Sistem persamaan linear termasuk konsep matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memanfaatkan prinsip-prinsip penyelesaian suatu sistem persamaan linear, kita dapat menentukan solusi atau penyelesaian dari suatu masalah. Untuk menyelesaikan suatu masalah yang dapat diterjemahkan ke dalam bentuk sistem persamaan, maka kita harus merancang model matematika berbentuk sistem persamaan terlebih dahulu. Kita daat merancang model matematika berbentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) atau sistem persamaan linear tiga varibael (SPLTV) sesuai dengan jumlah variabel yang ada dalam permasalahn tersebut. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas cara merancang model matematika yang berbentuk SPLDV.
Variabel dalam suatu sistem persamaan linear adalah suatu peubah yang dilambangkan dengan huruf-huruf tertentu yang nilainya belum diketahui secara pasti. Nilai-nilai peubah tersebut bergantung pada bilangan-bilangan yang membentuk sistem persamaan.
Karena nilainya belum diketahui dengan jelas, maka penyelesaian dai suatu sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk mencari nilai-nilai peubah yang menyebabkan kedua persamaan dalam sistem persamaan lienar bernilai benar.
Bentu umum sistem persamaan linear dua variabel:
ax + by = c
px + qy = r
Pada bentuk umum di atas, x dan y merupakan variabel atau peubah yang nilainya belum diketahui secara jelas sedangkan a, b, c, p, q, r merupakan nilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya. Berdasarkan bilangan-bilangan real inilah nilai peubah ditentukan.
Suatu sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaiakan dengan beberapa metode. Tiga metode yang paling umum digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV antaralain:
1. Metode substitusi
2. Metode eliminasi
3. Metode campuran (eliminasi dan substitusi).
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear merupakan nilai-nilai peubah yang memenuhi kedua persamaan. Misal nilai x dan y yang memenuhi adalah xo dan yo, maka nilai xo dan yo harus memenuhi persamaan berikut:
axo + byo = c
pxo + qyo = r
Karena xo dan yo merupakan nilai peubah yang memenuhi sistem persamaan linear dua variabel tersebut, maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis sebagai {(xo, yo)}.
Baca juga : Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode Substitusi.
Sebelum merancang suatu masalah ke dalam model matematika berbentuk SPLDV, kita harus meastikan terlebih dahulu bahwa karakteristik masalah tersebut berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Pastikan bahwa masalah itu berbentuk SPLDV bukan SPLTV atau SPLK.
Cara mengidentifikasi suatu masalah tergolong SPLDV atau bukan cukup mudah, yaitu dengan mengidentifikasi besaran-besaran tertentu yang belum diketahui nilainya. Jika ada dua besaran yang belum diketahui nilainya, maka kemungkinan besar masalah itu dapat diselesaikan dengan model SPLDV.
Besaran-besaran yang belum diketahui nilainya itu selanjutnya akan kita jadikan sebagai variabel atau peubah. Kita dapat menggunakan huruf-huruf tertentu untuk melambangkan besaran tersebut sehingga dapat dirancang model matematika yang bersesuaian.
Berikut langah-langkah merancang model matematika berbentuk SPLDV:
1. Identifikasi dua besaran yang belum diketahui nilainya
2. Nyatakan besaran tersebut sebagai variabel
3. Rumuskan SPLDV yang merupakan model matematika dari masalah
4. Tentukan penyelesaian SPLDV yang terbentuk
5. Tafsirkan hasil yang diperoleh sesuai dengan pemisalan sebelumnya.
Contoh Soal :
Panjang sebuah persegi panjang sama dengan 8 cm lebih panjang dari lebarnya. Jika diketahui keliling persegi panjang itu sama dengan 60 cm, maka tentukanlah panjang dan lebar dari persegi panjang itu.
Pembahasan :
Dari soal cerita di atas, dapat kita identifikasi dua besaran yang belum diketahui nilainya, yaitu besaran panjang dan lebar. Selanjutnya, kita nyatakan besaran tersebut sebagai varaibel.
Kita misalkan :
Panjang persegi = x
Lebar persegi = y
Dari soal diketahui hubungan antara x dan y sebagai berikut:
⇒ x = y + 8 ..... (1)
Pada soal juga diketahui keliling persegi sebagai berikut:
⇒ Keliling persegi = 60
⇒ 2x + 2y = 60
⇒ x + y = 30 .... (2)
Nah, dari langkah di atas kita peroleh dua persamaan linear yaitu persamaan (1) dan (2). Dengan demikian, sistem persamaan linear dua variabel yang sesuai untuk soal tersebut adalah:
x = y + 8
x + y = 30
Langkah selanjutnya, kita tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV yang sudah kita rancang dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Pada kesempatan ini, kita akan coba menggunakan metode substitusi.
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) sebagai berikut:
⇒ x + y = 30
⇒ (y + 8) + y = 30
⇒ 2y + 8 = 30
⇒ 2y = 30 - 8
⇒ 2y = 22
⇒ y = 11
Selanjutnya, substitusi y = 11 ke persamaan (1) untuk mencari nilai x :
⇒ x = y + 8
⇒ x = 11 + 8
⇒ x = 19
Langkah terkahir, kembalikan x dan y sebagai besaran yang dicari:
x = panjang = 19 cm
y = lebar = 11 cm
Jadi, panjang dan lebar persegi panjang tersebut secara beurutan adalah 19 cm dan 11 cm.
Untuk memastikan apakah jawaban kita sudah benar atau belum, kita dapat mensubstitusikan nilai x dan y ke kedua persamaan linear tersebut.
Persamaan (1) :
⇒ x = y + 8
⇒ 19 = 11 + 8
⇒ 19 = 19 (Benar)
Persamaan (2) :
⇒ Keliling persegi = 60
⇒ 2x + 2y = 60
⇒ 2(19) + 2(11) = 60
⇒ 38 + 22 = 60
⇒ 60 = 60 (Benar)
Dari pembuktian tersebut, maka benar panjang dan lebarnya adalah 19 cm dan 11 cm.
Baca juga : Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi.
Konsep Dasar SPLDV
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Kedua persamaan tersebut memiliki dua variabel yang sama sehingga dapat ditentukan nilai yang memenuhi sistem tersebut.Variabel dalam suatu sistem persamaan linear adalah suatu peubah yang dilambangkan dengan huruf-huruf tertentu yang nilainya belum diketahui secara pasti. Nilai-nilai peubah tersebut bergantung pada bilangan-bilangan yang membentuk sistem persamaan.
Karena nilainya belum diketahui dengan jelas, maka penyelesaian dai suatu sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk mencari nilai-nilai peubah yang menyebabkan kedua persamaan dalam sistem persamaan lienar bernilai benar.
Bentu umum sistem persamaan linear dua variabel:
ax + by = c
px + qy = r
Pada bentuk umum di atas, x dan y merupakan variabel atau peubah yang nilainya belum diketahui secara jelas sedangkan a, b, c, p, q, r merupakan nilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya. Berdasarkan bilangan-bilangan real inilah nilai peubah ditentukan.
Suatu sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaiakan dengan beberapa metode. Tiga metode yang paling umum digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV antaralain:
1. Metode substitusi
2. Metode eliminasi
3. Metode campuran (eliminasi dan substitusi).
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear merupakan nilai-nilai peubah yang memenuhi kedua persamaan. Misal nilai x dan y yang memenuhi adalah xo dan yo, maka nilai xo dan yo harus memenuhi persamaan berikut:
axo + byo = c
pxo + qyo = r
Karena xo dan yo merupakan nilai peubah yang memenuhi sistem persamaan linear dua variabel tersebut, maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis sebagai {(xo, yo)}.
Baca juga : Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode Substitusi.
Merancang Model Matematika Berbentuk SPLDV
Merancang model matematika berbentuk SPLDV merupakan proses penyelesaian suatu permasalahan berbentuk cerita dengan cara mengubah soal cerita menjadi model matematika berbentuk sistem persamaan linear dua variabel.Sebelum merancang suatu masalah ke dalam model matematika berbentuk SPLDV, kita harus meastikan terlebih dahulu bahwa karakteristik masalah tersebut berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Pastikan bahwa masalah itu berbentuk SPLDV bukan SPLTV atau SPLK.
Cara mengidentifikasi suatu masalah tergolong SPLDV atau bukan cukup mudah, yaitu dengan mengidentifikasi besaran-besaran tertentu yang belum diketahui nilainya. Jika ada dua besaran yang belum diketahui nilainya, maka kemungkinan besar masalah itu dapat diselesaikan dengan model SPLDV.
Besaran-besaran yang belum diketahui nilainya itu selanjutnya akan kita jadikan sebagai variabel atau peubah. Kita dapat menggunakan huruf-huruf tertentu untuk melambangkan besaran tersebut sehingga dapat dirancang model matematika yang bersesuaian.
Berikut langah-langkah merancang model matematika berbentuk SPLDV:
1. Identifikasi dua besaran yang belum diketahui nilainya
2. Nyatakan besaran tersebut sebagai variabel
3. Rumuskan SPLDV yang merupakan model matematika dari masalah
4. Tentukan penyelesaian SPLDV yang terbentuk
5. Tafsirkan hasil yang diperoleh sesuai dengan pemisalan sebelumnya.
Contoh Soal :
Panjang sebuah persegi panjang sama dengan 8 cm lebih panjang dari lebarnya. Jika diketahui keliling persegi panjang itu sama dengan 60 cm, maka tentukanlah panjang dan lebar dari persegi panjang itu.
Pembahasan :
Dari soal cerita di atas, dapat kita identifikasi dua besaran yang belum diketahui nilainya, yaitu besaran panjang dan lebar. Selanjutnya, kita nyatakan besaran tersebut sebagai varaibel.
Kita misalkan :
Panjang persegi = x
Lebar persegi = y
Dari soal diketahui hubungan antara x dan y sebagai berikut:
⇒ x = y + 8 ..... (1)
Pada soal juga diketahui keliling persegi sebagai berikut:
⇒ Keliling persegi = 60
⇒ 2x + 2y = 60
⇒ x + y = 30 .... (2)
Nah, dari langkah di atas kita peroleh dua persamaan linear yaitu persamaan (1) dan (2). Dengan demikian, sistem persamaan linear dua variabel yang sesuai untuk soal tersebut adalah:
x = y + 8
x + y = 30
Langkah selanjutnya, kita tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV yang sudah kita rancang dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Pada kesempatan ini, kita akan coba menggunakan metode substitusi.
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) sebagai berikut:
⇒ x + y = 30
⇒ (y + 8) + y = 30
⇒ 2y + 8 = 30
⇒ 2y = 30 - 8
⇒ 2y = 22
⇒ y = 11
Selanjutnya, substitusi y = 11 ke persamaan (1) untuk mencari nilai x :
⇒ x = y + 8
⇒ x = 11 + 8
⇒ x = 19
Langkah terkahir, kembalikan x dan y sebagai besaran yang dicari:
x = panjang = 19 cm
y = lebar = 11 cm
Jadi, panjang dan lebar persegi panjang tersebut secara beurutan adalah 19 cm dan 11 cm.
Untuk memastikan apakah jawaban kita sudah benar atau belum, kita dapat mensubstitusikan nilai x dan y ke kedua persamaan linear tersebut.
Persamaan (1) :
⇒ x = y + 8
⇒ 19 = 11 + 8
⇒ 19 = 19 (Benar)
Persamaan (2) :
⇒ Keliling persegi = 60
⇒ 2x + 2y = 60
⇒ 2(19) + 2(11) = 60
⇒ 38 + 22 = 60
⇒ 60 = 60 (Benar)
Dari pembuktian tersebut, maka benar panjang dan lebarnya adalah 19 cm dan 11 cm.
Baca juga : Contoh Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.