MENENTUKAN BEDA BARISAN ARITMATIKA JIKA DIKETAHUI SEBARANG SUKU

Posted by on 12 September 2017 - 4:42 PM

Edutafsi.com - Hubungan Sebarang Suku dengan Beda. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas cara menentukan beda barisan aritmatika untuk beberapa kondisi yang umum. Salah satu kondisi yang dibahas adalah menentukan beda barisan jika dua suku yang tidak berdekatan diketahui. Jika pada soal diketahui dua suku sebarang yang tidak berdekatan atau tidak berurutan, maka salah satu cara menentukan beda barisannya adalah dengan memanfaatkan konsep sistem persamaan linear dua variabel. Akan tetapi, soal seperti itu juga dapat diselesaikan tanpa konsep persamaan linear dua variabel. Cara lain yang dapat digunakan adalah dengan menyatakan hubungan sebarang suku yang diketahui melalui beda barisan. Bagaimana caranya? Untuk lebih jelasnya perhatikan pembahasan berikut ini.

A. Hubungan Dua Suku Berdekatan

Hubungan antara dua suku yang berdekatan (berurutan) dalam suatu barisan arimatika dapat dilihat melalui persamaan atau rumus menentukan beda. Dari rumus tersebut jelas bahwa selisih antara dua suku berdekatan dalam suatu barisan aritmatika adalah beda barisan tersebut.

Persamaan rumus menentukan beda barisan dapat ditulis dalam bentuk yang berbeda untuk menyatakan bagaimana hubungan antara dua suku yang berdekatan. Dengan bentuk lain, akan terlihat bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika merupakan jumlah dari suku sebelumnya dengan beda barisan tersebut. Hubungan tersebut tanpak pada persaman di bawah ini :
Un = Un-1 + b

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1, 2, 3, ...)
Un-1 = sebuah suku sebelum suku ke-n
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa suku ketiga suatu barisana aritmatika adalah jumlah dari suku kedua ditambah beda barisan, suku keempat adalah jumlah dari suku ketiga ditambah beda barisan, dan begitu seterusnya. Hubungan tersebut merupakan konsep dasar aritmatika yang harus dipahami.

Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 45, 51, 57, 63, 69, 75. Tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Untuk soal dasar seperti ini, beda barisan dapat dengan mudah diketahui sebab beda barisan adalah selisih antara dua suku barisan yang berdekatan, sehingga dapat ditentukan dengan menghitung selisih antar suku-suku yang diketahui.

Beda barisan :
⇒ b = 51 - 45 = 57 - 51 = 63 - 57
⇒ b = 6 = 6 = 6
⇒ b = 6

Jadi, beda barisan tersebut adalah 6.

B. Hubungan Sebarang Suku

Lalu bagaimana jika pada soal tidak diketahui dua suku yang berdekatan? Jika pada soal hanya diketahui dua atau beberapa suku sebarang yang posisinya tidak berdekatan, bagaimana hubungan antara suku-suku tersebut melalui beda barisan?

Misal diberi barisan aritmatika sebagai berikut :
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

Dari data di atas, dapat diketahui suku kelima dan suku kedelapan barisan tersebut adalah 18 dan 30. Bagaimana hubungan kedua suku tersebut jika dinyatakan melalui beda barisan? Hubungan tersebut terlihat pada penurunan persamaan sebagai berikut:

Persamaan untuk suku kedelapan :
Suku ke-8 adalah jumlah antara suku ke-7 ditambah beda barisan.
⇒ U8 = U7 + b
⇒ U8 = (U6 + b) + b
⇒ U8 = U6 + b + b
⇒ U8 = (U5 + b) + b + b
⇒ U8 = U5 + b + b + b
⇒ U8 = U5 + 3b

Sekarang mari kita buktikan persamaan di atas sesuai atau tidak. Pada soal diketahui beda barisan adalah 4 (6 - 2 = 4). Dengan demikian suku kedelapan barisan tersebut adalah:
⇒ U8 = U5 + 3b
⇒ U8 = 18 + 3(4)
⇒ U8 = 18 + 12
⇒ U8 = 30 (Benar).

Dari penurunan di atas, ternyata diperoleh hubungan antara suku kedelapan dan suku kelima. Hubungan tersebut ternyata memiliki pola khusus yang berlaku untuk semua sebarang suku dalam barisan aritmatika. Jika dinyatakan dalam persamaan umum, maka hubungan sebarang suku adalah sebagai berikut:
Un = Un-k + kb

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1, 2, 3, ...)
Un-k = suku sebarang sebelum suku ke-n (k = 1, 2, 3, ...)
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Contoh :
Jika diketahui suku keenam dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika adalah 9 dan 25, maka tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : U6 = 9, U10 =25
Dit : b = .... ?

Nyatakan suku ke-10 dalam bentuk suku ke-6 :
Untuk menyatakan suku ke-10 ke dalam bentuk persamaan di atas, maka kita tentukan nilai k yang bersesuaian. Nilai k merupakan selisih n antara suku ke-10 dengan suku ke-6 :
⇒ k = 10 - 6
⇒ k = 4

Hubungan dua suku sebarang untuk menentukan beda

Dengan demikian kita peroleh n = 10 dan k = 4. Selanjutnya substitusi nilai n dan k ke persamaan umum hubungan sebarang suku sebagai berikut:
⇒ Un = Un-k + kb
⇒ U10 = U10-4 + 4b
⇒ U10 = U6 + 4b
⇒ 25 = 9 + 4b
⇒ 4b = 25 - 9
⇒ 4b = 16
⇒ b = 4

Jadi, beda barisan tersebut adalah 4. Dengan cara ini kita tidak perlu menyusun sistem persaman linear dua variabel seperti pada pembahasan sebelumnya.

Perhatikan beberapa contoh hubungan sebarang suku berikut ini:
a). U10 dan U4 → U10 = U4 + 6b
b). U8 dan U3 → U8 = U3 + 5b
c). U12 dan U8 → U12 = U8 + 4b.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements