Edutafsi.com - Pengertian dan Notasi Integral. Integral merupakan salah satu topik dalam bidang studi matematika yang umumnya dibahas setelah topik turunan atau differensial. Pada materi differensial, bentuk operasi matematika yang dilakukan adalah menentukan turunan dari suatu fungsi. Nah, pada topik integral, bentuk operasi yang dilakukan adalah menentukan fungsi awal dari suatu turunan fungsi. Misal f '(x) merupakan turunan fungsi dari f(x), maka yang dimaksud dengan operasi integral adalah menentukan fungsi asli dari f '(x). Fungsi asli tersebut adalah f(x). Dengan kata lain, untuk menentukan fungsi asal dari suatu turunan fungsi dapat digunakan metode integral.
Salah satu ilustrasi sederhana yang dapat menjelaskan pengertian dari integral misalnya proses membuka atau menutup tutup suatu toples. Jika pada awalnya toples berada dalam kondisi terbuka dan kegiatan menutup tutup toples adalah proses turunan, maka kegiatan membuka tutup toples merupakan proses integral. Kegiatan membuka toples akan menghasilkan kondisi awal, yaitu saat toples berada dalam kondisi terbuka.
Karena merupakan proses kebalikan dari turunan atau differensial, maka integral juga dikenal sebagai anti differensial. Integral atau anti differensial dilambangkan dengan simbol ∫ (dibaca integral atau anti differensial. Untuk menyatakan integral dari fungsi f(x) maka dapat ditulis sebagai ∫ f(x) dx (dibaca integral f(x) terhadap dx).
Misal F(x) adalah sebuah fungsi awal dan f(x) adalah turunan dari fungsi F(x). Untuk memperoleh fungsi awal jika turunan fungsi diketahui, maka kita dapat menggunakan bentuk operasi ∫ f(x) dx. Salah satu hasil dari proses inetgrasi tersebut adalah ∫ f(x) dx = F(x).
Notasi ∫ disebut sebagai tanda integral dan notasi dx menyatakan variabel integrasi. Variabel integrasi merupakan variabel yang dijadikan patokan dalam proses tersebut. Misalnya sebuah fungsi mengandung variabel x maka bentuk integral dari fungsi itu umumnya dinyatakan dengan notasi dx. Sebaliknya, jika fungsi mengandung variabel y, maka umumnya dinyatakan dengan notasi dy, tergantung tujuan integrasinya.
Sebelumya telah dijabarkan bahwa notasi dx atau dy pada sebuah operas integral menyatakan variabel yang digunakan untuk integrasi. Variabel itu bisa saja x, y, z, t dan sebagainya tergantung pada variabel yang digunakan dalam fungsi. Dalam proses integrasi, variabel tersebut bisa saja memiliki atau tidak memiliki batas.
Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi yang digunakan, secara umum integral dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral. Kedua jenis integral ini menggunakan notasi yang sama hanya saja terdapat perbedaan pada batas variabelnya. Untuk lebih jelasnya simak penjabaran berikut ini.
#1 Integral Tak Tentu
Integral tak tentu adalah bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena tidak memiliki batas, maka hasil integrasi cenderung tidak pasti sehingga hanya dinyatakan dalam bentu fungsi dan sebuah notasi yang menetapkan nilai tertentu yang disimbolkan dengan huruf "c".
Jika f(x) adalah turunan dari fungsi F(x) dan ∫ f(x) dx menyatakan anti differensial dari f(x) terhadap x, maka secara umum notasi integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
c = tetapan integrasi.
Hasil integrasi dari integral tak tentu disebut tidak pasti karena integral dari suatu fungsi biasanya tidah hanya ada satu fungsi saja. Oleh karena itu, hasil dari integral tak tentu selalu menggunakan notasi tetapan integral yang nilainya beragam. Untuk lebih jelasnya perhatikan ulasan berikut ini.
Misal diberikan sebuah fungsi awal, yaitu F(x) = 2x2. Turunan dari fungsi F(x) adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(2x2)/dx
⇒ f(x) = 4x
Integral atau anti differensial dari f(x) dapat ditulis sebagai berikut:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2
Hasil di atas sebenarnya tidak salah, namun masih kurang tepat. Kenapa? Karena fungsi yang turunannya sama dengan 4x bukan hanya 2x2 saja. Masih banyak fungsi lain yang jika diturunkan akan menghasilkan 4x, misalnya :
1). F(x) = 2x2 + 3 → turunanya f(x) = 4x
2). F(x) = 2x2 − 5 → turunanya f(x) = 4x
3). F(x) = 2x2 + c → turunanya f(x) = 4x
Dari ketiga contoh di atas, dapat kita lihat bahwa ketiganya memiliki turunan yang sama yaitu 4x. Itu artinya integral dari 4x tidak hanya 2x2 tetapi bisa saja 2x2 + 3, atau 2x2 - 5, atau 2x2 + c. Dengan demikian, hasil dari integral di atas seharusnya ditulis menjadi:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
Dari hasil tersebut terdapat notasi berupa tetapan, yaitu c yang belum ditentukan nilainya. Nilai dari c bisa saja 1, 2, -3, dan sebagainya. Karena nilainya belum ditentukan, maka integral tersebut disebut integral tak tentu.
#2 Integral Tentu
Berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas untuk variabel integrasi, integral tentu merupakan jenis integral yang variabel integrasinya memiliki batas. Batas untuk variabel integrasi biasanya disebut batas atas dan batas bawah. Bentuk integral tentu umumnya ditulis dengan notasi berikut:
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
a = batas bawah variabel x
b = batas atas variabel x.
Karena variabel integrasi memiliki batas atas dan batas bawah, maka hasil integrasi akan lebih pasti. Integrasi tentu menghasilkan bilangan tertentu yang sesuai dengan batas-batasnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Tentukanlah hasil dari : 1∫2 4x dx.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 2, f(x) = 4x
Dit : 1∫2 4x dx = ... ?
Dengan menggunakan integral tak tentu kita peroleh F(x), yaitu :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
⇒ F(x) = 2 x2
Berdasarkan rumus integral tentu, maka diperoleh :
⇒ a∫b f(x) dx = F(a) − F(a)
⇒ 1∫2 4x dx = F(2) − F(1)
⇒ 1∫2 4x dx = 2(2)2 − 2(1)2
⇒ 1∫2 4x dx = 2.4 − 2.1
⇒ 1∫2 4x dx = 8 − 2
⇒ 1∫2 4x dx = 6
Jika ditinjau dari bentu fungsinya, maka integral tak tentu dan integral tentu dapat dibedakan menjadi beberapa bentuk seperti integral fungsi konstanta, integral fungsi polinom, integral fungsi pangkat, integral konstanti kali fungsi, integral penjumlahan fungsi, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan jenis-jenis integral meliputi integral tak tentu dan integral tentu. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.
A. Pengertian dan Notasi Integral
Berdasarkan penjabaran di atas, maka secara sederhana integral dapat diartikan sebagai operasi balikan dari turunan atau differsensial. Pasangan operasi balikan ini sebenarnya sudah cukup umum kita ketahui misalnya operasi penjumlahan berbalikan dengan pengurangan, operasi perkalian berbalikan dengan pembagian, operasi pemangkatan berbalikan dengan penarikan akar, dan sebagainya.Salah satu ilustrasi sederhana yang dapat menjelaskan pengertian dari integral misalnya proses membuka atau menutup tutup suatu toples. Jika pada awalnya toples berada dalam kondisi terbuka dan kegiatan menutup tutup toples adalah proses turunan, maka kegiatan membuka tutup toples merupakan proses integral. Kegiatan membuka toples akan menghasilkan kondisi awal, yaitu saat toples berada dalam kondisi terbuka.
Karena merupakan proses kebalikan dari turunan atau differensial, maka integral juga dikenal sebagai anti differensial. Integral atau anti differensial dilambangkan dengan simbol ∫ (dibaca integral atau anti differensial. Untuk menyatakan integral dari fungsi f(x) maka dapat ditulis sebagai ∫ f(x) dx (dibaca integral f(x) terhadap dx).
Misal F(x) adalah sebuah fungsi awal dan f(x) adalah turunan dari fungsi F(x). Untuk memperoleh fungsi awal jika turunan fungsi diketahui, maka kita dapat menggunakan bentuk operasi ∫ f(x) dx. Salah satu hasil dari proses inetgrasi tersebut adalah ∫ f(x) dx = F(x).
Notasi ∫ disebut sebagai tanda integral dan notasi dx menyatakan variabel integrasi. Variabel integrasi merupakan variabel yang dijadikan patokan dalam proses tersebut. Misalnya sebuah fungsi mengandung variabel x maka bentuk integral dari fungsi itu umumnya dinyatakan dengan notasi dx. Sebaliknya, jika fungsi mengandung variabel y, maka umumnya dinyatakan dengan notasi dy, tergantung tujuan integrasinya.
B. Jenis-jenis Integral
Jika ditinjau berdasarkan bentuk fungsinya, maka integral atau anti differensial sebenarnya dapat dibedakan menjadi beberapa macam. Namun pada kesempatan ini edutafsi hanya akan membahas bentuk integral berdasarkan batasan pada variabel integrasi.Sebelumya telah dijabarkan bahwa notasi dx atau dy pada sebuah operas integral menyatakan variabel yang digunakan untuk integrasi. Variabel itu bisa saja x, y, z, t dan sebagainya tergantung pada variabel yang digunakan dalam fungsi. Dalam proses integrasi, variabel tersebut bisa saja memiliki atau tidak memiliki batas.
Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi yang digunakan, secara umum integral dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral. Kedua jenis integral ini menggunakan notasi yang sama hanya saja terdapat perbedaan pada batas variabelnya. Untuk lebih jelasnya simak penjabaran berikut ini.
#1 Integral Tak Tentu
Integral tak tentu adalah bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena tidak memiliki batas, maka hasil integrasi cenderung tidak pasti sehingga hanya dinyatakan dalam bentu fungsi dan sebuah notasi yang menetapkan nilai tertentu yang disimbolkan dengan huruf "c".
Jika f(x) adalah turunan dari fungsi F(x) dan ∫ f(x) dx menyatakan anti differensial dari f(x) terhadap x, maka secara umum notasi integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
| ∫ f(x) dx = F(x) + c |
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
c = tetapan integrasi.
Hasil integrasi dari integral tak tentu disebut tidak pasti karena integral dari suatu fungsi biasanya tidah hanya ada satu fungsi saja. Oleh karena itu, hasil dari integral tak tentu selalu menggunakan notasi tetapan integral yang nilainya beragam. Untuk lebih jelasnya perhatikan ulasan berikut ini.
Misal diberikan sebuah fungsi awal, yaitu F(x) = 2x2. Turunan dari fungsi F(x) adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(2x2)/dx
⇒ f(x) = 4x
Integral atau anti differensial dari f(x) dapat ditulis sebagai berikut:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2
Hasil di atas sebenarnya tidak salah, namun masih kurang tepat. Kenapa? Karena fungsi yang turunannya sama dengan 4x bukan hanya 2x2 saja. Masih banyak fungsi lain yang jika diturunkan akan menghasilkan 4x, misalnya :
1). F(x) = 2x2 + 3 → turunanya f(x) = 4x
2). F(x) = 2x2 − 5 → turunanya f(x) = 4x
3). F(x) = 2x2 + c → turunanya f(x) = 4x
Dari ketiga contoh di atas, dapat kita lihat bahwa ketiganya memiliki turunan yang sama yaitu 4x. Itu artinya integral dari 4x tidak hanya 2x2 tetapi bisa saja 2x2 + 3, atau 2x2 - 5, atau 2x2 + c. Dengan demikian, hasil dari integral di atas seharusnya ditulis menjadi:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
Dari hasil tersebut terdapat notasi berupa tetapan, yaitu c yang belum ditentukan nilainya. Nilai dari c bisa saja 1, 2, -3, dan sebagainya. Karena nilainya belum ditentukan, maka integral tersebut disebut integral tak tentu.
#2 Integral Tentu
Berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas untuk variabel integrasi, integral tentu merupakan jenis integral yang variabel integrasinya memiliki batas. Batas untuk variabel integrasi biasanya disebut batas atas dan batas bawah. Bentuk integral tentu umumnya ditulis dengan notasi berikut:
|
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
a = batas bawah variabel x
b = batas atas variabel x.
Karena variabel integrasi memiliki batas atas dan batas bawah, maka hasil integrasi akan lebih pasti. Integrasi tentu menghasilkan bilangan tertentu yang sesuai dengan batas-batasnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Tentukanlah hasil dari : 1∫2 4x dx.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 2, f(x) = 4x
Dit : 1∫2 4x dx = ... ?
Dengan menggunakan integral tak tentu kita peroleh F(x), yaitu :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
⇒ F(x) = 2 x2
Berdasarkan rumus integral tentu, maka diperoleh :
⇒ a∫b f(x) dx = F(a) − F(a)
⇒ 1∫2 4x dx = F(2) − F(1)
⇒ 1∫2 4x dx = 2(2)2 − 2(1)2
⇒ 1∫2 4x dx = 2.4 − 2.1
⇒ 1∫2 4x dx = 8 − 2
⇒ 1∫2 4x dx = 6
Jika ditinjau dari bentu fungsinya, maka integral tak tentu dan integral tentu dapat dibedakan menjadi beberapa bentuk seperti integral fungsi konstanta, integral fungsi polinom, integral fungsi pangkat, integral konstanti kali fungsi, integral penjumlahan fungsi, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan jenis-jenis integral meliputi integral tak tentu dan integral tentu. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.