Edutafsi.com - Sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) merupakan sistem persamaan yang terdiri dari dua bagian yaitu bagian linear dan bagian kuadrat. Sama seperti SPLDV dan SPLTV, sistem persamaan linear dan kuadrat juga bisa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal cerita yang berkaitan dengan SPLK. Dengan menggunakan konsep SPLK, kita dapat mengubah soal cerita menjadi model matematika berbentuk SPLK dan menentukan penyelesaiannya. Konsep SPLK banyak digunakan untuk menyelesaikan soal-soal dalam bidang fisika. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas cara merancang model matematika berbentuk SPLK untuk menentukan penyelesaiannya.
Sistem persamaan linear dan kuadrat yang terdiri dari persamaan kuadrat berbentuk eksplisit disebut SPLK eksplisit. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dicirikan dengan bagian kuadrat yang mengandung salah satu peubah berpangkat kuadrat dan variabel dapat dinyatakan sebagai fungsi variabel lainnya.
Bentuk umum SPLK eksplisit:
Bagian linear : y = ax + b
Bagian kuadrat : y = px2 + qx + r
Pada bentuk di atas, x dan y merupakan variabel sedangkan a, b, p, q, dan r adalah bilangan real. Bagian kuadrat berbentuk eksplisit karena dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Sistem persamaan linear dan kuadrat yang terdiri dari persamaan kuadrat berbentuk implisit disebut SPLK implisit. SPLK denfan bagian kuadrat berbentuk implisit dicirikan dengan bagian kuadrat yang mengandung dua variabel ebrpangkat kuadrat dan variabel tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi variabel lainnya.
Bentuk umum SPLK implisit:
Bagian linear : px + qy + r = 0
Bagian kuadrat : ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
Pada bentuk di atas, x dan y merupakan variabel sedangkan p, q, r, a, b, c, d, e, dan f adalah bilangan-bilangan real. Bagian kuadrat berbentuk implisit dan tidak dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Penyelesaian SPLK dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan bagian linear ke bagian kuadrat sehingga dihasilkan persamaan kuadrat. Selanjutnya, ditentukan penyelesaian untuk persamaan kuadrat tersebut dan hasilnya disubstitusikan untuk memperoleh nilai variabel lainnya.
Untuk SPLK implisit yang bagian kuadratnya dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dilakukan dengan memfaktorkan terlebih dahulu persamaan kuadratnya sehingga dihasilkan dua persamaan linear. Kedua persamaan kemudian dirangkai dengan bagian linear dan dihasilkan dua SPLDV.
Selanjutnya, masing-masing SPLDV diselesaikan untuk memperoleh nilai-nilai yang memenuhi persamaan linear dan kuadrat tersebut. Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan metode substitusi atau metode eliminasi.
Model soal cerita yang sering keluar biasanya berbentuk SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk SPLK eksplisit cenderung lebih sederhana dari SPLK implisit sehingga reltif lebih mudah untuk diselesaikan.
Untuk mengubah soal cerita menjadi sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus mengidentifikasi besaran-besaran yang belum diketahui. Besaran-besaran inilah yang akan kita jadikan sebagai varaibel. Selanjutnya, kita nyatakan besaran sebagai varaibel dengan melakukan pemisalan menggunakan lambang huruf.
Berdasarkan ketentuan yang diketahui dalam soal, selanjutnya kita susun persamaan linear dan kuadrat yang sesuai dengan soal. Setelah SPLK diperoleh, selanjutnya kita tentukan penyelesaiannya untuk mengetahui nilai besaran-besaran yang belum diketahui.
Langkah mengubah soal ke bentuk SPLK:
1. Identifikasi besaran-besaran yang tidak diketahui nilainya
2. Nyatakan besaran-besaran tersebut sebagai variabel dan lakukan pemisalan
3. Susun SPLK yang bersesuaian dengan soal cerita
4. Tentukan penyelesaian SPLK yang terbentuk
5. Tafsirkan hasilnya sesuai dengan pemisalan yang dilakukan sebelumnya.
Contoh Soal :
Bobi mengendarai sepeda motornya dengan kecepatan konstan sebesar 20 meter/detik. Tepat setelah Bobi melewati Anton, Anton segera mengendarai sepeda motornya dari keadaan diam dengan percepatan tetap sebesar 10 meter/detik2. Jika arah gerak Bobi dan Anton sama, maka tentukan kapan Anton bisa menyusul Bobi.
Pembahasan :
Pada soal diketahui beberapa besaran yaitu kecepatan dan percepatan. karena ditanya kapan Anton bisa mneyusul Bobi, maka besaran yang tidak diketahui adalah besaran waktu dan jarak. Artinya, pada detik keberapa dan setelah menmpuh jarak berapa meter kedua anak tersebut bertemu.
Selanjutnya, kita nyatakan besaran sebagai varaiabel dengan pemisalan:
waktu = t
jarak = x
Setelah itu, kita susun persamaan yang bersesuaian dengan soal cerita berdasarkan kondisi atau ketentuan yang diketahui dalam soal.
Persamaan untuk Bobi:
Karena Bobi bergerak dengan kecepatan konstan (Vo = 20 meter/detik), maka berlakulah konse gerak lurus beraturan atau GLB. Dengan demikian, persamaan yang berlaku untuk Bobi adalah sebagai berikut:
⇒ x = Vo .t
⇒ x = 20 t .... (1)
Persamaan untuk Anton:
Karena Anton bergerak dari keadaan diam (Vo = 0) dan memiliki percepatan konstan (a = 10 meter/detik2), maka berlaku konsep gerak lurus berubah beraturan atau GLBB. Dengan demikian, hubungan antara waktu dan jaraknya adalah sebagai berikut:
⇒ x = Vo + ½at2
⇒ x = 0 + ½at2
⇒ x = ½at2
⇒ x = ½ (10) t2
⇒ x = 5t2 ..... (2)
Dari proses di atas kita peroleh dua persamaan yaitu persamaan (1) dan (2). Persamaan (1) berbentuk linear dan persamaan (2) berbentuk kuadrat. Dengan demikian, kita peroleh SPLK sebagai berikut:
x = 20t
x = 5t2
Langkah selanjutnya kita selesaikan SPLK yang terbentuk dengan cara mensubstitusikan nilai x = 20t ke dalam bagian kuadrat:
⇒ x = 5t2
⇒ 20t = 5t2
⇒ 4t = t2
⇒ 4 = t
⇒ t = 4 detik
Substitusi nilai t = 4 ke salah satu persamaan untuk mendapat nilai x:
⇒ x = 20t
⇒ x = 20(2)
⇒ x = 40 meter
Jadi, Anton akan menyusul Bobi setelah bergerak selama 2 detik atau setelah menempuh jarak sejauh 40 meter.
Konsep Dasar SPLK
Sistem persamaan linear dan kuadrat adalah sistem persamaan yang terdiri dari sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing memiliki dua variabel atau peubah yang sama misalnya x dan y. Jadi, pada SPLK ada dua bagian yaitu bagian linear dan bagian kuadrat.Sistem persamaan linear dan kuadrat yang terdiri dari persamaan kuadrat berbentuk eksplisit disebut SPLK eksplisit. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dicirikan dengan bagian kuadrat yang mengandung salah satu peubah berpangkat kuadrat dan variabel dapat dinyatakan sebagai fungsi variabel lainnya.
Bentuk umum SPLK eksplisit:
Bagian linear : y = ax + b
Bagian kuadrat : y = px2 + qx + r
Pada bentuk di atas, x dan y merupakan variabel sedangkan a, b, p, q, dan r adalah bilangan real. Bagian kuadrat berbentuk eksplisit karena dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Sistem persamaan linear dan kuadrat yang terdiri dari persamaan kuadrat berbentuk implisit disebut SPLK implisit. SPLK denfan bagian kuadrat berbentuk implisit dicirikan dengan bagian kuadrat yang mengandung dua variabel ebrpangkat kuadrat dan variabel tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi variabel lainnya.
Bentuk umum SPLK implisit:
Bagian linear : px + qy + r = 0
Bagian kuadrat : ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
Pada bentuk di atas, x dan y merupakan variabel sedangkan p, q, r, a, b, c, d, e, dan f adalah bilangan-bilangan real. Bagian kuadrat berbentuk implisit dan tidak dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Penyelesaian SPLK dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan bagian linear ke bagian kuadrat sehingga dihasilkan persamaan kuadrat. Selanjutnya, ditentukan penyelesaian untuk persamaan kuadrat tersebut dan hasilnya disubstitusikan untuk memperoleh nilai variabel lainnya.
Untuk SPLK implisit yang bagian kuadratnya dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dilakukan dengan memfaktorkan terlebih dahulu persamaan kuadratnya sehingga dihasilkan dua persamaan linear. Kedua persamaan kemudian dirangkai dengan bagian linear dan dihasilkan dua SPLDV.
