KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN MENENTUKAN AKAR SUKU BANYAK

Akar-akar suatu suku banyak merupakan nilai yang menyebabkan suku banyak tersebut bernilai nol. Akar-akar suatu suku banyak dapat diperoleh dengan cara memfaktorkan suku banyak tersebut. Dari faktor-faktor suku banyak yang diperoleh, maka dapat ditentukan akar-akarnya. Secara umum, bentuk yang seringkali muncul dalam soal adalah sebagai berikut :

• Jika f(x) habis dibagi (x - a) → akarnya x = a
• Jika f(x) habis dibagi (x + a) → akarnya x = -a
• Jika f(x) habis dibagi (ax - b) → akarnya x = b/a
• Jika f(x) habis dibagi (ax + b) → akarnya x = -b/a
• Jika f(x) habis dibagi (x - a)(x - b) → maka akarnya x = a atau x = b.

Kumpulan Soal Menentukan Akar Suku Banyak

1. Banyaknya akar-akar real dari x⁴ - 3x³ - 3x² + 7x + 6 = 0 adalah ...
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 5
   E. 6
   
   Pembahasan 
   x⁴ - 3x³ - 3x² + 7x + 6 = 0
   ⇒ (x + 1)(x³ - 4x² + x + 6) = 0
   ⇒ (x + 1)(x + 1)(x² - 5x + 6) = 0
   ⇒ (x + 1)(x + 1)(x - 3)(x - 2) = 0
   ⇒ x = -1 atau x = -1 atau x = 3, atau x = 2.
   Karena terdapat akar yang sama yaitu -1, maka banyak akarnya hanya ada 3 ---> opsi B.
   
    
2. Salah satu akar persamaan x³ + 5x² - 9x - n = 0 berlawanan dengan akar lainnya maka nilai x1² + x2² + x3² sama dengan ...
   A. 48
   B. 46
   C. 44
   D. 43
   E. 40
   
   Pembahasan
   Jika suku banyak berderajat tiga memiliki akar x1, x2, dan x3, maka berlaku :
   x1 + x2 + x3 = -b/a
   x1.x2.x3 = -d/a
   x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
   
   Karena salah satu akar berlawanan dengan akar lainnya, maka kita dapat memisalkan x1 = -x2.
   Dari x³ + 5x² - 9x - n = 0  diperoleh a = 1, b = 5, c = -9 dan d = -n.
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -5/1 = -5
   ⇒ -x2 + x2 + x3 = -5
   ⇒ x3 = -5.
   Selanjutnya dari rumus no 3 diperoleh :
   ⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = -9/1 = -9
   ⇒ x1.x2 + x3(x1 + x2) = -9
   ⇒ x1.x2 + -5(-x2 + x2) = -9
   ⇒ x1.x2 = -9
   ⇒ -x2.x2 = -9
   ⇒ x2² = 9
   ⇒ x2 = 3 , maka x1 = -3
   Dengan demikian, maka :
   x1² + x2² + x3²  = (-3)² + 3² + (-5)²  = 9 + 9 + 25 = 43 ---> opsi D.
   
   
   
3. Persamaan 2x³ + px² + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah ...
   A. -9
   B. 2½
   C. 3
   D. 4½
   E. 9
   
   Pembahasan 
   Karena x = 2 adalah akar suku banyak, maka berlaku f(2) = 0.
   f(x) = 2x³ + px² + 7x + 6 
   ⇒ f(2) = 2(2)³ + p(2)² + 7(2) + 6 = 0
   ⇒ 16 + 4p + 14 + 6 = 0
   ⇒ 4p + 36 = 0
   ⇒ p = -9
   Dengan demikian diperoleh 2x³ - 9x² + 7x + 6 dengan a = 2, b = -9 , c = 7 dan d = 6.
   Berdasarkan rumus x1 + x2 + x3 = -b/a, maka diperoleh :
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-9)/2 = 4½ ---> opsi D.
   
   
   
4. Jika akar-akar persamaan x³ - 12x² + 44x + k = 0 membentuk barisan aritmatika, maka nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah ...
   A. -48
   B. -42
   C. -24
   D. 40
   E. 48
   
   Pembahasan
   Dari x³ - 12x² + 44x + k = 0 diperoleh a = 1, b = -12, c = 44, dan d = k.
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -b/a
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-12)/1 = 12
   Karena x1, x2, dan x3 membentuk barisan aritmatika, maka :
   ⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) = 12
   ⇒ 3x1 + 3b = 12
   ⇒ x1 + b = 4
   Karena pada barisan aritmatika suku awal biasa dilambangkan dengan huruf a, maka kita dapat merubah x1 menjadi a sebagi berikut :
   ⇒ a + b = 4 atau b = 4 - a
   
   Selanjutnya :
   ⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
   ⇒ a(a + b) + a(a + 2b) + (a + b)(a + 2b) = 44
   ⇒ a(4) + a(a + 2b) + 4(a + 2b) = 44 → substitusi b = 4 - a
   ⇒ 4a + a(a + 2(4 - a)) + 4(a + 2(4 - a) = 44
   ⇒ 4a + a(8 - a) + 4(8 - a) = 44
   ⇒ 4a + 8a - a² + 32 - 4a = 44
   ⇒16a - a²  + 32 = 44
   ⇒ -a² + 16a - 12 = 0
   ⇒ (a - 6)(a - 2) = 0
   ⇒ a = 6 atau a = 2
   
   Ambil saja salah satu, misal a =2 maka b = 4 - a = 4 - 2 = 2
   Selanjutnya, dari rumus perkalian akar diperoleh :
   ⇒ x1.x2.x3 = -d/a
   ⇒ a(a + b)(a + 2b) = -k/1
   ⇒ 2 (4) (6) = -k
   ⇒ k = -48 ---> opsi A.
   
   
   
5. Bila akar-akar persamaan x⁴ - 8x³ + ax² - bx + c = 0 membentuk deret aritmatika dengan beda 2, maka :
   A. a = -8, b = -15, c = 16
   B. a = 8, b = 15, c = -16
   C. a = 14, b = -8, c = 15
   D. a = -16, b = 8, c = -15
   E. a = 14, b = -8, c = -15
   
   Pembahasan 
   Misal akar-akarnya adalah x1, x2, x3, dan x4.
   dari x⁴ - 8x³ + ax² - bx + c = 0 diperoleh a = 1, b = -8, c = a, d = -b dan e = c.
   
   Dari rumus penjumlahan akar diperoleh :
   x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
   ⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) + (x1 + 3b) = -(-8)/1
   ⇒ 4x1 + 6b = 8 ---> dari soal diketahui beda = b = 2
   ⇒ 4x1 + 12 = 8
   ⇒ 4x1 = -4
   ⇒ x1 = -1 maka x2 = 1; x3 = 3; dan x4 = 5.
   
   Dengan demikian, maka persamaan suku banyaknya adalah :
   (x + 1)(x - 1)(x -3)(x - 5) = x⁴ - 8x³ + ax² - bx + c = 0
   x⁴ - 8x³ + 14x² + 8x - 15 = x⁴ - 8x³ + ax² - bx + c = 0
   Dari persamaan itu  diperoleh a = 14, b = -8, dan c = -15 ---> opsi E.

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.