Edutafsi.com - Rumus Un Barisan Aritmatika Jika Beda Tidak Diketahui. Beda merupakan bilangan tetap yang menyatakan selisih antara dua suku berdekatan dalam barisan aritmatika. Nilai ini tetap karena selisih dari setiap dua suku yang berdekatan di dalam barisan aritmatika adalah sama besar. Rumus suku ke-n (Un) merupakan sebuah rumus umum yang digunakan untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika. Dalam soal, biasanya persamaan ini harus dinyatakan dalam variabel n dengan n menyatakan jumlah sukunya. Jika beda barisan tidak diketahui, maka ada tiga kemungkinan model soal yang umum seperti di bawah ini.
Untuk menyelesaikan soal seperti ini, langkah pertama yang dapat dilakukan adalah dengan mencatat beberapa variabel yang ada di dalam rumus umum. Dari rumus Un = a + (n - 1)b, maka variabel yang harus kita cari nilainya adalah a dan b.
Untuk a dapat dengan mudah diketahui yaitu dengan melihat suku pertama barisan tersebut. Sedangkan beda (b) dapat dengan mudah ditentukan dengan cara melihat selisih antara dua suku yang berdekatan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Diberikan barisan aritmatika sebagai berikut : 2, 5, 8, 11, ..., Un. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n!
Pembahasan :
Dik : U1 = a = 2, b = 5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 3
Dit : Un = ... ?
Substitusi nilai a dan b ke persamaan umum :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)3
⇒ Un = 2 + 3n - 3
⇒ Un = 3n - 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n - 1.
Langkah-langkah penyelesaian :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan suku yang diketahui
2). Substitusi nilai a ke persamaan itu untuk memperoleh nilai b
3). Susbtitusi nilai a dan b ke persamaan umum Un.
Contoh :
Diketahui suku pertama dan suku keenam dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 30 dan 20. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n!
Pembahasan :
Dik : U1 = a =30, U6 = 20
Dit : b = ... ?
Langkah #1 : Susun Persamaan untuk Suku yang Diketahui
Untuk menyusun persamaan yang bersesuaian dengan suku yang diketahui, ingat kembali hubungan antara suku pertama, beda, dan Un.
⇒ U6 = 20
⇒ a + (6 - 1)b = 20
⇒ a + 5b = 20
Langkah #2 : Substitusi Nilai a ke Persamaan yang Terbentuk
⇒ a + 5b = 20
⇒ 30 + 5b = 20
⇒ 5b = 20 - 30
⇒ 5b = -10
⇒ b = -2
Langkah #3 : Substitusi Nilai a dan b ke Persamaan Umum
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 30 + (n - 1)-2
⇒ Un = 30 - 2n + 2
⇒ Un = 32 - 2n
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 32 - 2n.
Langkah-langkah penyelesaian :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan dua suku yang diketahui
2). Selesaikan sistem persamaan lienar dua variabel yang terbentuk
3). Substitusi nilai a dan b ke persamaan umum Un
Contoh :
Diketahui suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan artimatika adalah 24 dan 18. Jika n menyatakan banyak suku, maka tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n!
Pembahasan :
Dik : U4 = 24, U7 = 18
Dit : Un = .... ?
Langkah #1 : Menyusun Persamaan untuk Suku diketahui
Persamaan untuk suku keempat
⇒ U4 = 24
⇒ a + (4 - 1)b = 24
⇒ a + 3b = 24
Persamaan untuk suku ketujuh
⇒ U7 = 18
⇒ a + (7 - 1)b = 18
⇒ a + 6b = 18
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel :
1). a + 3b = 24
2). a + 6b = 18
Langkah #2 : Menyelesaikan SPLDV yang terbentuk
Dari persamaan (1) diperoleh :
⇒ a + 3b = 24
⇒ a = 24 - 3b
Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ a + 6b = 18
⇒ (24 - 3b) + 6b = 18
⇒ 24 - 3b + 6b = 18
⇒ 3b = 18 - 24
⇒ 3b = -6
⇒ b = -2
Substitusi nilai b ke persamaan 1 untuk memperoleh nilai a :
⇒ a = 24 - 3b
⇒ a = 24 - 3(-2)
⇒ a = 24 + 6
⇒ a = 30
Langkah #3 : Substitusi nilai a dan b ke persamaan umum :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 30 + (n - 1)-2
⇒ Un = 30 - 2n + 2
⇒ Un = 32 - 2n
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 32 - 2n.
A. Diketahui Beberapa Suku
Kondisi yang pertama, pada soal diketahui beberapa suku pertama barisan aritmatika dan murid diminta untuk menentukan rumus suku ke-n barian tersebut dalam variabel n. Model soal seperti ini termasuk soal dasar karena masih sangat sederhana.Untuk menyelesaikan soal seperti ini, langkah pertama yang dapat dilakukan adalah dengan mencatat beberapa variabel yang ada di dalam rumus umum. Dari rumus Un = a + (n - 1)b, maka variabel yang harus kita cari nilainya adalah a dan b.
Untuk a dapat dengan mudah diketahui yaitu dengan melihat suku pertama barisan tersebut. Sedangkan beda (b) dapat dengan mudah ditentukan dengan cara melihat selisih antara dua suku yang berdekatan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Diberikan barisan aritmatika sebagai berikut : 2, 5, 8, 11, ..., Un. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n!
Pembahasan :
Dik : U1 = a = 2, b = 5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 3
Dit : Un = ... ?
Substitusi nilai a dan b ke persamaan umum :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)3
⇒ Un = 2 + 3n - 3
⇒ Un = 3n - 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n - 1.
B. Suku Pertama dan Sebuah Suku Lain Diketahui
Kondisi kedua yaitu suku pertama dan sebuah suku lainnya diketahui. Jika di dalam soal hanya diketahui suku pertama dan sebuah suku ke-n yang terletak jauh dari suku pertama, maka bedanya harus ditentukan telebih dahulu dengan memanfaatkan metode substitusi.Langkah-langkah penyelesaian :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan suku yang diketahui
2). Substitusi nilai a ke persamaan itu untuk memperoleh nilai b
3). Susbtitusi nilai a dan b ke persamaan umum Un.
Contoh :
Diketahui suku pertama dan suku keenam dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 30 dan 20. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n!
Pembahasan :
Dik : U1 = a =30, U6 = 20
Dit : b = ... ?
Langkah #1 : Susun Persamaan untuk Suku yang Diketahui
Untuk menyusun persamaan yang bersesuaian dengan suku yang diketahui, ingat kembali hubungan antara suku pertama, beda, dan Un.
⇒ U6 = 20
⇒ a + (6 - 1)b = 20
⇒ a + 5b = 20
Langkah #2 : Substitusi Nilai a ke Persamaan yang Terbentuk
⇒ a + 5b = 20
⇒ 30 + 5b = 20
⇒ 5b = 20 - 30
⇒ 5b = -10
⇒ b = -2
Langkah #3 : Substitusi Nilai a dan b ke Persamaan Umum
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 30 + (n - 1)-2
⇒ Un = 30 - 2n + 2
⇒ Un = 32 - 2n
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 32 - 2n.
C. Beda dan Suku Pertama Tidak Diketahui
Model soal selanjutnya adalah beda dan suku pertamanya tidak diketahui. Untuk model seperti ini, penyelesaiannya lebih kompleks karena melibatkan konsep penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Jadi, jika anda sudah menguasai konsep SPLDV, maka soal ini juga akan mudah.Langkah-langkah penyelesaian :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan dua suku yang diketahui
2). Selesaikan sistem persamaan lienar dua variabel yang terbentuk
3). Substitusi nilai a dan b ke persamaan umum Un
Contoh :
Diketahui suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan artimatika adalah 24 dan 18. Jika n menyatakan banyak suku, maka tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n!
Pembahasan :
Dik : U4 = 24, U7 = 18
Dit : Un = .... ?
Langkah #1 : Menyusun Persamaan untuk Suku diketahui
Persamaan untuk suku keempat
⇒ U4 = 24
⇒ a + (4 - 1)b = 24
⇒ a + 3b = 24
Persamaan untuk suku ketujuh
⇒ U7 = 18
⇒ a + (7 - 1)b = 18
⇒ a + 6b = 18
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel :
1). a + 3b = 24
2). a + 6b = 18
Langkah #2 : Menyelesaikan SPLDV yang terbentuk
Dari persamaan (1) diperoleh :
⇒ a + 3b = 24
⇒ a = 24 - 3b
Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ a + 6b = 18
⇒ (24 - 3b) + 6b = 18
⇒ 24 - 3b + 6b = 18
⇒ 3b = 18 - 24
⇒ 3b = -6
⇒ b = -2
Substitusi nilai b ke persamaan 1 untuk memperoleh nilai a :
⇒ a = 24 - 3b
⇒ a = 24 - 3(-2)
⇒ a = 24 + 6
⇒ a = 30
Langkah #3 : Substitusi nilai a dan b ke persamaan umum :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 30 + (n - 1)-2
⇒ Un = 30 - 2n + 2
⇒ Un = 32 - 2n
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 32 - 2n.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.