Edutafsi.com - Kumpulan soal dan pembahasan tentang cara menentukan banyak suku dalam suatu barisan atau deret aritmatika. Salah satu model soal yang cukup sering keluar tentang barisan dan deret aritmatika adalah soal menentukan jumlah atau banyak suku (n) dalam barisan aritmatika. Variabel banyak suku (n) sering digunakan dalam beberapa rumus dasar barisan dan deret aritmatika seperti rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas beberapa contoh soal tentang menentukan banyak suku deret aritmatika. Contoh soal ini disusun berdasarkan model soal yang pernah keluar dan diharapkan dapat membantu murid dalam memahami konsep barisan dan deret aritmatika.
A. n = 20
B. n = 15
C. n = 10
D. n = 8
E. n = 6
Pembahasan :
Dik : a = 10, b = 4, Un = 86
Dit : n = .... ?
Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda barisan, dan suku ke-n suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan persamaan :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Substitusi nilai a, b, dan Un, maka diperoleh :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ 86 = 10 + (n - 1)4
⇒ 86 = 10 + 4n - 4
⇒ 86 = 4n + 6
⇒ 86 - 6 = 4n
⇒ 4n = 80
⇒ n = 20
Jadi, banyak suku dalam barisan tersebut adalah 20 suku.
A. n = 6
B. n = 8
C. n = 9
D. n = 12
E. n = 14
Pembahasan :
Dik : Sn = 2n2 + 12n, Sn = 144
Dit : n = ....
Jumlah total deret diketahui :
⇒ Sn = 144
⇒ 2n2 + 12n = 144
⇒ n2 + 6n = 72
⇒ n2 + 6n - 72 = 0
Diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel n. Nilai n dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut :
⇒ n2 + 6n - 72 = 0
⇒ (n + 12)(n - 6) = 0
⇒ n = -12 atau n = 6
Karena n (banyak suku) tidak mungki negatif, maka n yang memenuhi adalah 6. Jadi, banya suku dalam barisan tersebut adalah 6.
A. n = 17
B. n = 13
C. n = 11
D. n = 9
E. n = 7
Pembahasan :
Dik : U4 = 65, Ut = 95, Un = 170
Dit : n = .... ?
Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U4 = 65
⇒ a + 3b = 65 .... (1)
Berdasarkan rumus suku tengah :
⇒ Ut = (a + Un)/2
⇒ 95 = (a + 170)/2
⇒ 95 = ½a + 85
⇒ ½a = 95 - 85
⇒ ½a = 10
⇒ a = 20
Substitusi nilai a ke persamaan (1) :
⇒ a + 3b = 65
⇒ 20 + 3b = 65
⇒ 3b = 65 - 20
⇒ 3b = 45
⇒ b = 15
Berdasarkan rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = 170
⇒ a + (n - 1)b = 170
⇒ 20 + (n - 1)15 = 170
⇒ 20 + 15n - 15 = 170
⇒ 15n + 5 = 170
⇒ 15n = 170 - 5
⇒ 15n = 165
⇒ n = 11
Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 11 suku.
A. n = 20
B. n = 15
C. n = 10
D. n = 8
E. n = 5
Pembahasan :
Dik : a = 15, b = 5, Sn = 375
Dit : n = .... ?
Sesuai dengan rumus jumlah n suku pertama :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ 375 = n/2 {2.15 + (n - 1)5}
⇒ 750 = n(30 + 5n - 5)
⇒ 750 = 30n + 5n2 - 5n
⇒ 750 = 5n2 + 25n
⇒ 5n2 + 25n - 750 = 0
⇒ n2 + 5n - 150 = 0
⇒ (n + 15)(n - 10) = 0
⇒ n = -15 atau n = 10
Karena banyak suku (n) tidak bernilai negatif, maka nilai n yang memenuhi adalah 10. Dengan demikian, banya suku yang jumlah totalnya 375 adalah 10 suku.
A. n = 8
B. n = 10
C. n = 12
D. n = 14
E. n = 16
Pembahasan :
Dik : a = 5, Un = 23, U8 - U3 = 10
Dit : n = .... ?
Persamaan untuk suku terakhir :
⇒ Un = 23
⇒ a + (n - 1)b = 23
⇒ 5 + (n - 1)b = 23
⇒ (n - 1)b = 23 - 5
⇒ (n - 1)b = 18 .... (1)
Selisih dua suku yang diketahui dalam soal :
⇒ U8 - U3 = 10
⇒ (a + 7b) - (a + 2b) = 10
⇒ a - a + 7b - 2b = 10
⇒ 5b = 10
⇒ b = 2
Substitusi nilai b = 2 ke persamaan (1) :
⇒ (n - 1)b = 18
⇒ (n - 1)2 = 18
⇒ 2n - 2 = 18
⇒ 2n = 18 + 2
⇒ 2n = 20
⇒ n = 10
Jadi, banya suku dalam deret tersebut adalah 10 suku.
Read more : Contoh Barisan Aritmatika No 16 - 20.
Contoh 11 : Suku Pertama, Beda, dan Suku Terakhir Diketahui
Pada sebuah barisan aritmatika yang terdiri dari n suku, diketahui suku pertama dan beda barisan berturut-turut adalah 10 dan 4. Jika suku terakhir barisan tersebut adalah 86, maka banyak suku barisan tersebut adalah ....A. n = 20
B. n = 15
C. n = 10
D. n = 8
E. n = 6
Pembahasan :
Dik : a = 10, b = 4, Un = 86
Dit : n = .... ?
Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda barisan, dan suku ke-n suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan persamaan :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Substitusi nilai a, b, dan Un, maka diperoleh :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ 86 = 10 + (n - 1)4
⇒ 86 = 10 + 4n - 4
⇒ 86 = 4n + 6
⇒ 86 - 6 = 4n
⇒ 4n = 80
⇒ n = 20
Jadi, banyak suku dalam barisan tersebut adalah 20 suku.
Jawaban : A
Contoh 12 : Rumus Jumlah n Suku Pertama Diketahui
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan persamaan Sn = 2n2 + 12n. Jika jumlah total deret tersebut adalah 144, maka banyak sukunya sama dengan ....A. n = 6
B. n = 8
C. n = 9
D. n = 12
E. n = 14
Pembahasan :
Dik : Sn = 2n2 + 12n, Sn = 144
Dit : n = ....
Jumlah total deret diketahui :
⇒ Sn = 144
⇒ 2n2 + 12n = 144
⇒ n2 + 6n = 72
⇒ n2 + 6n - 72 = 0
Diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel n. Nilai n dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut :
⇒ n2 + 6n - 72 = 0
⇒ (n + 12)(n - 6) = 0
⇒ n = -12 atau n = 6
Karena n (banyak suku) tidak mungki negatif, maka n yang memenuhi adalah 6. Jadi, banya suku dalam barisan tersebut adalah 6.
Jawaban : A
Contoh 13 : Suku Tengah dan Suku Terakhir Diketahui
Diketahui suku ke-4 dan suku tengah suatu deret aritmatika beturut-turut adalah 65 dan 95. Jika suku terakhir deret tersebut adalah 170, maka banyak sukunya adalah .....A. n = 17
B. n = 13
C. n = 11
D. n = 9
E. n = 7
Pembahasan :
Dik : U4 = 65, Ut = 95, Un = 170
Dit : n = .... ?
Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U4 = 65
⇒ a + 3b = 65 .... (1)
Berdasarkan rumus suku tengah :
⇒ Ut = (a + Un)/2
⇒ 95 = (a + 170)/2
⇒ 95 = ½a + 85
⇒ ½a = 95 - 85
⇒ ½a = 10
⇒ a = 20
Substitusi nilai a ke persamaan (1) :
⇒ a + 3b = 65
⇒ 20 + 3b = 65
⇒ 3b = 65 - 20
⇒ 3b = 45
⇒ b = 15
Berdasarkan rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = 170
⇒ a + (n - 1)b = 170
⇒ 20 + (n - 1)15 = 170
⇒ 20 + 15n - 15 = 170
⇒ 15n + 5 = 170
⇒ 15n = 170 - 5
⇒ 15n = 165
⇒ n = 11
Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 11 suku.
Jawaban : C
Contoh 14 : Jumlah n Suku Pertama Diketahui
Diketahui suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 15. Jika selisih antara setiap dua suku berdekatan adalah 5, maka banyak suku yang menghasilkan jumlah 375 adalah ....A. n = 20
B. n = 15
C. n = 10
D. n = 8
E. n = 5
Pembahasan :
Dik : a = 15, b = 5, Sn = 375
Dit : n = .... ?
Sesuai dengan rumus jumlah n suku pertama :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ 375 = n/2 {2.15 + (n - 1)5}
⇒ 750 = n(30 + 5n - 5)
⇒ 750 = 30n + 5n2 - 5n
⇒ 750 = 5n2 + 25n
⇒ 5n2 + 25n - 750 = 0
⇒ n2 + 5n - 150 = 0
⇒ (n + 15)(n - 10) = 0
⇒ n = -15 atau n = 10
Karena banyak suku (n) tidak bernilai negatif, maka nilai n yang memenuhi adalah 10. Dengan demikian, banya suku yang jumlah totalnya 375 adalah 10 suku.
Jawaban : C
Contoh 15 : Selisih Dua Suku Sebarang Diketahui
Diketahui suku pertama dan suku terakhir suatu deret aritmatika adalah 5 dan 23. Jika selisih suku ke-8 dan suku ke-3 adalah 10, maka banyak suku dalam deret tersebut adalah .....A. n = 8
B. n = 10
C. n = 12
D. n = 14
E. n = 16
Pembahasan :
Dik : a = 5, Un = 23, U8 - U3 = 10
Dit : n = .... ?
Persamaan untuk suku terakhir :
⇒ Un = 23
⇒ a + (n - 1)b = 23
⇒ 5 + (n - 1)b = 23
⇒ (n - 1)b = 23 - 5
⇒ (n - 1)b = 18 .... (1)
Selisih dua suku yang diketahui dalam soal :
⇒ U8 - U3 = 10
⇒ (a + 7b) - (a + 2b) = 10
⇒ a - a + 7b - 2b = 10
⇒ 5b = 10
⇒ b = 2
Substitusi nilai b = 2 ke persamaan (1) :
⇒ (n - 1)b = 18
⇒ (n - 1)2 = 18
⇒ 2n - 2 = 18
⇒ 2n = 18 + 2
⇒ 2n = 20
⇒ n = 10
Jadi, banya suku dalam deret tersebut adalah 10 suku.
Jawaban : n
Read more : Contoh Barisan Aritmatika No 16 - 20.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.