperoleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(1) + 4 = 10
⇒ 7 = 10 (salah)
Jika x diganti menjadi 2, maka diperoleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(2) + 4 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Dari dua nilai di atas dapat kita lihat bahwa p(x) bernilai benar jika x = 2 dan salah jika x = 1. Tetapi, perlu kita ingat bahwa pernyataan yang dibentuk adalah pernyataan berkuantor universal yang artinya berlaku untuk semua.
Karena p(x) salah untuk x = 1, itu artinya tidak semua anggota bilangan real memenuhi p(x). Dengan demikian, pernyataan ∀x ∈ R, 3x + 4 = 10 bernilai salah walaupun ada satu nilai yang benar.
Baca juga : Pengertian Kuantor Universal dan Kuantor Khusus.
Notasi di atas dapat dibaca "Beberapa x anggota himpunan S, memenuhi p(x)" atau "Ada x anggota himpunan S, memenuhi p(x)". Arti dari ada pada notasi tersebut adalah sekurang-kurangnya ada satu nilai x yang membuat p(x) bernilai benar.
Sama seperti pernyataan berkuantor universal, nilai kebenaran pernyataan berkuantor khusus juga dapat ditentukan dengan cara mengubah nilai peubah berdasarkan himpunan semesta yang ditentukan dan berdasarkan bentuk dari kalimat terbukanya.
Pernyataan berkuantor eksistensial akan bernilai benar, jika ada satu saja nilai x yang memenuhi p(x). Jika tidak ada sama sekali nilai x yang memenuhi p(x), maka pernyataan tersebut bernilai salah.
Sebagai contoh sederhana, katakanlah di kelas X ada 40 murid. Dari jumlah tersebut ternyata semuanya mendapat nilai di atas delapan pada ulangan matematika. Pada kondisi ini, maka pernyataan "Ada murid kelas X yang mendapat nilai di bawah delapan pada ulangan matematika" bernilai salah karena semua murid nilainya di atas delapan.
Contoh :
Jika himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real, maka ubahlah kalimat terbukan p(x) 4x - 3 = 5 menjadi pernyatan berkuantor eksistensial dan tentukan nilai kebenarannya.
Pembahasan :
Pernyataan berkuantor eksistensial dari 4x - 3 = 5 dapat ditulis sebagai berikut:
∃x ∈ R, 4x - 3 = 5
Karena sekurang-kurangnya harus ada satu nilai x yang membuat p(x) benar, maka kita dapat mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
⇒ 4x - 3 = 5
⇒ 4x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2
Ternyata nilai x yang memenuhi p(x) adalah x = 2. Karena 2 adalah bilangan real dan x = 2 menyebabkan p(x) bernilai benar, maka pernyataan berkuantor eksistensial tersebut bernilai benar.
Baca juga : Hubungan Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
Menggunakan Kuantor Universal
Sebuah kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengubah peubah atau variabel pada kalimat tersebut dengan nilai-nilai tertentu pada himpunan yang sudah ditentukan sehingga dihasilkan pernyataan bernilai benar atau pernyataan bernilai salah.Selain dengan cara tersebut, kita juga dapat mengubah sebuah kalimat terbuka menjadi pernyataan berkuantor. Kalimat terbuka yang dibubuhkan kuantor universal di bagian depan kalimat tersebut akan menghasilkan pernyataan berkuantor universal.
Proses ini dapat dilakukan dengan menambahkan kata semua atau setiap pada awal kalimat terbuka dan menentukan himpunan semesta yang bersesuaian. Misal p(x) adalah kalimat terbuka yang akan diubah menjadi pernyataan berkuantor universal dengan himpunan semesta S, ditulis dengan notasi sebagai berikut:
| ∀x ∈ S, p(x) |
Notasi di atas dapat dibaca "Untuk semua x anggota himpunan S, berlakulah p(x)". Notasi tersebut juga dapat dipersingkat menjadi ∀x, p(x) dan dibaca "Untuk semua x berlakulah p(x)".
Setelah kalimat terbuka diubaha menjadi sebuah pernyataan berkuantor universal, maka kita juga dapat menentukan nilai kebenarannya. Nilai kebenaran untuk pernyataan berkuantor universal ditentukan dengan cara merubah variabel dengan nilai berdasarkan himpunan yang ditentukan.
Dengan demikian, nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor universal yang disusun dari kalimat terbuka bergantung pada himpunan semseta yang ditinjau dan bentuk kalimat terbukanya.
Contoh 1 :
Ubah kalimat terbuka p(x) : x2 + 6 > 0 menjadi kalimat berkuantor universal dan tentukan nilai kebenarannya jika himpunan semestanya adalah semua himpunan bilangan real.
Pembahasan :
Kalimat terbuka x2 + 6 > 0 dapat diubah menjadi pernyataan berkuantor universal sebagai berikut :
∀x ∈ R, x2 + 6 > 0
Pernyataan berkuantor di atas bernilai benar karena untuk semua x bilangan real, x2 + 6 > 0 bernilai benar. Cara menentukannya mudah, ingat bahwa untuk semua x bilangan real, x2 akan menghasilkan bilangan yang lebih besar atau sama dengan nol sehingga pasti x2 + 6 > 0.
Contoh 2 :
Ubah kalimat terbuka p(x) : 3x + 4 = 10 menjadi kalimat berkuantor universal dan tentukan nilai kebenarannya untuk himpunan semesta semua himpunan bilangan real.
Pembahasan :
Kalimat terbuka 3x + 4 = 10 dapat diubah menjadi pernyataan berkuantor universal sebagai berikut :
∀x ∈ R, 3x + 4 = 10
Untuk melihat nilai kebenarannya, coba ganti x dengan salah satu bilangan real misalnya x = 1. Jika x diganti menjadi 1, maka diperoleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(1) + 4 = 10
⇒ 7 = 10 (salah)
Jika x diganti menjadi 2, maka diperoleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(2) + 4 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Dari dua nilai di atas dapat kita lihat bahwa p(x) bernilai benar jika x = 2 dan salah jika x = 1. Tetapi, perlu kita ingat bahwa pernyataan yang dibentuk adalah pernyataan berkuantor universal yang artinya berlaku untuk semua.
Karena p(x) salah untuk x = 1, itu artinya tidak semua anggota bilangan real memenuhi p(x). Dengan demikian, pernyataan ∀x ∈ R, 3x + 4 = 10 bernilai salah walaupun ada satu nilai yang benar.
Baca juga : Pengertian Kuantor Universal dan Kuantor Khusus.
Menggunakan Kuantor Eksistensial
Jika pada awal kalimat terbuka dibubuhkan kuantor eksistensial berupa simbol "∃", maka akan dihasilkan pernyataan berkuantor eksistensial. Misal p(x) adalah kalimat terbuka, maka pernyataan berkuantor khusu jika himpunan semestany S dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:| ∃x ∈ S, p(x) |
Notasi di atas dapat dibaca "Beberapa x anggota himpunan S, memenuhi p(x)" atau "Ada x anggota himpunan S, memenuhi p(x)". Arti dari ada pada notasi tersebut adalah sekurang-kurangnya ada satu nilai x yang membuat p(x) bernilai benar.
Sama seperti pernyataan berkuantor universal, nilai kebenaran pernyataan berkuantor khusus juga dapat ditentukan dengan cara mengubah nilai peubah berdasarkan himpunan semesta yang ditentukan dan berdasarkan bentuk dari kalimat terbukanya.
Pernyataan berkuantor eksistensial akan bernilai benar, jika ada satu saja nilai x yang memenuhi p(x). Jika tidak ada sama sekali nilai x yang memenuhi p(x), maka pernyataan tersebut bernilai salah.
Sebagai contoh sederhana, katakanlah di kelas X ada 40 murid. Dari jumlah tersebut ternyata semuanya mendapat nilai di atas delapan pada ulangan matematika. Pada kondisi ini, maka pernyataan "Ada murid kelas X yang mendapat nilai di bawah delapan pada ulangan matematika" bernilai salah karena semua murid nilainya di atas delapan.
Contoh :
Jika himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real, maka ubahlah kalimat terbukan p(x) 4x - 3 = 5 menjadi pernyatan berkuantor eksistensial dan tentukan nilai kebenarannya.
Pembahasan :
Pernyataan berkuantor eksistensial dari 4x - 3 = 5 dapat ditulis sebagai berikut:
∃x ∈ R, 4x - 3 = 5
Karena sekurang-kurangnya harus ada satu nilai x yang membuat p(x) benar, maka kita dapat mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
⇒ 4x - 3 = 5
⇒ 4x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2
Ternyata nilai x yang memenuhi p(x) adalah x = 2. Karena 2 adalah bilangan real dan x = 2 menyebabkan p(x) bernilai benar, maka pernyataan berkuantor eksistensial tersebut bernilai benar.
Baca juga : Hubungan Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.