PENGERTIAN DAN RUMUS DASAR UNTUK INTEGRAL TAK TENTU

Posted by on 19 January 2018 - 8:04 AM

Edutafsi.com -Integral Tak Tentu. Integral merupakan bentu operasi matematika yang menyatakan kelabikan dari differensial atau turunan sehingga disebut juga sebagai anti diferensial. Dalam operasi integral terdapat notasi integral dan notasi variabel integrasi. Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi, secara umum integral dibedakan menjadi dua jenis, yaitu intgeral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral). Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas pengenalan dasar mengenai kedua jenis integral ini. Pada bahan belajar ini, akan dibahas bagaimana aturan dan rumus dasar dari integral tak tentu.

A. Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi F memuat konstanta real sembarang. Konstanta sembarang ini umumnya disimbolkan dengan huruf c dan menjadi ciri dari hasi integrasi tak tentu.

Mengapa hasil integral tak tentu memiliki banyak kemungkinan dan hanya berupa solusi umum? Hasil integral tak tentu disebut demikian karena memang tidak dapat dipastikan fungsi mana yang merupakan integral dari suatu integran. Integran merupakan istilah untuk sebuah fungsi yang akan ditarik integralnya. Untu lebih jelasnya, mari simak ulasan berikut ini.

Seperti defenisinya, integral pada dasarnya merupakan operasi balikan dari turunan (diferensial). Maksudnya, jika f(x) adalah turunan dari F(x), maka kita dapat menentukan F(x) dengan cara mengintegralkan f(x). Akan tetapi, pada kenyataannya, ketika f(x) diintegralkan maka hasilnya tidak hanya berupa F(x) melainkan mengandung suatu tetapan yaitu c.

Rumus dasar integral tak tentu

Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah fungsi, katakan F(x) = 3x2. Jika f(x) adalah turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x2)/dx
⇒ f(x) = 6x

Kemudian diberikan juga fungsi kedua dalam variabel x, misalnya F(x) = 3x2 + 4. Jika f(x) adalah turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x2 + 4)/dx
⇒ f(x) = 6x

Nah, pada kedua proses diferensiasi (menurunkan) di atas, dapat dilihat bahwa kedua fungsi tersebut menghasilkan turunan yang sama, yaitu sama-sama 6x.

Jika berpatokan pada fungsi pertama F(x) = 3x2, maka hasil dari integral 6x adalah :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x2

Sebaliknya, jika berpatokan pada fungsi kedua F(x) = 3x2 + 4, maka integral dari 6x adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x2 + 4

Dari kedua proses integrasi di atas, dapat kita lihat bahwa integral dari 6x ternyata tidak menghasilkan satu jawaban yang pasti, karena bisa saja jawabannya adalah 3x2 atau 3x2 + 4. Jawaban dari integral 6x juga bisa saja fungsi lain misalnya 3x2 + 10, 3x2 - 6, dan sebagainya. Oleh karena itu, jawaban dari integral tak tentu hanya bisa ditulis sebagai penyelesaian umum dengan menambahkan suatu tetapan integrasi c.

Dengan demikian, jika f(x) adalah turunan dari F(x), maka hasil integrasi dari f(x) dapat ditulis sebagai berikut:
∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
∫ = notasi integral tak tentu
f(x) = integran atau fungsi yang akan ditarik integralnya
dx = variabel integrasi
F(x) = fungsi umum penyelesaian
c = tetapan atau konstanta integrasi.

B. Aturan dan Rumus Dasar Integral

Pada dasarnya hasil integral dari suatu fungsi dapat ditentukan dengan cara menerka proses turunannya. Untuk fungsi yang sederhana, cara ini bisa saja berhasil. Akan tetapi, untuk fungsi yang lebih kompleks tentu saja akan sangat sulit untuk meruntut proses turunannya agar diperoleh integrasinya. Oleh karena itu, dalam penyelesaian integral terdapat beberapa aturan dasar yang dapat dijadikan sebagai patokan untuk menyelesaikan masalah integral.

#1 Integral Tak Tentu Suatu Konstanta
Diberikan sebuah fungsi F(x) = kx. Jika f(x) adalah turunan dari F(x), maka f(x) = k. Dengan demikian, integral dari k akan mengandung penyelesaian umum yaitu kx + c. Jika fungsi yang akan diintegralkan (integran) tidak mengandung variabel atau hanya berupa konstanta, maka hasil integralnya akan mengikuti rumus dasar berikut ini:
∫ k dx = kx + c

Keterangan :
k = konstanta atau bilangan tertentu
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil integral dari beberapa bentuk di bawah ini:
(a). ∫ 6 dx      (b). ∫ 8 dy       (c). ∫ 4 dt

Pembahasan :
Sesuai dengan aturan dasar untuk fungsi konstanta, maka diperoleh:
a). ∫ 6 dx = 6x + c
b). ∫ 8 dy = 8y + c
c). ∫ 4 dt = 4t + c

#2 Integral Tak Tentu Fungsi Pangkat
Integral tak tentu dari suatu fungsi pangkat dapat diartikan sebagai fungsi pangkat lain yang diperoleh dari integran dengan cara menambah pangkatnya dengan 1 dan membagi pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat baru tersebut. Dengan kata lain, jika integran berbentuk fungsi pangkat, maka hasil integralnya mengikuti rumus dasar berikut:
∫ xn dx = 1  xn+1 + c
n + 1

Keterangan :
xn = bilangan atau fungsi pangkat
n = pangkat dari variabel x
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ x4 dx

Pembahasan :
Sesuai dengan rumus dasar untuk fungsi pangkat di atas, n = 4, maka:
⇒ ∫ x4 dx = 1/(4+1) . x4+1 + c
⇒ ∫ x4 dx = 1/5 . x5 + c
⇒ ∫ x4 dx = 1/5 x5 + c

#3 Integral Tak Tentu Konstanta Kali Fungsi
Aturan ketiga ini merupakan perpaduan antara aturan pertama dan aturan kedua. Jika fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) merupakan hasil kali konstanta dan fungsi, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus dasar berikut ini:
∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ k xn dx = k 1  xn+1 + c
n + 1

Keterangan :
k = konstanta
n = pangkat dari variabel x.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ 4 x3 dx

Pembahasan :
Dari soal diketahui k = 4 dan n = 3, maka sesuai rumus diperoleh:
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 ∫ x3 dx =
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 . 1/(3+1) . x3+1 + c
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 . 1/4 . x4 + c
⇒ ∫ 4 x3 dx = x4 + c

#4 Integral Tak Tentu Penjumlahan Fungsi
Aturan berikutnya adalah untuk integran yang berbentuk penjumlahan dua fungsi. Misalkan diberikan dua buah fungsi dengan variabel yang sama yaitu f(x) dan g(x), maka hasil integral dari penjumlahan fungsi tersebut dapat diselesaikan dengan mengikuti rumus berikut:
∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ {f(x) − g(x)} dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx

Keterangan :
f(x) = fungsi pertama dalam variabel x
g(x) = fungsi kedua dalam variabel x.

Contoh : 
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut : ∫ (4x3 + 2x) dx

Pembahasan :
Jika fungsi di atas diuraikan maka diperoleh f(x) = 4x3 dan g(x) = 2x.
⇒ ∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = ∫ 4x3 dx + ∫ 2x dx
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = {4 . 1/(3+1) . x3+1 + c1} + {2 . 1/(2+1) . x1+1 + c2}
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = {4 . 1/4 . x4 + c1} + {2 . 1/2 . x2 + c2}
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = (x4 + c1) + (x2 + c2)
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = x4 + x2 + c1 + c2
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = x4 + x2 + c.

#5 Integral Tak Tentu Kebalikan Variabel
Jika integran merupakan bentuk kebalikan dari variabel fungsi (variabel pangkat negatif 1), maka hasil integral dari fugsi tersebut dapat diperoleh berdasaran aturan dasar berikut ini.
∫ x-1 dx = ln |x| + c

Keterangan :
x = variabel fungsi
ln = logaritma natural
| | = nilai mutlak dari variael x.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan rumus dasar untuk integral tak tentu. Jik bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.



Advertisements