Selanjutnya, masing-masing SPLDV diselesaikan untuk memperoleh nilai-nilai yang memenuhi persamaan linear dan kuadrat tersebut. Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan metode substitusi atau metode eliminasi.
Model soal cerita yang sering keluar biasanya berbentuk SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk SPLK eksplisit cenderung lebih sederhana dari SPLK implisit sehingga reltif lebih mudah untuk diselesaikan.
Cara Mengubah Soal ke Bentuk SPLK
SPLK dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan linear dan kuadrat. Untuk menandainya, ada besaran dalam soal yang dinyatakan dalam pangkat kuadrat. Biasanya soal seperti ini banyak diumpai dalam pelajaran fisika saat berbicara tentang kecepatan dan percepatan.Untuk mengubah soal cerita menjadi sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus mengidentifikasi besaran-besaran yang belum diketahui. Besaran-besaran inilah yang akan kita jadikan sebagai varaibel. Selanjutnya, kita nyatakan besaran sebagai varaibel dengan melakukan pemisalan menggunakan lambang huruf.
Berdasarkan ketentuan yang diketahui dalam soal, selanjutnya kita susun persamaan linear dan kuadrat yang sesuai dengan soal. Setelah SPLK diperoleh, selanjutnya kita tentukan penyelesaiannya untuk mengetahui nilai besaran-besaran yang belum diketahui.
Langkah mengubah soal ke bentuk SPLK:
1. Identifikasi besaran-besaran yang tidak diketahui nilainya
2. Nyatakan besaran-besaran tersebut sebagai variabel dan lakukan pemisalan
3. Susun SPLK yang bersesuaian dengan soal cerita
4. Tentukan penyelesaian SPLK yang terbentuk
5. Tafsirkan hasilnya sesuai dengan pemisalan yang dilakukan sebelumnya.
Contoh Soal :
Bobi mengendarai sepeda motornya dengan kecepatan konstan sebesar 20 meter/detik. Tepat setelah Bobi melewati Anton, Anton segera mengendarai sepeda motornya dari keadaan diam dengan percepatan tetap sebesar 10 meter/detik2. Jika arah gerak Bobi dan Anton sama, maka tentukan kapan Anton bisa menyusul Bobi.
Pembahasan :
Pada soal diketahui beberapa besaran yaitu kecepatan dan percepatan. karena ditanya kapan Anton bisa mneyusul Bobi, maka besaran yang tidak diketahui adalah besaran waktu dan jarak. Artinya, pada detik keberapa dan setelah menmpuh jarak berapa meter kedua anak tersebut bertemu.
Selanjutnya, kita nyatakan besaran sebagai varaiabel dengan pemisalan:
waktu = t
jarak = x
Setelah itu, kita susun persamaan yang bersesuaian dengan soal cerita berdasarkan kondisi atau ketentuan yang diketahui dalam soal.
Persamaan untuk Bobi:
Karena Bobi bergerak dengan kecepatan konstan (Vo = 20 meter/detik), maka berlakulah konse gerak lurus beraturan atau GLB. Dengan demikian, persamaan yang berlaku untuk Bobi adalah sebagai berikut:
⇒ x = Vo .t
⇒ x = 20 t .... (1)
Persamaan untuk Anton:
Karena Anton bergerak dari keadaan diam (Vo = 0) dan memiliki percepatan konstan (a = 10 meter/detik2), maka berlaku konsep gerak lurus berubah beraturan atau GLBB. Dengan demikian, hubungan antara waktu dan jaraknya adalah sebagai berikut:
⇒ x = Vo + ½at2
⇒ x = 0 + ½at2
⇒ x = ½at2
⇒ x = ½ (10) t2
⇒ x = 5t2 ..... (2)
Dari proses di atas kita peroleh dua persamaan yaitu persamaan (1) dan (2). Persamaan (1) berbentuk linear dan persamaan (2) berbentuk kuadrat. Dengan demikian, kita peroleh SPLK sebagai berikut:
x = 20t
x = 5t2
Langkah selanjutnya kita selesaikan SPLK yang terbentuk dengan cara mensubstitusikan nilai x = 20t ke dalam bagian kuadrat:
⇒ x = 5t2
⇒ 20t = 5t2
⇒ 4t = t2
⇒ 4 = t
⇒ t = 4 detik
Substitusi nilai t = 4 ke salah satu persamaan untuk mendapat nilai x:
⇒ x = 20t
⇒ x = 20(2)
⇒ x = 40 meter
Jadi, Anton akan menyusul Bobi setelah bergerak selama 2 detik atau setelah menempuh jarak sejauh 40 meter.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.