Edutafsi.com - Deret Geometri Tak Hingga. Deret geometri merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan geometri. Untuk deret geometri dengan jumlah suku yang masih dapat disebutkan, maka jumlah deret tersebut biasanya dikatakan sebagai jumlah n suku pertama deret geometri dengan n menyatakan banyak suku yang akan dijumlahkan. Lalu bagaimana jika deret geometri memiliki jumlah suku yang sangat banyak hingga mendati tak hingga? Apakah jumlahnya dapat ditentukan menggunakan rumus? Untuk deret dengan jumlah suku mendekati tak hingga maka akan ada dua kondisi yang harus diperhatikan. Pada kesempatan ini, edutafsi akan memaparkan sifat deret tak hingga dan cara menentukan jumlah deret tak hingga.
Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama deret geometri dan jumlah tersebut disimbolkan dengan Sn. Untuk deret geometri tak hingga, maka banyak suku yang akan dijumlahkan menjadi tak terhingga banyaknya. Jumlah deret tak hingga umumnya disimbolkan dengan S∞.
Sesuai dengan rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang berbentuk fungsi eksponen dalam r, maka Sn bergantung pada nilai rn. Untuk sebarang nilai n (1, 2, 3, ...) jumlah n suku pertama ditentukan berdasarkan rumus jumlah deret tersebut. Untuk n tak hingga (n → ∞), maka rumus jumlah n suku pertama masih dapat disederhanakan.
Penentukan jumlah deret tak hingga pada dasarnya sama dengan rumus jumlah n suku pertama dengan memasukkan n = ∞. Tetapi, dengan nilai tak hingga tersebut ternyata terdapat kondisi khusus yang membuat rumusnya menjadi lebih sederhana. Sebelumnya telah dibahas bahwa rumus jumlah n suku pertama dapat ditulis sebagai berikut :
Jika diuraikan, bentuk rumus di atas dapat diubah menjadi :
Selain bergantung pada nilai n, jumlah n suku pertama juga bergantung pada nilai rasio deret tersebut. Berdasarkan interval rasionya, deret tak hingga dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret tak hingga divergen dan deret tak hingga konvergen.
#1 Deret Tak Hingga Divergen
Deret tak hingga divergen adalah deret geometri tak hingga yang rasionya lebih besar dari satu atau lebih kecil dari negatif satu (r < -1 atau r > 1). Untuk rasio pada rentang tersebut, semakin besar n maka nilai rn juga akan semakin besar. Lalu bagaimana jika n tak hingga?
Jika r > 1 dan n menuju tak hingga (n → ∞), maka nilai eksponen rn juga akan menuju tak hingga (rn → ∞). Untuk r < -1 dan n tak hingga, juga akan dihasilkan nilai rn tak hingga. Dengan demikian, deret tak hingga ini bersifat divergen (memencar) dan tidak memiliki limit jumlah.
Jika rn → ∞, maka rumus jumlah deret tak hingga akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a.rn/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a(∞)/(1 - r)
⇒ S∞ = ± ∞
#2 Deret Tak Hingga Konvergen
Deret tak hingga konvergen adalah deret geometri tak hingga yang rasionya berada di antara negatif 1 dan satu (-1 < r < 1). Jika melihat interval tersebut, maka deret geometri tak hingga konvergen merupakan deret geometri dengan rasio berupa bilangan pecahan yang lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1.
Jika r < 1 dan n menuju tak hingga (n → ∞), maka nilai eksponen rn juga akan mendekati nol (rn → 0). Begitu juga saat r > -1 dan n menuju tak hingga, maka nilai eksponen rn juga akan mendekati nol. Berdasarkan kondisi tersebut, deret tak hingga ini bersifat memusat dan memiliki limit jumlah.
Jika rn → 0, maka rumus jumlah deret tak hingga akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a.rn/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a(0)/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − 0
⇒ S∞ = a/(1 - r)
Perhatikan bahwa rumus jumlah deret tak hingga konvergen menjadi lebih sederhana karena rn = 0. Dengan rumus di atas, jumlah deret geometri tak hingga yang rasioanya lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1 dapat ditentukan. Perhatikan bahwa rumus tersebut hanya berlaku untuk deret tak hingga dengan -1 < r < 1.
Keterangan :
S = jumlah deret geometri tak hingga
a = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri (-1 < r < 1).
Contoh :
Diberikan deret geometri sebagai berikut : 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... Tentukanlah jumlah deret tersebut untuk banya suku mendekati tak hingga.
Pembahasan :
Dik : a = 4, r = 2/4 = 1/2 = ½
Dit : S∞ =
Pada soal diketahui rasio deretnya bernilai lebih kecil dari 1. Dengan demikian, deret tersebut merupakan deret tak hingga yang bersifat konvergen. Dengan menggunakan rumus deret tak hingga kovergen maka diperoleh :
⇒ S∞ = a/(1 - r)
⇒ S∞ = 4/(1 - ½)
⇒ S∞ = 4/½
⇒ S∞ = 8
Jadi, jumlah deret tak hingga untuk deret geometri tersebut adalah 8.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan jumlah deret geometri tak hingga konvergen. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share yang tersedia di bawah ini.
A. Bentuk Deret Geometri Tak Hingga
Jika deret geometri terdiri dari beberapa suku U1, U2, U3, U4, ..., Un, maka yang dimaksud dengan deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan jumlah suku yang terlalu banyak mendekati tak hingga (n → ∞). Secara sederhana deret geometri tak hingga dapat ditulis menjadi U1, U2, U3, U4, ...., U∞.Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama deret geometri dan jumlah tersebut disimbolkan dengan Sn. Untuk deret geometri tak hingga, maka banyak suku yang akan dijumlahkan menjadi tak terhingga banyaknya. Jumlah deret tak hingga umumnya disimbolkan dengan S∞.
Sesuai dengan rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang berbentuk fungsi eksponen dalam r, maka Sn bergantung pada nilai rn. Untuk sebarang nilai n (1, 2, 3, ...) jumlah n suku pertama ditentukan berdasarkan rumus jumlah deret tersebut. Untuk n tak hingga (n → ∞), maka rumus jumlah n suku pertama masih dapat disederhanakan.
Penentukan jumlah deret tak hingga pada dasarnya sama dengan rumus jumlah n suku pertama dengan memasukkan n = ∞. Tetapi, dengan nilai tak hingga tersebut ternyata terdapat kondisi khusus yang membuat rumusnya menjadi lebih sederhana. Sebelumnya telah dibahas bahwa rumus jumlah n suku pertama dapat ditulis sebagai berikut :
| ⇒ Sn = | a(1 − rn) |
| 1 - r |
Jika diuraikan, bentuk rumus di atas dapat diubah menjadi :
| ⇒ Sn = | a − arn |
| 1 - r |
| ⇒ Sn = | a | − | a . rn |
| 1 - r | 1 - r |
Selain bergantung pada nilai n, jumlah n suku pertama juga bergantung pada nilai rasio deret tersebut. Berdasarkan interval rasionya, deret tak hingga dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret tak hingga divergen dan deret tak hingga konvergen.
#1 Deret Tak Hingga Divergen
Deret tak hingga divergen adalah deret geometri tak hingga yang rasionya lebih besar dari satu atau lebih kecil dari negatif satu (r < -1 atau r > 1). Untuk rasio pada rentang tersebut, semakin besar n maka nilai rn juga akan semakin besar. Lalu bagaimana jika n tak hingga?
Jika r > 1 dan n menuju tak hingga (n → ∞), maka nilai eksponen rn juga akan menuju tak hingga (rn → ∞). Untuk r < -1 dan n tak hingga, juga akan dihasilkan nilai rn tak hingga. Dengan demikian, deret tak hingga ini bersifat divergen (memencar) dan tidak memiliki limit jumlah.
Jika rn → ∞, maka rumus jumlah deret tak hingga akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a.rn/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a(∞)/(1 - r)
⇒ S∞ = ± ∞
#2 Deret Tak Hingga Konvergen
Deret tak hingga konvergen adalah deret geometri tak hingga yang rasionya berada di antara negatif 1 dan satu (-1 < r < 1). Jika melihat interval tersebut, maka deret geometri tak hingga konvergen merupakan deret geometri dengan rasio berupa bilangan pecahan yang lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1.
Jika r < 1 dan n menuju tak hingga (n → ∞), maka nilai eksponen rn juga akan mendekati nol (rn → 0). Begitu juga saat r > -1 dan n menuju tak hingga, maka nilai eksponen rn juga akan mendekati nol. Berdasarkan kondisi tersebut, deret tak hingga ini bersifat memusat dan memiliki limit jumlah.
Jika rn → 0, maka rumus jumlah deret tak hingga akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a.rn/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − a(0)/(1 - r)
⇒ S∞ = a/(1 - r) − 0
⇒ S∞ = a/(1 - r)
Perhatikan bahwa rumus jumlah deret tak hingga konvergen menjadi lebih sederhana karena rn = 0. Dengan rumus di atas, jumlah deret geometri tak hingga yang rasioanya lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1 dapat ditentukan. Perhatikan bahwa rumus tersebut hanya berlaku untuk deret tak hingga dengan -1 < r < 1.
B. Rumus Deret Tak Hingga Konvergen
Berdasarkan penjabaran pada nomor dua di atas, dapat dilihat bahwa untuk deret geometri tak hingga yang bersifat konvergen (memusat), maka jumlah deret tak hingga menjadi lebih sederhana dibanding rumus jumlah n suku pertama. Jumlah deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung menggunakan rumus berikut ini.
|
Keterangan :
S = jumlah deret geometri tak hingga
a = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri (-1 < r < 1).
Contoh :
Diberikan deret geometri sebagai berikut : 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... Tentukanlah jumlah deret tersebut untuk banya suku mendekati tak hingga.
Pembahasan :
Dik : a = 4, r = 2/4 = 1/2 = ½
Dit : S∞ =
Pada soal diketahui rasio deretnya bernilai lebih kecil dari 1. Dengan demikian, deret tersebut merupakan deret tak hingga yang bersifat konvergen. Dengan menggunakan rumus deret tak hingga kovergen maka diperoleh :
⇒ S∞ = a/(1 - r)
⇒ S∞ = 4/(1 - ½)
⇒ S∞ = 4/½
⇒ S∞ = 8
Jadi, jumlah deret tak hingga untuk deret geometri tersebut adalah 8.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan jumlah deret geometri tak hingga konvergen. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share yang tersedia di bawah ini.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.