Edutafsi.com - Hubungan Beda Barisan dengan Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah memaparkan bagaimana rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat diuraikan menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Dalam beberapa model soal, biasanya rumus jumlah n suku pertama ini juga dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat. Pada bentuk dasarnya dapat dilihat bagaimana hubungan antara jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika dengan suku pertama (a) dan beda barisan aritmatika (b). Lalu bagaimana jika di dalam soal rumus Sn dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat (tidak ada variabel a atau b), dan anda diminta untuk menentukan beda barisan tersebut. Bagaimana cara menentukannya?
Jika dihadapkan pada situasi seperti itu, maka yang dapat kita lakukan adalah mengenali kembali konsep-konsep barisan aritmatika yang berhubungan dengan persoalan tersebut. Dalam hal ini, salah satu konsep yang kita perlukan adalah konsep beda barisan dan jumlah n suku pertama.
Karena kita diminta menentukan beda barisan sementara pada soal sama sekali tidak ada petunjuk mengenai nilai a atau beberapa suku lainnya (hanya rumus Sn yang diberikan dalam bentuk persamaan kuadrat), maka kita perlu mengkaji kembali apa itu beda barisan, bagaimana konsepnya, dan apa hubungannya dengan rumus Sn.
Sehingga, beda barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus :
Nah, pada rumus di atas, beda memiliki hubungan yang erat dengan dua suku yang berdekatan atau berurutan. Pada rumus kita dapat melihat dengan jelas ada Un di sana. Kemudian kita juga menemukan Un pada rumus jumlah n suku pertama jika a dan Un diketahui sebagai berikut :
Dari kedua rumus tersebut, seharusnya kita dapat menentukan nilai b. Tapi bagaimana caranya? Kita tahu bahwa beda barisan dapat dihitung dengan menentukan selisih antara suku kedua (U2) dengan suku pertama (a). Nilai a dan suku kedua, dapat kita tentukan berdasarkan rumus Sn.
Katakanlah sebuah deret dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + .... + Un
Jika kita diminta menentukan jumlah 1 suku pertama, maka jumlah tersebut tentu akan sama dengan suku pertamanya itu sendiri. Dengan demikian berlaku :
⇒ S1 = U1
⇒ S1 = a
⇒ a = S1 .... (i)
Kemudian, jika kita diminta menentukan jumlah 2 suku pertama, maka itu sama dengan jumlah suku pertama ditambah dengan suku kedua sebagai berikut :
⇒ S2 = U1 + U2
Karena U2 = a + b, maka kita peroleh :
⇒ S2 = a + (a + b)
⇒ S2 = 2a + b
⇒ 2a + b = S2 .... (ii)
Kedua persamaan di atas (i) dan (ii) merupakan modal kita untuk menentukan beda barisan aritmatika. Untuk lebih jelasanya kita akan lihat melalui contoh soal berikut ini.
Contoh :
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan persamaan Sn = 5n2 - 7n. Jika a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan aritmatika, maka tentukan nilai 2a + 3b.
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 - 7n
Dit : 2a + 3b = .... ?
Untuk menyelesaikan soal ini, kita manfaatkan dua persamaan yang kita peroleh sebelumnya:
1). a = S1
2). 2a + b = S2
Untuk S1, substitusi n = 1, diperoleh :
⇒ Sn = 5n2 - 7n
⇒ S1 = 5(1)2 - 7(1)
⇒ S1 = 5 - 7
⇒ S1 = -2
Untuk S2, substitusi n = 2, diperoleh :
⇒ Sn = 5n2 - 7n
⇒ S2 = 5(2)2 - 7(2)
⇒ S2 = 20- 14
⇒ S2 = 6
Selanjutnya substitusi nilai S1 ke persamaan (1) :
⇒ a = S1
⇒ a = -2
Kemudian substitusi nilai a dan S2 ke persamaan (2) :
⇒ 2a + b = S2
⇒ 2(-2) + b = 6
⇒ -4 + b = 6
⇒ b = 6 + 4
⇒ b = 10
Kita sudah peroleh nilai a = -2 dan nilai b = 10, maka :
⇒ 2a + 3b = 2(-2) + 3(10)
⇒ 2a + 3b = -4 + 30
⇒ 2a + 3b = 26.
Demikian pembahasan singkat mengenai cara menentukan beda barisan aritmatika jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui dalam bentuk persamaan kuadrat. Jika artikel ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Jika dihadapkan pada situasi seperti itu, maka yang dapat kita lakukan adalah mengenali kembali konsep-konsep barisan aritmatika yang berhubungan dengan persoalan tersebut. Dalam hal ini, salah satu konsep yang kita perlukan adalah konsep beda barisan dan jumlah n suku pertama.
Karena kita diminta menentukan beda barisan sementara pada soal sama sekali tidak ada petunjuk mengenai nilai a atau beberapa suku lainnya (hanya rumus Sn yang diberikan dalam bentuk persamaan kuadrat), maka kita perlu mengkaji kembali apa itu beda barisan, bagaimana konsepnya, dan apa hubungannya dengan rumus Sn.
Konsep Beda Barisan Aritmatika
Kembali ke konsep dasar barisan aritmatika, beda merupakan selisih antara setiap suku ke-n barisan aritmatika dengan suku sebelumnya. Beda merupakan bilangan yang tetap yang dapat diperoleh dengan cara melihat selisih antara suku kedua dengan suku pertama, selisih antara suku keempat dengan suku ketiga, dan seterusnya.Sehingga, beda barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus :
| b = Un − Un-1 |
Nah, pada rumus di atas, beda memiliki hubungan yang erat dengan dua suku yang berdekatan atau berurutan. Pada rumus kita dapat melihat dengan jelas ada Un di sana. Kemudian kita juga menemukan Un pada rumus jumlah n suku pertama jika a dan Un diketahui sebagai berikut :
| Sn = n/2 (a + Un) |
Dari kedua rumus tersebut, seharusnya kita dapat menentukan nilai b. Tapi bagaimana caranya? Kita tahu bahwa beda barisan dapat dihitung dengan menentukan selisih antara suku kedua (U2) dengan suku pertama (a). Nilai a dan suku kedua, dapat kita tentukan berdasarkan rumus Sn.
Katakanlah sebuah deret dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + .... + Un
Jika kita diminta menentukan jumlah 1 suku pertama, maka jumlah tersebut tentu akan sama dengan suku pertamanya itu sendiri. Dengan demikian berlaku :
⇒ S1 = U1
⇒ S1 = a
⇒ a = S1 .... (i)
Kemudian, jika kita diminta menentukan jumlah 2 suku pertama, maka itu sama dengan jumlah suku pertama ditambah dengan suku kedua sebagai berikut :
⇒ S2 = U1 + U2
Karena U2 = a + b, maka kita peroleh :
⇒ S2 = a + (a + b)
⇒ S2 = 2a + b
⇒ 2a + b = S2 .... (ii)
Kedua persamaan di atas (i) dan (ii) merupakan modal kita untuk menentukan beda barisan aritmatika. Untuk lebih jelasanya kita akan lihat melalui contoh soal berikut ini.
Contoh :
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan persamaan Sn = 5n2 - 7n. Jika a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan aritmatika, maka tentukan nilai 2a + 3b.
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 - 7n
Dit : 2a + 3b = .... ?
Untuk menyelesaikan soal ini, kita manfaatkan dua persamaan yang kita peroleh sebelumnya:
1). a = S1
2). 2a + b = S2
Untuk S1, substitusi n = 1, diperoleh :
⇒ Sn = 5n2 - 7n
⇒ S1 = 5(1)2 - 7(1)
⇒ S1 = 5 - 7
⇒ S1 = -2
Untuk S2, substitusi n = 2, diperoleh :
⇒ Sn = 5n2 - 7n
⇒ S2 = 5(2)2 - 7(2)
⇒ S2 = 20- 14
⇒ S2 = 6
Selanjutnya substitusi nilai S1 ke persamaan (1) :
⇒ a = S1
⇒ a = -2
Kemudian substitusi nilai a dan S2 ke persamaan (2) :
⇒ 2a + b = S2
⇒ 2(-2) + b = 6
⇒ -4 + b = 6
⇒ b = 6 + 4
⇒ b = 10
Kita sudah peroleh nilai a = -2 dan nilai b = 10, maka :
⇒ 2a + 3b = 2(-2) + 3(10)
⇒ 2a + 3b = -4 + 30
⇒ 2a + 3b = 26.
Demikian pembahasan singkat mengenai cara menentukan beda barisan aritmatika jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui dalam bentuk persamaan kuadrat. Jika artikel ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.