MENENTUKAN SUKU KE-N JIKA JUMLAH N SUKU PERTAMA DIKETAHUI

Posted by on 05 October 2017 - 8:22 PM

Edutafsi.com - Cara Menentukan Rumus Un Berdasarkan Rumus Sn. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah menunjukkan bagaimana rumus jumlah n suku pertama suatu deret artimatika dapat dinyatakan atau diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga diketahui bahwa rumus Sn dapat ditentukan jika suku ke-n (Un) diketahui. Itu artinya, kita juga dapat menentukan suku ke-n suatu deret artimatika jika jumlah n suku pertamanya diketahui. Tapi bagaimana jika jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat dan anda diminta untuk menentukan rumus suku ke-n deret tersebut? Bagaimana cara menentukannya?

#1 Dengan Mensubstitusi Nilai n

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat, maka rumus suku ke-n deret tersebut dapat ditentukan dengan cara menentukan suku pertama dan suku kedua deret tersebut terlebih dahulu.

Caranya adalah dengan mensubstitusikan nilai n = 1 dan n = 2 ke persamaan rumus jumlah n suku pertama yang diketahui pada soal. Setelah suku pertama (a) dan suku kedua diketahui, maka kita dapat menghitung beda barisan (b) tersebut.

Karena suku pertama dan beda barisan sudah diketahui, maka kita dapat menentukan rumus suku ke-n deret tersebut dengan cara mensubstitusikan nilai a dan b ke rumus dasar suku ke-n, yaitu:
Un = a + (n - 1)b

Dengan Un menyatakan suku ke-n deret aritmatika, a menyatakan suku pertama deret artimatika, n menyatakan banyak suku, dan b menyatakan beda deret. Hasil akhir akan diperoleh persamaan dalam varaibel n.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : Un = .... ?

Perlu diingat bahwa jumlah 1 suku pertama dalam suatu deret tentu sama dengan suku pertama deret tersebut karena hanya satu suku saja yang dijumlahkan.

Langkah pertama tentukan suku pertama, subsitusi n = 1 :
⇒ U1 = S1
⇒ U1 = 3(1)2 + 5(1)
⇒ U1 = 3 + 5
⇒ U1 = 8
⇒ a = 8

Selanjutnya, tentukan jumlah 2 suku pertama, substitusi n = 2 :
⇒ S2 = 3(2)2 + 5(2)
⇒ S2 = 3.4 + 10
⇒ S2 = 12 + 10
⇒ S2 = 22

Kemudian, kita dapat menentukan suku kedua. Karena jumlah 2 suku pertama sama artinya dengan jumlah suku pertama ditambah suku kedua, maka berlaku :
⇒ S2 = U1 + U2
⇒ 22 = 8 +  U2
⇒ U2 = 22 - 8
⇒ U2 = 14

Selanjutnya kita peroleh beda deret dengan cara :
⇒ b = U2 - U1
⇒ b = 14 - 8
⇒ b = 6

Langkah terkahir, substitusi nilai a dan b ker rumus Un :
⇒ Un = a + (n - 1) b
⇒ Un = 8 + (n - 1)6
⇒ Un = 8 + 6n - 6
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah Un = 6n + 2. Bandingkan hasil ini degan menggunakan cara kedua yaitu dengan konsep suku ke-n berikut ini.

#2 Dengan Konsep Suku ke-n

Jika dihubungkan dengan jumlah n suku pertama, ada sebuah konsep mengenai suku ke-n yang sebenarnya berlaku untuk semua jenis deret termasuk deret aritmatika. Konsep ini menyatakan bahwa suku ke-n sama dengan selisih antara jumlah n suku pertama (Sn) dengan jumlah n-1 suku pertama (Sn-1).

Untuk memahami konsep tersebut, mari kita ambil sebuah contoh kasus. Misalkan diberikan sebuah deret aritmatika yang terdiri dari 5 suku, yaitu :
4 + 8 + 12 + 16 + 20

Jumlah 5 suku pertama untuk deret tersebut adalah :
⇒ S5 = 4 + 8 + 12 + 16 + 20
⇒ S5 = 60

Selanjutnya mari kita hitung jumlah n-1 suku pertama. Dalam hal ini, karena jumlah sukunya ada 5, maka yang dimaksud dengan jumlah n-1 suku pertama adalah jumlah 4 suku pertama (S4). Jika dihitung menggunakan rumus Sn, maka :
⇒ S4 = 4 + 8 + 12 + 16
⇒ S4 = 40

Nah, sekarang coba perhatikan bahwa jumlah 4 suku pertama pada deret tersebut sama dengan jumlah 5 suku pertama dikurangi suku terakhir yaitu 20. Suku terakhir itu adalah suku kelima. Dengan demikian, berlaku :
⇒ S4 = 60 - 20
⇒ S4 = S5 - U5
⇒ U5 = S5 - S4

Dengan demikian, secara umum suku ke-n dapat dinyatakan dengan rumus berikut :
Un = Sn − Sn-1

Dengan Un menyatakan suku ke-n barisan atau deret aritmatika, Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika, dan Sn-1 menyatakan jumlah n-1 suku pertama deret tersebut.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Menentukan suku ke-n deret aritmatika jika Sn diketahui

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : Un = .... ?

Langkah pertama kita tentukan dulu persamaan untuk Sn-1, dengan cara mensubstitusi atau mengganti n menjadi n - 1 sebagai berikut :
⇒ Sn = 3n2 + 5n
⇒ Sn-1 = 3(n - 1)2 + 5(n - 1)
⇒ Sn-1 = 3(n2 - 2n + 1) + 5n - 5
⇒ Sn-1 = 3n2 - 6n + 3 + 5n - 5
⇒ Sn-1 = 3n2 - n - 2

Selanjutnya, kita tentukan Un berdasarkan konsep:
⇒ Un = Sn − Sn-1
⇒ Un = 3n2 + 5n − (3n2 - n - 2)
⇒ Un = 3n2 − 3n2 + 5n + n + 2
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, diperoleh rumus Un yang sama dengan cara pertama, yaitu Un = 6n + 2.

Demikian pembahasan singkat mengenai cara menentukan rumus suku ke-n (Un) jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikan kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements