MENENTUKAN JUMLAH N SUKU TERAKHIR SUATU DERET ARITMATIKA

Posted by on 06 October 2017 - 11:46 AM

Edutafsi.com - Jumlah n Suku Terakhir. Ketika membahas soal deret, maka subtopik utama yang akan dibahasa adalah menentukan jumlah n suku pertama deret tersebut. Jumlah n suku pertama deret aritmatika biasa dilambangkan dengan "Sn" dengan n menyatakan banyak atau jumlah suku pertama yang dijumlahkan. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan menggunakan dua rumus dasar Sn yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya. Lalu bagaimana jika yang ditanya adalah jumlah n suku terakhir? Jika diketahui deret aritmatika terdiri dari n suku dan anda diminta menentukan jumlah n suku terakhirnya, bagaimana cara menentukannya? Apakah akan sama dengan cara menentukan jumlah n suku pertama?

Jumlah n suku pertama pada dasarnya menjumlahkan sebanyak n suku pertama suatu deret. Dengan prinsip yang sama, jumlah n suku tekakhir maksudnya adalah menjumlahkan sebanyak n suku terakhir suatu deret. Jika jumlah n suku pertama kita lihat dari suku pertama, maka jumlah n suku terakhir kita lihat dari bagian suku terakhir.

Misalkan diketahui sebuah deret aritmatika terdiri dari sepuluh suku yang ditulis sebagai U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 + U8 + U9 + U10. Dari deret tersebut, misal kita diminta menentukan jumlah 5 suku pertama dan jumlah 5 suku terakhir. Dalam hal ini, lima suku pertama adalah U1, U2, U3, U4 , dan U5, sedangkan lima suku terakhir adalah U6, U7, U8, U9 dan U10.

Dengan demikian, jika diminta menentukan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut, maka perhitungannya adalah sebagai berikut :
⇒ S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5

Dengan cara yang sama, jumlah 5 suku terakhir dari deret tersebut ditentukan dengan menjumlahkan 5 suku terakhir sebagai berikut :
⇒S5 = U6 + U7 + U8 + U9 + U10

Sampai di sini kita sudah melihat bagaimana prinsip penjumlah jumlah n suku pertama dan jumlah n suku terakhir. Intinya, jumlah n suku pertama dilihat dari sebelah kiri (dimulai dari suku pertama) sedangkan jumlah n suku terkahir dilihat dari sebelah kanan (dimulai dari suku terakhir).

Cara di atas dapat dengan mudah kita lakukan jika deret tersebut terdiri dari jumlah suku yang sedikit dan seluruh sukunya diketahui. Tapi bagaimana jika deret itu terdiri dari belasan atau puluhan suku dan hanya beberapa suku saja yang diketahui? Bagaimana cara menentukan jumlah n suku terakhirnya?

Jika dihadapkan pada kondisi seperti itu, maka kita dapat memanfaatkan sifat-sifat barisan aritmatika dan rumus dasar menentukan jumlah n suku pertama. Prinsipnya adalah kita memisahkan n suku terakhir menjadi sebuah deret sehingga akan sama prinsipnya dengan n suku pertama.

Sebagai contoh, misalkan deret terdiri dari sepuluh suku sebagai berikut :
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 + U8 + U9 + U10.

Dari deret tersebut kita diminta menentukan jumlah 4 suku terakhir. Kita tahu, 4 suku terakhir yang dimaksud dalam deret tersebut adalah U7, U8, U9 dan U10. Nah, selanjutnya kita dapat memisahkan keempat suku tersebut sehingga dihasilkan deret aritmatika yang hanya terdiri dari empat suku.

Deret aritmatika yang terdiri dari 4 suku terakhir adalah sebagai berikut :
U7 + U8 + U9 + U10.

Jika deret tersebut kita pandang sebagai sebuah deret yang baru atau yang terpisah dari deret semula (yang sukunya ada sepuluh), maka kita dapat menganggap keempat suku terkahir itu sebagai empat suku pertama. Dalam hal ini, U7 menjadi U1, U8 menjadi U2,  U9 menjadi U3, dan U10 menjadi U4.
 
Tapi perlu diingat bahwa pengandaian tersebut hanya berlaku untuk penomoran sukunya saja, sedangkan nilai dari masing-masing suku tetap sama. Sebagai contoh, diberi deret : 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20.

Dari deret tersebut, empat suku terakhirnya adalah 14, 16, 18, dan 20. Keempat suku tersebut dapat disusun sebagai deret tersendiri yang terdiri dari empat suku sebagai berikut :
14 + 16 + 18 + 20.

Nah, dalam hal ini, semula 14, 16, 18, dan 20 pada deret yang pertama (yang terdiri dari 9 suku) merupakan suku ke-6, suku ke-7, suku ke-8, dan suku ke-9. Akan tetapi, pada deret tersendiri (yang terdiri dari 4 suku), keempat suku itu bisa kita anggap sebagai suku pertama, suku ke-2, suku ke-3, dan suku ke-4.

Contoh :
Lima belas bilangan membentuk deret aritmatika dengan beda positif. Jika diketahui jumlah suku ke-13 dan suku ke-15 sama dengan 188 sedangkan selisih antara suku ke-13 dan suku ke-15 adalah 14, maka tentukanlah jumlah 5 suku terakhir deret tersebut.

Menentukan jumlah n suku terakhir deret aritmatika

Pembahasan :
Dik : U13 + U15 = 188, U15 - U13 = 14
Dit : S5 suku terakhir = .... ?

Deret tersebut terdiri dari 15 suku sebagai berikut :
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 + U8 + U9 + U10 + U11 + U12 + U13 + U14 + U15.

Deret yang terbentuk dari lima suku terakhirnya adalah :
U11 + U12 + U13 + U14 + U15

Dalam hal ini, mari kita pandang deret yang terdiri dari 5 suku terakhir sebagai deret tersendiri sehingga dalam hal ini, U11 bertindak sebagai suku pertama (a), dan U15 bertindak sebagai suku terakhir (Un).

Untuk menentukan jumlah 5 suku tersebut, kita harus menentukan terlebih dahulu suku pertamanya (dalam hal ini U11) dan suku terkahirnya (dalam hal ini U15).

Dari soal kita peroleh dua persamaan :
(1) U13 + U15 = 188
(2) U15 - U13 = 14

Sesuai dengan konsep Un, maka kita peroleh :
⇒ U15 = U14 + b
⇒ U15 = U13 + b + b
⇒ U15 = U13 + 2b

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ U15 - U13 = 14
⇒ U13 + 2b - U13 = 14
⇒ 2b = 14
⇒ b = 7

Selanjutnya, substitusi persamaan U15 dan  nilai b ke persamaan (1) :
⇒ U13 + U15 = 188
⇒ U13 + U13 + 2b = 188
⇒ 2U13 + 2(7) = 188
⇒ 2U13 = 188 - 14
⇒ 2U13 = 174
⇒ U13 = 87

Selanjutnya kita peroleh suku ke-15 sebagai berikut :
⇒ U15 = U13 + 2b
⇒ U15 = 87 + 2(7)
⇒ U15 = 101

Kita sudah peroleh suku terakhirnya, selanjutnya tinggal mencari suku pertama (suku ke-11). Caraya adalah sebagai berikut :
⇒ U13 = U11 + 2b
⇒ 87 = U11 + 2(7)
⇒ U11 = 87 - 14
⇒ U11 = 73

Dengan demikian, jumlah 5 suku terahirnya adalah :
⇒ S5 = n/2 (a +  Un)
⇒ S5 = 5/2 (U11 + U15)
⇒ S5 = 5/2 (73 + 101)
⇒ S5 = 5/2 (174)
⇒ S5 = 435

Jadi, jumlah 5 suku terakhir deret tersebut adalah 435.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements