CARA MENENTUKAN JUMLAH N SUKU PERTAMA DERET GEOMETRI

Posted by on 10 January 2018 - 7:29 AM

Edutafsi.com - Deret Geometri. Pada beberapa bahan belajar sebelumnya, edutafsi telah membahas beberapa konsep mengenai barisan geometri mulai dari definisi barisan geometri, rasio barisan, rumus suku ke-n, hingga hubungan antara tiga suku berdekatan dalam barisan geometri. Selain konsep tersebut, masih ada beberapa subtopik lain yang berdampingan dengan barisan, yaitu deret. Sama seperti barisan aritmatika yang dapat dijumlahkan menjadi deret aritmatika, barisan geometri juga dapat dijumlahkan menjadi deret geometri. Jika berbicara mengenai deret, maka subtopik yang utama akan dibahas adalah bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret tersebut. Tapi sebelum membahas lebih jauh rumus menentukan jumlah n suku pertama, ada baiknya kita membahas terlebih dahulu mengenai definisi dari deret geometri. Pada pembahasan di bawah ini, edutafsi juga akan memaparkan bentuk lain dari rumus jumlah n suku pertama pada deret geometri.

A. Pengertian Deret Geometri

Secara sederhana, deret dapat diartikan sebagai jumlah dari seluruh suku dalam suatu barisan (jumlah suku pertama, kedua, ketiga, hingga suku terakhir). Dengan demikian, deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari seluruh suku dalam barisan geometri. Jika deret aritmatika dikenal juga sebagai deret hitung, maka nama lain dari deret geometri adalah deret ukur.

Pada dasarnya barisan dan deret geometri merupakan dua topik yang saling berhubungan. Konsep barisan dan deret geometri juga saling berkaitan. Perhitungan dan penentuan rumus deret geometri dikembangkan berdasarkan konsep yang ada pada barisan geometri. Sebaliknya, beberapa perhitungan pada barisan geometri juga dapat diturunkan dari konsep deret geometri.

Misalkan terdapat barisan geometri terdiri dari lima suku sebagai berikut : 2, 8, 32, 128, 512. Jumlah dari barisan tersebut 2 + 8 + 32 + 128 + 512  disebut sebagai deret geometri. Karena merupakan jumlah dari barisan geometri, maka konsep atau ciri-ciri yang berlaku pada barisan geometri juga berlaku pada deret geometri.

Ciri-ciri yang dimaksud antara lain :
1). Perbandingan dua suku berdekatan (r) selalu sama
2). Suku ke-n merupakan hasil kali antara suku sebelumnya dengan rasio barisan.

Dengan demikian, sebelum menyelsaikan soal kita juga dapat memastikan terlebih dahulu apakah suatu deret termasuk deret geometri atau bukan. Caranya sederhana, sama seperti mengidentifikasi apakah suatu barisan termasuk barisan geoemtri atau bukan, yaitu dengan cara melihat rasionya. Jika rasionya sama untuk setiap dua suku berdekatan, maka deret tersebut adalah deret geometri. Jika rasio berbeda, maka deret tersebut bukan deret geometri.

Contoh :
Dari beberapa deret di bawah ini, periksalah mana yang merupakan deret geometri :
a). 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 18
b). 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
c). 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192
d). 4 + 16 + 48 + 96 + 288 + 1152

Pembahasan :
a). Rasio untuk 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18
⇒ 4/2 ≠ 6/4 ≠ 8/6 ≠ 10/8 ≠ 12/10 ≠ 14/12 ≠ 18/14
Karena rasionya tidak sama, maka deret tersebut bukan deret geometri.

b). Rasio untuk 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
⇒ r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 64/32 = 128/64 = 2
Karena rasionya selalu sama, yaitu r = 2, maka deret tersebut merupakan deret geometri.

c). Rasio untuk 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
⇒ r = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = 96/48 = 192/96 = 2
Karena rasionya selalu sama, yaitu r = 2, maka deret ini termasuk deret geometri.

d). Rasio untuk 4, 16, 48, 96, 288, 1152
⇒ 16/4 ≠ 48/16 ≠ 98/48 ≠ 288/96 ≠ 1152/288
Karena rasionya tidak selalu sama, maka bukan deret geometri.

Jadi dari keempat deret di atas, yang termasu deret geometri adalah (b) dan (c). Deret 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 memiliki rasio 2 dan deret 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 juga merupakan deret geometri dengan rasio sama dengan 2.

B. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri

Salah satu pembahasan dalam deret geometri adalah menentukan jumlah n suku pertama dalam suatu deret geometri. Bilangan n menyatakan jumlah atau banyak suku yang akan dijumlahkan. Misalnya sebuah deret geometri terdiri dari 10 suku, jika ditanya jumlah 5 suku pertama, maka yang dijumlahkan adalah U1 + U2 + U3 + U4 + U5.

Jumlah n suku pertama biasanya disimbolkan dengan Sn. Besar jumlah n suku pertama suatu deret geometri bergantung pada nilai suku pertama dan rasio deret tersebut. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dapat diturunakn berdasarkan konsep suku ke-n barisan geometri dan manipulasi aljabar sebagai berikut.

Misal suatu barisan geometri terdiri dari beberapa suku sebagai berikut : U1, U2, U3 ..., Un. Sesuai konsep barian geometri, maka berlaku persamaan berikut :
1). U1 = a
2). U2 = a . r
3). U3 = a. r2
4). Un = a . rn-1

Jika suku-suku barisan tersebut dijumlahkan : U1 + U2 + U3 + ... + Un maka akan diperoleh Sn.
⇒ Sn =  U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un
⇒ Sn = a + ar + a. r2 + ...+ a . rn-2 + a . rn-1   ...... (1)

Jika kedua ruas dikali dengan r, maka persamaannya menjadi :
⇒ r Sn = ar + a r2 + a r3 + ... + a . rn-1 + a . rn ...... (2)

Selanjutnya, persamaan (1) dan (2) disusun dan dikurangkan sebagai berikut :
Sn           =a + ar + a. r2 + a r3 + ...+ a . rn-2 + a . rn-1
r Sn         =ar + a r2 + a r3 + ... + a . rn-2 + a . rn-1 + a . rn  _
Sn − r Sn =  a − a.rn

Hasil di atas dapat diubah menjadi :
⇒ Sn − r Sn = a − a.rn
⇒ (1 − r)Sn = a(1 − rn)
⇒ Sn = a(1 − rn) / (1 − r)

Dari hasil di atas, diperoleh rumus jumlah n suku pertama (Sn) untuk deret geometri. Tetapi, bentuk di atas hanya berlau untuk nilai r yang lebih kecil dari 1 (r < 1) sedangkan untuk deret geometri dengan rasio lebih besar dari 1 (r > 1) rumusnya sedikit berbeda.

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r < 1 :
Sn = a(1 − rn)
1 − r

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1 :
Sn = a(rn − 1)
r − 1

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama dalam deret geometri
a = U1 = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri
n = banyak suku yang dijumlahkan (1, 2, 3, ....).

Contoh :
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut : 3 + 6 + 12 + 24 + ... + Un. Tentukanlah jumlah 8 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 3, r = 6/3 = 12/6 = 2 (r > 1), n = 8
Dit : S8 = .... ?

Karena r > 1, maka digunakan rumus kedua :
⇒ Sn = a(rn − 1) / (r − 1)
⇒ S8 = 3(28 − 1) / (2 − 1)
⇒ S8 = 3(256 − 1) /1
⇒ S8 = 3(255)
⇒ S8 = 765

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah 765.

C. Bentuk Lain Rumus Sn untuk Deret Geometri

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1 dapat diubah menjadi bentuk yang sederhana dengan dijabarkan terlebih dahulu sebagai berikut:
⇒ Sn = a(rn − 1) / (r − 1)
⇒ Sn = (arn − a) / (r − 1)
⇒ Sn = (arn)/(r − 1) − a/(r − 1)
⇒ Sn = {a/(r − 1)} . rn − a/(r − 1)  

Karena a dan r pada suatu deret gemetri selalu tetap, maka a/(r-1) dapat kita asumsikan sebagai suatu konstanta, sehingga dapat kita misalkan : a/(r - 1) = C, dengan C konstanta. Dengan demikian, persamaanya menjadi :
Sn = C . rn − C

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama deret geometri
C = konstanta = a/(r-1)
r = rasio deret geometri.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan dengan Sn = 23n − 1, maka tentukanlah jumlah 5 suku pertama dan rasionya.

Pembahasan :
Dik : Sn = 23n − 1
Dit : S5 = .... ? dan r = .... ?

Jumlah 5 suku pertama, substitusikan n = 5 :
⇒ Sn = 23n − 1
⇒ S5 = 23.5 − 1
⇒ S5 = 215 − 1
⇒ S5 = 32767

Rumus Sn yang diberikan pada soal dapat dijabarkan menjadi bentuk khusus Sn = C . rn − C sebagai berikut:
⇒ Sn = 23n − 1
⇒ Sn = (23)n − 1
⇒ Sn = 8n − 1
⇒ Sn = 1 . 8n − 1

Sekarang bentuk persamaanya sudah sesuai dengan Sn = C . rn − C. Dari persamaan tersebut diketahui:
1). C = a/(r-1) = 1
2). r = 8

rumus jumlah n suku pertama deret geometri

Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 8 dan jumlah 5 suku pertamanya adalah 32767.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan jumlah n suku pertama suatu deret geometri dilengkapi dengan contoh dan pembahasan. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements