Edutafsi.com - Rumus Praktis Invers Fungsi. Secara sederhana, invers dapat diartikan sebagai kebalikan. Operasi invers biasanya disimbolkan dengan penggunaan tanda negatif satu pada fungsinya misal f-1(x). Jika f-1(x) adalah invers dari fungsi f(x), maka f-1(x) = f(y). Invers suatu fungsi belum tentu berbentuk fungsi. Jika invers dari suatu fungsi berbentuk fungsi juga, maka fungsi tersebut disebut sebagai fungsi invers. Selain itu, sebuah invers fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif atau fungsi yang berkorespondensi satu-satu. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas beberapa rumus praktis yang dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa model soal tentang invers fungsi.
1). Dimisalkan f(x) = y
2). Dinyatakan x sebagai fungsi y (dinyatakan dalam variabel y)
3). Dinyatakan x sebagai fungsi f-1(y)
4). Diubah y pada f-1(y) menjadi x sehingga diperoleh f-1(x).
Bentuk fungsi yang paling sederhana dalam pembahasan invers adalah fungsi yang berbentuk linear. Kebalikan atau invers dari sebuah fungsi yang berbentuk linear sebenarnya dapat diselesaikan dengan mudah tanpa harus menggunakan rumus sebab masih sederhana. Meski begitu, tidak ada salahnya juga menggunakan rumus praktis.
Fungsi linear adalah sebuah fungsi yang memiliki dua atau lebih variabel yang masing-masing nilainya saling mempengaruhi dan pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah satu. Jika fungsi berbentuk linear dinyatakan sebagai f(x) = ax + b, maka invers dari fungsi tersebut dapat ditentukan berdasarkan rumus praktis berikut ini.
Fungsi berbentuk linear:
Invers fungsinya adalah:
Contoh :
Jika diberi fungsi f(x) = 4x + 7, maka tentukanlah invers dari fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dik : f(x) = 4x + 7, a = 4, b = 7
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = 4x + 7
⇒ y = 4x + 7
⇒ y - 7 = 4x
⇒ 4x = y - 7
⇒ x = (y - 7)/4
⇒ f-1(x) = (x − 7)/4
Menggunakan cara praktis :
⇒ f-1(x) = (x − b)/a
⇒ f-1(x) = (x − 7)/4
Jadi, invers dari fungsi f(x) = 4x + 7 adalah f-1(x) = (x − 7)/4. Perhatikan bahwa dengan rumus praktis di atas, kita bisa menghemat waktu beberapa detik atau bahkan menit.
Fungsi berbentuk pecahan :
Invers fungsinya adalah :
Contoh :
Diberikan sebuah fungsi f(x) = (2x + 5)/(3x - 2). Tentukanlah invers dari fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 2, b = 5, c = 3, d = -2
Dit : f-1(x) = ... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = (2x + 5)/(3x - 2)
⇒ y = (2x + 5)/(3x - 2)
⇒ y(3x - 2) = 2x + 5
⇒ 3xy - 2y = 2x + 5
⇒ 3xy - 2x = 2y + 5
⇒ x(3y - 2) = 2y + 5
⇒ x = (2y + 5)/(3y - 2)
⇒ f-1(x) = (2x + 5)/(3x - 2)
Menggunakan cara praktis :
⇒ f-1(x) = (-dx + b)/(cx - a)
⇒ f-1(x) = {-(-2)x + 5}/(3x - 2)
⇒ f-1(x) = (2x + 5)/(3x - 2)
Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f-1(x) = (2x + 5)/(3x - 2). Rumus ini cukup membantu menghemat waktu saat menghadapi ujian. Jika di dalam opsi jawaban belum ada jawaban yang sesuai, maka lawankan semua tandanya.
Fungsi berbentuk akar pangkat :
Invers fungsinya adalah :
Contoh :
Tentukanlah invers dari fungsi berikut : f(x) = (3x + 7)1/6.
Pembahasan :
Fungsi di atas dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = 6√3x + 7
Dik : n = 6, a = 3, b = 7
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = (3x + 7)1/6
⇒ y = (3x + 7)1/6
⇒ y6 = 3x + 7
⇒ 3x = y6 - 7
⇒ x = (y6 - 7)/3
⇒ f-1(x) = (x6 − 7)/3
Menggunakan cara cepat :
⇒ f-1(x) = (xn − b)/a
⇒ f-1(x) = (x6 − 7)/3
Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f-1(x) = (x6 − 7)/3. Dengan rumus praktis ini kita dapat melewati beberapa langkah sehingga lebih hemat waktu. Hanya saja, karena setiap kasus beda rumus maka harus banyak menghapal.
Fungsi bentuk eksponen :
Invers fungsinya adalah :
Contoh :
Jika diberikan sebuah fungsi f(x) = 54x, maka tentukanlah invers dari fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 5, n = 4
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = 54x
⇒ y = 54x
⇒ log y = log 54x
⇒ log y = 4x log 5
⇒ 4x = (log y)/(log 5)
⇒ x = ¼ . (log y)/(log 5)
Ingat kembali konsep logaritma. Karena (nlog b)/(nlog a) = alog b, maka (log y)/(log 5) = 5log y. Dengan demikian, persamaan di atas menjadi :
⇒ x = ¼ . 5log y
⇒ x = 5log y1/4
⇒ f-1(x) = 5log x1/4
Menggunakan cara praktis :
⇒ f-1(x) = alog x1/n
⇒ f-1(x) = 5log x1/4
Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f-1(x) = 5log x1/4 atau f-1(x) = 5log 4√x.
Bentuk umum fungsi kuadrat :
Invers fungsinya adalah :
Contoh :
Tentukanlah invers dari fungsi f(x) = x2 + 4x - 4.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 4, c = -4
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = x2 + 4x - 4
⇒ y = x2 + 4x - 4
⇒ y - 8 = x2 + 4x - 4 - 8
⇒ y = (x + 2)2 - 8
⇒ y + 8 = (x + 2)2
⇒ (y + 8)½ = {(x + 2)2}½
⇒ √y + 8 = x + 2
⇒ x = √y + 8 − 2
⇒ f-1(x) = √x + 8 − 2
Nilai diskriminan :
⇒ D = b2 - 4ac = 42 - 4.1.(-4)
⇒ D = 32
Menggunakan rumus praktis :
⇒ f-1(x) = √1/a (x + D/4a) − b/2a
⇒ f-1(x) = √1/1 (x + 32/4.1) − 4/2.1
⇒ f-1(x) = √x + 8) − 2
Jadi, invers dari fungsi kuadrat tersebut adalah f-1(x) = √x + 8) − 2.
Demikianlah kumpulan rumus praktis untuk fungsi invers yang dapat edutafsi bagikan. Perlu diperhatikan bahwa penggunaan rumus praktis sangat terbatas sebab hanya dapat digunakan jika syarat atau kondisinya terpenuhi. Ada baiknya murid juga memahami konsep dasarnya agar tidak terlalu terpaku pada rumus cepat.
A. Invers Fungsi Bentuk Linear
Misal diberi sebuah fungsi bijektif dari himpunan A ke himpunan B, yaitu fungsi f. Jika peta dari x oleh fungsi f adalah y, maka fungsi f tersebut dapat dirumuskan sebagai f(x) = y. Jika f-1 merupakan invers dari fungsi f, maka peta dari y oleh fungsi f-1 adalah x sehingga dapat ditulis f-1(y) = x. Secara umum, invers dari suatu fungsi f dapat ditentukan dengan langkah berikut:1). Dimisalkan f(x) = y
2). Dinyatakan x sebagai fungsi y (dinyatakan dalam variabel y)
3). Dinyatakan x sebagai fungsi f-1(y)
4). Diubah y pada f-1(y) menjadi x sehingga diperoleh f-1(x).
Bentuk fungsi yang paling sederhana dalam pembahasan invers adalah fungsi yang berbentuk linear. Kebalikan atau invers dari sebuah fungsi yang berbentuk linear sebenarnya dapat diselesaikan dengan mudah tanpa harus menggunakan rumus sebab masih sederhana. Meski begitu, tidak ada salahnya juga menggunakan rumus praktis.
Fungsi linear adalah sebuah fungsi yang memiliki dua atau lebih variabel yang masing-masing nilainya saling mempengaruhi dan pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah satu. Jika fungsi berbentuk linear dinyatakan sebagai f(x) = ax + b, maka invers dari fungsi tersebut dapat ditentukan berdasarkan rumus praktis berikut ini.
Fungsi berbentuk linear:
| f(x) = ax + b |
Invers fungsinya adalah:
| f-1(x) = (x − b)/a |
Contoh :
Jika diberi fungsi f(x) = 4x + 7, maka tentukanlah invers dari fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dik : f(x) = 4x + 7, a = 4, b = 7
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = 4x + 7
⇒ y = 4x + 7
⇒ y - 7 = 4x
⇒ 4x = y - 7
⇒ x = (y - 7)/4
⇒ f-1(x) = (x − 7)/4
Menggunakan cara praktis :
⇒ f-1(x) = (x − b)/a
⇒ f-1(x) = (x − 7)/4
Jadi, invers dari fungsi f(x) = 4x + 7 adalah f-1(x) = (x − 7)/4. Perhatikan bahwa dengan rumus praktis di atas, kita bisa menghemat waktu beberapa detik atau bahkan menit.
B. Rumus Fungsi Invers Bentuk Pecahan
Fungsi berikutnya adalah fungsi berbentuk pecahan. Sama seperti fungsi linear, pada fungsi pecahan ini pangkat tertingginya juga satu. Jika dilihat bentuknya, maka fungsi pecahan ini bisa dibilanga sebagai fungsi pembagian dari dua bentuk linear.Fungsi berbentuk pecahan :
|
Invers fungsinya adalah :
|
Contoh :
Diberikan sebuah fungsi f(x) = (2x + 5)/(3x - 2). Tentukanlah invers dari fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 2, b = 5, c = 3, d = -2
Dit : f-1(x) = ... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = (2x + 5)/(3x - 2)
⇒ y = (2x + 5)/(3x - 2)
⇒ y(3x - 2) = 2x + 5
⇒ 3xy - 2y = 2x + 5
⇒ 3xy - 2x = 2y + 5
⇒ x(3y - 2) = 2y + 5
⇒ x = (2y + 5)/(3y - 2)
⇒ f-1(x) = (2x + 5)/(3x - 2)
Menggunakan cara praktis :
⇒ f-1(x) = (-dx + b)/(cx - a)
⇒ f-1(x) = {-(-2)x + 5}/(3x - 2)
⇒ f-1(x) = (2x + 5)/(3x - 2)
Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f-1(x) = (2x + 5)/(3x - 2). Rumus ini cukup membantu menghemat waktu saat menghadapi ujian. Jika di dalam opsi jawaban belum ada jawaban yang sesuai, maka lawankan semua tandanya.
C. Invers Fungsi Bentuk Akar Pangkat
Bentuk fungsi berikutnya yang sudah mulai sulit adalah fungsi bentuk akar pangkat. Sesuai dengan namanya, fungsi ini mengandung akar pangkat sebesar pangkat n. Fungsi akar pangkat ini juga sering ditulis dalam bentuk pangkat pecahan.Fungsi berbentuk akar pangkat :
| f(x) = n√ax + b |
Invers fungsinya adalah :
|
Contoh :
Tentukanlah invers dari fungsi berikut : f(x) = (3x + 7)1/6.
Pembahasan :
Fungsi di atas dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = 6√3x + 7
Dik : n = 6, a = 3, b = 7
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = (3x + 7)1/6
⇒ y = (3x + 7)1/6
⇒ y6 = 3x + 7
⇒ 3x = y6 - 7
⇒ x = (y6 - 7)/3
⇒ f-1(x) = (x6 − 7)/3
Menggunakan cara cepat :
⇒ f-1(x) = (xn − b)/a
⇒ f-1(x) = (x6 − 7)/3
Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f-1(x) = (x6 − 7)/3. Dengan rumus praktis ini kita dapat melewati beberapa langkah sehingga lebih hemat waktu. Hanya saja, karena setiap kasus beda rumus maka harus banyak menghapal.
D. Invers Fungsi Bentuk Eksponen
Fungsi berikutnya adalah dungsi berbentu eksponen. Fungsi bentuk eksponen merupakan fungsi yang mengandung bilangan berpangkat. Invers dari fungsi bentuk pangkat adalah fungsi dalam bentuk logaritma.Fungsi bentuk eksponen :
| f(x) = anx |
Invers fungsinya adalah :
| f-1 = alog x1/n |
Contoh :
Jika diberikan sebuah fungsi f(x) = 54x, maka tentukanlah invers dari fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 5, n = 4
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = 54x
⇒ y = 54x
⇒ log y = log 54x
⇒ log y = 4x log 5
⇒ 4x = (log y)/(log 5)
⇒ x = ¼ . (log y)/(log 5)
Ingat kembali konsep logaritma. Karena (nlog b)/(nlog a) = alog b, maka (log y)/(log 5) = 5log y. Dengan demikian, persamaan di atas menjadi :
⇒ x = ¼ . 5log y
⇒ x = 5log y1/4
⇒ f-1(x) = 5log x1/4
Menggunakan cara praktis :
⇒ f-1(x) = alog x1/n
⇒ f-1(x) = 5log x1/4
Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f-1(x) = 5log x1/4 atau f-1(x) = 5log 4√x.
E. Rumus Invers untuk Fungsi Kuadrat
Selanjutnya yang juga dapat diselesaikan menggunakan rumus praktis adalah invers untuk fungsi yang berbentuk fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat tentu sudah tidak asing, ditandai dengan variabel yang memiliki pangkat kuadrat.Bentuk umum fungsi kuadrat :
| f(x) = ax2 + bx + c |
Invers fungsinya adalah :
| f-1(x) = ± √1/a (x + D/4a) − b/2a |
Contoh :
Tentukanlah invers dari fungsi f(x) = x2 + 4x - 4.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 4, c = -4
Dit : f-1(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ f(x) = x2 + 4x - 4
⇒ y = x2 + 4x - 4
⇒ y - 8 = x2 + 4x - 4 - 8
⇒ y = (x + 2)2 - 8
⇒ y + 8 = (x + 2)2
⇒ (y + 8)½ = {(x + 2)2}½
⇒ √y + 8 = x + 2
⇒ x = √y + 8 − 2
⇒ f-1(x) = √x + 8 − 2
Nilai diskriminan :
⇒ D = b2 - 4ac = 42 - 4.1.(-4)
⇒ D = 32
Menggunakan rumus praktis :
⇒ f-1(x) = √1/a (x + D/4a) − b/2a
⇒ f-1(x) = √1/1 (x + 32/4.1) − 4/2.1
⇒ f-1(x) = √x + 8) − 2
Jadi, invers dari fungsi kuadrat tersebut adalah f-1(x) = √x + 8) − 2.
Demikianlah kumpulan rumus praktis untuk fungsi invers yang dapat edutafsi bagikan. Perlu diperhatikan bahwa penggunaan rumus praktis sangat terbatas sebab hanya dapat digunakan jika syarat atau kondisinya terpenuhi. Ada baiknya murid juga memahami konsep dasarnya agar tidak terlalu terpaku pada rumus cepat.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.