CONTOH SOAL CERITA PROGRAM LINEAR DAN PEMBAHASAN

Untuk menyelesaikan soal cerita program linear, dibutuhkan kemampuan analisis yang lebih tinggi dibanding soal program linear yang biasa. Hal ini karena pada soal cerita kita dituntut untuk mampu menyusun sendiri sistem persamaan atau pertidaksamaan linear yang sesuai dengan cerita untuk kemudian ditentukan himpunan penyelesaiannya. Tentu saja ketika kita keliru dalam menyusun persamaan atau pertidaksamaan linear, maka hasil yang kita peroleh juga keliru. Oleh karena itu, selain memahami konsep-konsep dasar program linear yang harus kita lakukan adalah banyak berlatih mengerjakan soal-soal cerita tentang perogram linear untuk memperkaya model soal.

Soal Cerita Program Linear

Soal 1 : Menentukan Harga Satuan
Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.

Pembahasan :
Dimisalkan : apel = x, anggur = y, jeruk = z

Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 2x + 2y + z = 67.000
2). 3x + y + z = 61.000
3). x + 3y + 2z = 80.000

Ditanya : x + y + 4z = ....?

Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. 

Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :

Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :

Dari persamaan no 4 dan 5 diperoleh :

Jadi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :
x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.

Soal 2 : Menentukan Harga Benda

Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah.

Pembahasan :
Dimisalkan : buku = x, pulpen = y, pensil = z

Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 4x + 2y + 3z = 26.000
2). 3x + 3y + z = 21.000
3). 3x + z = 12.000

Ditanya : 2y + 3z = ....?

Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.

Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yaitu :

Selanjtunya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut :

Jadi, harga 2 pulpen dan 3 pensil adalah :
2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.200,00.

Soal 3 : Menentukan Nilai Maksimum

Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu.

Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

Pembahasan :
Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 10.000x + 5.000y

Dengan pemisalan :
sepatu laki-laki = x
sepatu perempuan = y

Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :
 x + y <= 400
100 => x <= 150
150 => y <= 250
Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 - 150 = 250.

Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :

Sistem pertidaksamaan linear

Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah :

F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000

Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00.

Soal 4 : Menentukan Pendapatan Maksimum

Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.

Pembahasan :
Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya.

Bahan yang tersedia:

Tepung = 8 kg = 8000 g

Gula = 2 kg = 2000 g

Misalkan :

kue dadar = x 

kue apem = y 

Maka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut :

Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :

20x + 50y = 800 ---> 2x + 5y <= 800

10x +5y = 2000 ---> 2x + y <= 400

x >= 0 dan y >= 0 

dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y 

Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik.
Untuk garis 2x + 5y = 800
x = 0, y = 160 ---> (0, 160)
y = 0, x = 400 ---> (400, 0)

Untuk garis 2x + y = 400
x = 0, y = 400 ---> (0, 400)
y = 0, x = 200 ---> (200, 0)

Sistem pertidaksamaan linear

Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400
2x + y = 400
y = 400 - 2x

Dengan metode substitusi :
2x + 5y = 800
2x + 5(400 - 2x) = 800
2x + 2000 - 10x = 800
-8x = -1200
x = 150

Karena x = 150, maka :
y = 400 - 2x
y = 400 - 2(150)
y = 400 - 300
y = 100
Dengan demikian titik B (150, 100)

Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan :
A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000
B(150, 100) ---> F(x,y) = 300(150) + 500(100) = 95.000
C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000

Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 95.000,00.

Soal 5 : Menentukan Syarat Nilai Maksimum

Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.

Baca juga : Pembahasan Syarat Nilai Maksimum >>
             
Soal 6 : Menentukan Laba Maksimum Berdasarkan Fungsi Tujuan

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Baca juga : Pembahasan Laba Maksimum >>

Soal 7 : Menentukan Titik Optimum Fungsi Tujuan

Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati  dan 1 kaleng cat pernis.

Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.

Baca juga : Pembahasan Titik Optimum Fungsi Tujuan >>

Soal 8 : Menentukan Nilai Minimum Fungsi Tujuan

Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum.

Baca juga : Pembahasan Nilai Minimum Fungsi Tujuan >>

Soal 9 : Menentukan Nilai Minimum Fungsi Objektif

Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai dengan  6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp 400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.

Baca juga : Pembahasan Nilai Minimum Fungsi Objektif >>

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.