KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN PERKALIAN MATRIKS

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.

Misalnya matriks ordo 2 x 3 dapat dikalikan dengan matriks ordo 3 x 3 tetapi tidak bisa dikalikan dengan matriks berordo 3 x 2 karena jumlah baris matriks ordo 3 x 2 tidak sama dengan jumlah kolom matriks ordo 2 x 3.

Prinsip perkalian dua matriks adalah mengalikan komponen yang berada pada baris matriks pertama dengan komponen yang berada pada kolom matriks kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh yang akan kita bahas.

Konsep Perkalian Matriks

Bila, matriks A dan B seperti diberikan di bawah ini, maka A.B adalah sebagai berikut :

Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa ordo hasil kali dua buah matriks bergantung pada banyak baris matriks pertama dan banyak kolom matriks kedua.

Amxn . Bnxk = Cmxk

Misal :

A2x3 dikali dengan B3x3 akan menghasilkan matriks C2X3

A3X4 dikali dengan B4x2 akan menghasilkan matriks C3X2

A3X1 dikali dengan B1x3 akan menghasilkan matriks C3X3

A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks C1X1

Kumpulan Soal Perkalian Matriks

Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B dan B.A

Pembahasan :
A2X2 dikali dengan B2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.

B2X2 dikali dengan A2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.

Dari hasil yang diperoleh dapat kita lihat bahwa AB ≠ BA
Matriks P dan Q adalah sebagai berikut :

Pembahasan :
P2X3 dikali dengan Q3X3 akan menghasilkan matriks 2x3.
Tentukan hasil kali K.M jika K dan M seperti di bawah ini.

Pembahasan :
K3X1 dikalikan dengan M1X3 akan menghasilkan matriiks 3x3
Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B

Pembahasan :
A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks 1x1
Tentukan hasil dari A.B :

Pembahasan :
A4X3 dikali dengan B3X2 akan menghasilkan matriks ordo 4x2

Bila matriks A merupakan matriks 2x2 seperti di bawah ini, maka tentukanlah A²

Pembahasan :
Buktikan bahwa A.I = I.A. Dengan matriks A seperti pada soal no 6 dan I matriks identitas 2x2.

Pembahasan :
Tentukan A.B jika A dan B seperti di bawah ini.

Pembahasan :
Karena A2X2 dan B2X1 maka hasilnya adalah matriks ordo 2x1 seperti ini.
Berikan dua matriks A dan B yang memenuhi persamaan (A+B)² = A² + B²
Pembahasan :
(A+B)² = A² + B²
A² + AB + BA + B² = A² + B² ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
A² + B² - A² - B² + AB + BA = 0
AB + BA = 0

Untuk tujuan praktis, anggaplah AB = 0 dan BA = 0 dengan begitu AB + BA = 0.
Beberapa syarat agar AB = BA = 0 antara lain :
- Kedua matriks merupakan matriks persegi yang memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan -BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.
- Kedua matriks memiliki komponen yang sama dengan komponen positif pada baris pertama dan komponen negatif pada baris kedua.
Misalnya matriks A dan B adalah :

Pembuktian :
(A+B)² = A² + B²
Berikan dua matriks yang memenuhi persamaan A² - B² = (A - B)(A + B)
Pembahasan :
A² - B² = (A - B)(A + B)
A² - B² = A² + AB - BA - B² ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
A² - B² - A² + B² = AB - BA
0 = AB- BA
AB = BA

Beberapa syarat agar AB = BA antara lain:
- Kedua matriks harus matriks persegi misal 2x2, 3x3 dan lain sebagainya. Kedua matriks harus memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.
- Masing-masing matriks memiliki komponen yang sama di semua sel karena jika matriks mengandung komponen yang berbeda, saat dibalik maka hasilnya akan berbeda.
Misal matriks A dan B adalah sebagai berikut :

Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka diperoleh :
ak + bm = ka + lc
al + an = kb + ld
ak + dm = ma + nc
al + dn = mb + nd
untuk tujuan praktis, maka dapat dibuat a = b = c = d dan k = l = m = n.

Salah satu alternatif yang dapat memenuhi persyaratan AB = BA adalah matriks persegi ordo 2x2 dengan komponen matriks sama di semua sel. misalnya seperti berikut :

Pembuktian :

A² - B² = (A - B)(A + B)