Edutafsi.com - Selain menggunakan metode substitusi, sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi atau dengan metode campuran yang menggunakan metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan. Prinsip pengerjaannya sama dengan sistem persamaan linear dua variabel yaitu dengan cara mengeliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) Setelah diperoleh SPLDV, selanjutnya dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi atau menggunakan metode substitusi. Pada kesempatan ini, Bahan Belajar sekolah akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan metode eliminasi dan metode campuran.
Untuk mengeliminasi peubah tertentu, maka kita harus menyamakan bilangan yang ada di belakang peubah tersebut sehingga saling meniadakan saat dikurang atau dijumlah. Untuk menyamakannya, maka persamaan harus dikali dengan bilangan tertentu.
Berikut langkah penyelesaian menggunakan metode eliminasi:
1. Pilih bentuk peubah yang paling sederhana
2. Eliminasi salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV
3. Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah
4. Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua
5. Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini:
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
Pembahasan :
Langkah pertama kita tentukan variabel apa yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah x sehingga kita akan eliminasi x terlebih dahulu.
Untuk menghilangkan peubah x, maka kita harus samakan bilangannya. Pada persamaan pertama dan ketiga sudah sama tapi persamaan kedua berbeda. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 1, persamaan pertama dan ketiga dikali 2.
x + 3y + 2z = 16 |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40
Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.
Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 _
2y + 6z = 20
Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
2x + 4y - 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
2y - 10z = -28
Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28
Selanjutnya kita selesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.
Eliminasi peubah y untuk memperoleh nilai z:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28 _
16z = 48
z = 3
Eliminasi peubah z untuk memperoleh nilai y:
2y + 6z = 20 |x 5| ⇒ 10y + 30z = 100
2y - 10z = -28 |x 3| ⇒ 6y - 30z = -84
10y + 30z = 100
6y - 30z = -84 +
16y = 16
y = 1
Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7
Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7, 1, 3)}.
Untuk memeriksa jawaban sudah benar atau belum, substitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga persamaan pada SPLTV.
Pada kesempatan ini kita akan mencoba metode campuran dengan mengeliminasi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan substitusi. Prosesnya hampir sama seperti di atas tetapi pada metode campuran, SPLDV yang diperoleh diseslesaikan dengan metode substitusi.
Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
Pembahasan :
Langkah pertama kita eliminasi salah satu peubah dalam SPLTV sehingga diperoleh SPLDV.
x + 3y + 2z = 16 |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40
Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.
Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28
Kalau pada metode eliminasi, SPLDV di atas kita selesaikan dengan metode eliminasi. Pada metode campuran, SPLDV nya kita selesaikan dengan metode substitusi sebagai berikut:
Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y = 20 - 6z
Substitusi 2z ke persamaan kedua:
⇒ 2y - 10z = -28
⇒ (20 - 6z) - 10z = -28
⇒ -16z = -28 - 20
⇒ -16z = -48
⇒ z = 3
Selanjutnya substitusi nilai z untuk mendapat nilai y:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y + 6(3) = 20
⇒ 2y + 18 = 20
⇒ 2y = 20 - 18
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1
Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7
Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7, 1, 3)}.
SPLTV Metode Eliminasi
Metode eliminasi merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu peubah sehingga dihasilkan sistem persamaan linear dengan jumlah peubah lebih sedikit. Untuk SPLTV, kita gunakan metode eliminasi agar tersisa dua variabel saja.Untuk mengeliminasi peubah tertentu, maka kita harus menyamakan bilangan yang ada di belakang peubah tersebut sehingga saling meniadakan saat dikurang atau dijumlah. Untuk menyamakannya, maka persamaan harus dikali dengan bilangan tertentu.
Berikut langkah penyelesaian menggunakan metode eliminasi:
1. Pilih bentuk peubah yang paling sederhana
2. Eliminasi salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV
3. Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah
4. Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua
5. Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini:
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
Pembahasan :
Langkah pertama kita tentukan variabel apa yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah x sehingga kita akan eliminasi x terlebih dahulu.
Untuk menghilangkan peubah x, maka kita harus samakan bilangannya. Pada persamaan pertama dan ketiga sudah sama tapi persamaan kedua berbeda. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 1, persamaan pertama dan ketiga dikali 2.
x + 3y + 2z = 16 |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40
Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.
Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 _
2y + 6z = 20
Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
2x + 4y - 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
2y - 10z = -28
Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28
Selanjutnya kita selesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.
Eliminasi peubah y untuk memperoleh nilai z:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28 _
16z = 48
z = 3
Eliminasi peubah z untuk memperoleh nilai y:
2y + 6z = 20 |x 5| ⇒ 10y + 30z = 100
2y - 10z = -28 |x 3| ⇒ 6y - 30z = -84
10y + 30z = 100
6y - 30z = -84 +
16y = 16
y = 1
Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7
Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7, 1, 3)}.
Untuk memeriksa jawaban sudah benar atau belum, substitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga persamaan pada SPLTV.
Penyelesaian SPLTV Metode Campuran
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan substitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.Pada kesempatan ini kita akan mencoba metode campuran dengan mengeliminasi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan substitusi. Prosesnya hampir sama seperti di atas tetapi pada metode campuran, SPLDV yang diperoleh diseslesaikan dengan metode substitusi.
Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
Pembahasan :
Langkah pertama kita eliminasi salah satu peubah dalam SPLTV sehingga diperoleh SPLDV.
x + 3y + 2z = 16 |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40
Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.
Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
| 2x + 6y + 4z = 32 | |
| 2x + 4y - 2z = 12 | _ |
| 2y + 6z = 20 |
Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
| 2x + 4y - 2z = 12 | |
| 2x + 2y + 8z = 40 | _ |
| 2y - 10z = -28 |
Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28
Kalau pada metode eliminasi, SPLDV di atas kita selesaikan dengan metode eliminasi. Pada metode campuran, SPLDV nya kita selesaikan dengan metode substitusi sebagai berikut:
Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y = 20 - 6z
Substitusi 2z ke persamaan kedua:
⇒ 2y - 10z = -28
⇒ (20 - 6z) - 10z = -28
⇒ -16z = -28 - 20
⇒ -16z = -48
⇒ z = 3
Selanjutnya substitusi nilai z untuk mendapat nilai y:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y + 6(3) = 20
⇒ 2y + 18 = 20
⇒ 2y = 20 - 18
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1
Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7
Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7, 1, 3)}.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.