Edutafsi.com - Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika. Jumlah n suku pertama menyatakan penjumlahan sebanyak n suku pertama dalam suatu barisan atau deret aritmatika. Jumlah n suku pertama umumnya disimbolkan dengan huruf (Sn) dimana S menyatakan jumlah dan n menyatakan banyak suku yang dijumlahkan. Pada artikel sebelumnya tentang deret artimatika, edutafsi telah membahas bagaimana cara menurunkan rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika. Namun rumus tersebut hanya dapat dipakai jika suku pertama dan suku terakhirnya diketahui. Lalu bagaimana jika suku terakhir dalam deret tersebut tidak diketahui? Bagaimana cara menentukan jumlahnya?
Katakanlah di dalam sebuah soal diberikan deret aritmatika dimana beberapa sukunya diketahui. Deret tersebut terdiri dari seratus suku dan hanya beberapa suku saja yang disebutkan sedangkan suku-suku lainnya tidak diketahui termasuk suku ke-100. Jika anda diminta menentukan jumlah 100 suku pertama, maka bagaimana cara menentukannya?
Untuk kondisi seperti itu, kita dapat memanfaatkan kembali sifat-sifat yang berlaku dalam barisan aritmatika. Kita tahu bahwa suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika dapat ditentukan jika beberapa suku dalam barisan tersebut diketahui. Ada banyak kondisi dan cara yang dapat digunakan.
Itu artinya, jika suku ke-n barisan tersebut dapat kita tentukan berdasarkan nilai suku-suku yang diketahui, maka suku ke-100 juga dapat diketahui dengan menggunakan cara yang sesuai bergantung pada situasi dalam soal. Untuk itu, perlu kita ingat kembali bagaimana hubungan Un dengan suku lainnya.
Perhatikan bahwa Un di sini tidak selalu menyatakan suku terakhir melainkan suku ke-n dari deret tersebut. Nilai n bergantung pada soal yang ditanya. Misal diketahui deret aritmatika terdiri dari 20 suku (suku terakhir suku ke-20) dan anda diminta menentukan jumlah 5 suku pertama, maka nilai n yang digunakan adalah 5 dan Un dalam rumus adalah U5 bukan U20.
Contoh :
Suku pertama dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika adalah 20 dan 155. Tentukanlah jumlah sepuluh suku pertama barisan tersebut!
Pembahasan :
Dik : n = 10, a = 20, U10 = 155
Dit : S10 = .... ?
Berdasarkan rumus :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ S10 = 10/2 (20 + 155)
⇒ S10 = 5(175)
⇒ S10 = 875
Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah 875.
Pada rumus di atas dapat kita lihat ada besaran Un yang menyatakan suku ke-n deret aritmatika. Jika suku tersebut tidak diketahui, maka kita dapat menentukannya berdasarkan hubungannya dengan suku pertama dan beda barisan.
Seperti yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya, hubungan suku ke-n, suku pertama dan beda barisan dapat ditulis sebagai berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Nah, jika persamaan di atas kita substitusi ke rumus Sn yang pertama, maka akan kita peroleh bentuk lain dari rumus tersebut sebagai berikut :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ Sn = n/2 [a + {a + (n - 1)b}]
⇒ Sn = n/2 {a + a + (n - 1)b}
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
Dengan demikian, jika suku ke-n tidak diketahui (tapi a dan b diketahui), maka jumlah n suku pertama dpat ditentukan dengan rumus berikut :
Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama, n menyatakan banyak suku yang ditanya (n = 1, 2, 3, ...), a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan.
Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 4, 10, 16, 22, ...., Un. Tentukanlah jumlah 100 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut!
Pembahasan :
Dik : n = 100, a = 4, b = 10 - 4 = 16 - 10 = 6
Dit : S100 = ... ?
Berdasarkan rumus :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ S100 = 100/2 {2.4 + (100 - 1)6}
⇒ S100 = 50 (8 + 594)
⇒ S100 = 50 (602)
⇒ S100 = 30.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut adalah 30.100.
Katakanlah di dalam sebuah soal diberikan deret aritmatika dimana beberapa sukunya diketahui. Deret tersebut terdiri dari seratus suku dan hanya beberapa suku saja yang disebutkan sedangkan suku-suku lainnya tidak diketahui termasuk suku ke-100. Jika anda diminta menentukan jumlah 100 suku pertama, maka bagaimana cara menentukannya?
Untuk kondisi seperti itu, kita dapat memanfaatkan kembali sifat-sifat yang berlaku dalam barisan aritmatika. Kita tahu bahwa suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika dapat ditentukan jika beberapa suku dalam barisan tersebut diketahui. Ada banyak kondisi dan cara yang dapat digunakan.
Itu artinya, jika suku ke-n barisan tersebut dapat kita tentukan berdasarkan nilai suku-suku yang diketahui, maka suku ke-100 juga dapat diketahui dengan menggunakan cara yang sesuai bergantung pada situasi dalam soal. Untuk itu, perlu kita ingat kembali bagaimana hubungan Un dengan suku lainnya.
A. Rumus Sn Jika a dan Un Diketahui
Jika suku pertama (U1 atau a) dan suku terkahir (Un) dalam suatu barisan atau deret aritmatika diketahui, maka jumlah n suku pertama dapat dihitung menggunakan rumus berikut :
|
Perhatikan bahwa Un di sini tidak selalu menyatakan suku terakhir melainkan suku ke-n dari deret tersebut. Nilai n bergantung pada soal yang ditanya. Misal diketahui deret aritmatika terdiri dari 20 suku (suku terakhir suku ke-20) dan anda diminta menentukan jumlah 5 suku pertama, maka nilai n yang digunakan adalah 5 dan Un dalam rumus adalah U5 bukan U20.
Contoh :
Suku pertama dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika adalah 20 dan 155. Tentukanlah jumlah sepuluh suku pertama barisan tersebut!
Pembahasan :
Dik : n = 10, a = 20, U10 = 155
Dit : S10 = .... ?
Berdasarkan rumus :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ S10 = 10/2 (20 + 155)
⇒ S10 = 5(175)
⇒ S10 = 875
Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah 875.
B. Rumus Sn Jika Un Tidak Diketahui
Jika suku ke-n pada deret atau barisan aritmatika tidak diketahui, maka prinsipnya kita harus menentukan suku ke-n terlebih dahulu. Namun kita dapat memanipulasi rumus Sn di atas agar dapat digunakan untuk situasi saat suku ke-n tidak diketahui.Pada rumus di atas dapat kita lihat ada besaran Un yang menyatakan suku ke-n deret aritmatika. Jika suku tersebut tidak diketahui, maka kita dapat menentukannya berdasarkan hubungannya dengan suku pertama dan beda barisan.
Seperti yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya, hubungan suku ke-n, suku pertama dan beda barisan dapat ditulis sebagai berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Nah, jika persamaan di atas kita substitusi ke rumus Sn yang pertama, maka akan kita peroleh bentuk lain dari rumus tersebut sebagai berikut :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ Sn = n/2 [a + {a + (n - 1)b}]
⇒ Sn = n/2 {a + a + (n - 1)b}
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
Dengan demikian, jika suku ke-n tidak diketahui (tapi a dan b diketahui), maka jumlah n suku pertama dpat ditentukan dengan rumus berikut :
|
Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama, n menyatakan banyak suku yang ditanya (n = 1, 2, 3, ...), a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan.
Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 4, 10, 16, 22, ...., Un. Tentukanlah jumlah 100 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut!
Pembahasan :
Dik : n = 100, a = 4, b = 10 - 4 = 16 - 10 = 6
Dit : S100 = ... ?
Berdasarkan rumus :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ S100 = 100/2 {2.4 + (100 - 1)6}
⇒ S100 = 50 (8 + 594)
⇒ S100 = 50 (602)
⇒ S100 = 30.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut adalah 30.100.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.