KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN MENENTUKAN AKAR SUKU BANYAK

Posted by on 01 December 2014 - 3:11 PM

Akar-akar suatu suku banyak merupakan nilai yang menyebabkan suku banyak tersebut bernilai nol. Akar-akar suatu suku banyak dapat diperoleh dengan cara memfaktorkan suku banyak tersebut. Dari faktor-faktor suku banyak yang diperoleh, maka dapat ditentukan akar-akarnya. Secara umum, bentuk yang seringkali muncul dalam soal adalah sebagai berikut :
  • Jika f(x) habis dibagi (x - a) → akarnya x = a
  • Jika f(x) habis dibagi (x + a) → akarnya x = -a
  • Jika f(x) habis dibagi (ax - b) → akarnya x = b/a
  • Jika f(x) habis dibagi (ax + b) → akarnya x = -b/a
  • Jika f(x) habis dibagi (x - a)(x - b) → maka akarnya x = a atau x = b.

Kumpulan Soal Menentukan Akar Suku Banyak

  1. Banyaknya akar-akar real dari x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 = 0 adalah ...
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 5
    E. 6

    Pembahasan 
    x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 = 0
    ⇒ (x + 1)(x3 - 4x2 + x + 6) = 0
    ⇒ (x + 1)(x + 1)(x2 - 5x + 6) = 0
    ⇒ (x + 1)(x + 1)(x - 3)(x - 2) = 0
    ⇒ x = -1 atau x = -1 atau x = 3, atau x = 2.
    Karena terdapat akar yang sama yaitu -1, maka banyak akarnya hanya ada 3 ---> opsi B.

     
  2. Salah satu akar persamaan x3 + 5x2 - 9x - n = 0 berlawanan dengan akar lainnya maka nilai x12 + x22 + x32 sama dengan ...
    A. 48
    B. 46
    C. 44
    D. 43
    E. 40

    Pembahasan
    Jika suku banyak berderajat tiga memiliki akar x1, x2, dan x3, maka berlaku :
    x1 + x2 + x3 = -b/a
    x1.x2.x3 = -d/a
    x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

    Karena salah satu akar berlawanan dengan akar lainnya, maka kita dapat memisalkan x1 = -x2.
    Dari x3 + 5x2 - 9x - n = 0  diperoleh a = 1, b = 5, c = -9 dan d = -n.
    ⇒ x1 + x2 + x3 = -5/1 = -5
    ⇒ -x2 + x2 + x3 = -5
    ⇒ x3 = -5.
    Selanjutnya dari rumus no 3 diperoleh :
    ⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = -9/1 = -9
    ⇒ x1.x2 + x3(x1 + x2) = -9
    ⇒ x1.x2 + -5(-x2 + x2) = -9
    ⇒ x1.x2 = -9
    ⇒ -x2.x2 = -9
    ⇒ x22 = 9
    ⇒ x2 = 3 , maka x1 = -3
    Dengan demikian, maka :
    x12 + x22 + x32  = (-3)2 + 32 + (-5)2  = 9 + 9 + 25 = 43 ---> opsi D.


  3. Persamaan 2x3 + px2 + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah ...
    A. -9
    B. 2½
    C. 3
    D. 4½
    E. 9

    Pembahasan 
    Karena x = 2 adalah akar suku banyak, maka berlaku f(2) = 0.
    f(x) = 2x3 + px2 + 7x + 6 
    ⇒ f(2) = 2(2)3 + p(2)2 + 7(2) + 6 = 0
    ⇒ 16 + 4p + 14 + 6 = 0
    ⇒ 4p + 36 = 0
    ⇒ p = -9
    Dengan demikian diperoleh 2x3 - 9x2 + 7x + 6 dengan a = 2, b = -9 , c = 7 dan d = 6.
    Berdasarkan rumus x1 + x2 + x3 = -b/a, maka diperoleh :
    ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-9)/2 = 4½ ---> opsi D.


  4. Jika akar-akar persamaan x3 - 12x2 + 44x + k = 0 membentuk barisan aritmatika, maka nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah ...
    A. -48
    B. -42
    C. -24
    D. 40
    E. 48

    Pembahasan
    Dari x3 - 12x2 + 44x + k = 0 diperoleh a = 1, b = -12, c = 44, dan d = k.
    ⇒ x1 + x2 + x3 = -b/a
    ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-12)/1 = 12
    Karena x1, x2, dan x3 membentuk barisan aritmatika, maka :
    ⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) = 12
    ⇒ 3x1 + 3b = 12
    ⇒ x1 + b = 4
    Karena pada barisan aritmatika suku awal biasa dilambangkan dengan huruf a, maka kita dapat merubah x1 menjadi a sebagi berikut :
    ⇒ a + b = 4 atau b = 4 - a

    Selanjutnya :
    ⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
    ⇒ a(a + b) + a(a + 2b) + (a + b)(a + 2b) = 44
    ⇒ a(4) + a(a + 2b) + 4(a + 2b) = 44 → substitusi b = 4 - a
    ⇒ 4a + a(a + 2(4 - a)) + 4(a + 2(4 - a) = 44
    ⇒ 4a + a(8 - a) + 4(8 - a) = 44
    ⇒ 4a + 8a - a2 + 32 - 4a = 44
    ⇒16a - a2  + 32 = 44
    ⇒ -a2 + 16a - 12 = 0
    ⇒ (a - 6)(a - 2) = 0
    ⇒ a = 6 atau a = 2

    Ambil saja salah satu, misal a =2 maka b = 4 - a = 4 - 2 = 2
    Selanjutnya, dari rumus perkalian akar diperoleh :
    ⇒ x1.x2.x3 = -d/a
    ⇒ a(a + b)(a + 2b) = -k/1
    ⇒ 2 (4) (6) = -k
    ⇒ k = -48 ---> opsi A.


  5. Bila akar-akar persamaan x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0 membentuk deret aritmatika dengan beda 2, maka :
    A. a = -8, b = -15, c = 16
    B. a = 8, b = 15, c = -16
    C. a = 14, b = -8, c = 15
    D. a = -16, b = 8, c = -15
    E. a = 14, b = -8, c = -15

    Pembahasan 
    Misal akar-akarnya adalah x1, x2, x3, dan x4.
    dari x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0 diperoleh a = 1, b = -8, c = a, d = -b dan e = c.

    Dari rumus penjumlahan akar diperoleh :
    x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
    ⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) + (x1 + 3b) = -(-8)/1
    ⇒ 4x1 + 6b = 8 ---> dari soal diketahui beda = b = 2
    ⇒ 4x1 + 12 = 8
    ⇒ 4x1 = -4
    ⇒ x1 = -1 maka x2 = 1; x3 = 3; dan x4 = 5.

    Dengan demikian, maka persamaan suku banyaknya adalah :
    (x + 1)(x - 1)(x -3)(x - 5) = x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0
    x4 - 8x3 + 14x2 + 8x - 15 = x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0
    Dari persamaan itu  diperoleh a = 14, b = -8, dan c = -15 ---> opsi E.



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment