SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI COSINUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

Posted by on 23 January 2015 - 5:15 PM

Nilai perbandingan trigonometri dari suatu sudut yang tidak diketahui dapat kita tentukan dengan mengubah bentuknya menjadi sudut-sudut istimewa. Kita dapat memanfaatkan rumus cosinus (α ± β) untuk menghitung nilai cosinus sudut yang tidak diketahui. Jika tidak bisa direlasikan ke sudut istimewa, biasanya bentuk trigonometri yang ditanya hanya disederhanakan ke dalam bentuk relasinya yang paling sederhana.

Pada dasarnya, rumus cosinus jumlah atau selisih sudut merupakan rumus lanjutan yang diturunkan beradasarkan identitas trigonometri dan dari rumus-rumus sebelumnya. Berikut beberapa contoh soal dan pembahasan tentang cosinus jumlah dan selisih sudut.

Seperti yang telah dijelaskan di atas, dengan memanfaatkan relasi antar sudut kita dapat menghitung nilai trigonometri sudut-sudut yang tidak termasuk sudut istimewa. Misalnya, kita dapat menghitung cos 75o dengan menggunakan rumus cos (30o + 45o) atau cos (120o - 45o). Sebelum membahas beberapa soal, berikut kami rangkum rumus-rumus trigonometri yang akan dibahas.

Kumplan Soal dan Jawaban cos (α ± β)

  1. Dengan menggunakan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut khusus, tunjukkanlah bahwa :
    1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β berlaku untuk α = 45o dan β = 90o
    2. cos (37o + 53o) = cos 37o .cos 53o − sin 37o sin 53o.

    Pembahasan :
    1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β
      Berdasarkan nilai trigonometri sudut istimewa, kita peroleh :
      sin 45o = ½√2 ; cos 45o = ½√2 ; sin 90o = 1; cos 90o = 0 ;
      dan cos 135o = -½√2.

      cos (45o + 90o) = cos 45o .cos 90o − sin 45o sin 90o
      ⇒ cos 135o = cos 45o .cos 90o − sin 45o sin 90o
      ⇒ -½√2 = ½√2.(0) ½√2 (1)
      ⇒ -½√2 = -½√2
      (Terbukti).

    2. cos (37o + 53o) = cos 37o .cos 53o − sin 37o sin 53o.
      Sudut 37o memang jarang dimasukkan ke dalam sudut istimewa tapi termasuk sudut yang harus kita hafal nilainya karena seringkali keluar dalam soal.
      sin 37o = ⅗ ; cos 37o = ⅘ ; sin 53o = ⅘; cos 53o = ⅗.

      cos (37o + 53o) = cos 37o .cos 53o − sin 37o sin 53o
      ⇒ cos (90o) = cos 37o .cos 53o − sin 37o sin 53o
      ⇒ 0 = ⅘ (⅗) − ⅗ (⅘)
      ⇒ 0 = 1225 12⁄25
      ⇒ 0 = 0
      (Terbukti).


  2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini :
    1. cos (25− β) cos (20o + β) − sin (25− β) sin (20o + β).
    2. cos (π3 + p) cos (π6 + p) + sin (π3 + p) sin (π6 + p)

    Pembahasan :
    1. cos (25− β) cos (20o + β) − sin (25− β) sin (20o + β)
      misalkan (25− β) = a dan (20o + β) = b, maka :
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (a + b)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos {(25− β) + (20o + β)}
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (25− β + 20o + β)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (25o + 20o)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos 45o
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = ½√2
      Jadi, cos (25− β) cos (20o + β) − sin (25− β) sin (20o + β) = ½√2.

    2. cos (π3 + p) cos (π6 + p) + sin (π3 + p) sin (π6 + p)
      misalkan (π3 + p) = α  dan (π6 + p) = β.
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (α − β)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos {(π3 + p) − (π6 + p)}
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (π3 + p − π6 − p)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (π3π6)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos π6
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos 30o
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = ½√3
      Jadi, cos (π3 + p) cos (π6 + p) − sin (π3 + p) sin (π6 + p) = ½√3.

  3. Dengan menggunakan rumus cos (α ± β), tunjukkanlah bahwa cos (90o - β) − cos (90o + β) = 2 sin β.

    Pembahasan :
    cos (90o - β) − cos (90o + β) = 2 sin β

    Bila dikerjakan satu persatu :
    cos (90o - β) = cos 90o .cos β + sin 90o sin β
    ⇒ cos (90o - β) = 0.cos β + 1.sin β
    ⇒ cos (90o - β) = sin β

    cos (90o + β) = cos 90o .cos β − sin 90o sin β
    ⇒ cos (90o + β) = 0.cos β − 1.sin β
    ⇒ cos (90o + β) = -sin β

    Selanjutnya :
    cos (90o - β) − cos (90o + β) = 2 sin β
    ⇒ sin β − (-sin β) = 2 sin β
    ⇒ sin β + sin β = 2 sin β
    (Terbukti).


  4. Diketahui sudut α dan β merupakan sudut lancip. Jika sin α = ⅗ dan sin β = ⅘, hitunglah nilai dari :
    1. cos (α + β)
    2. cos (α − β)

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal ini, maka kita perlu mencari nilai sin untuk α dan β.
    Karena sin α = ⅗  → cos α = ⅘
    Karena sin β = ⅘ → cos β = ⅗

    1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β
      ⇒ cos (α + β) = ⅘.⅗ − ⅗.⅘
      ⇒ cos (α + β) = 1225 −  1225
      ⇒ cos (α + β) = 0.

    2. cos (α − β) = cos α .cos β + sin α sin β
      ⇒ cos(α − β) = ⅘.⅗ + ⅗.⅘
      ⇒ cos (α − β) = 12251225
      ⇒ cos (α − β) = 2425.


  5. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai dari :
    1. cos 64o cos 26o  − sin 64o  sin 26o
    2. cos 34o .cos 26o  − sin 34o .sin 26o
    3. cos 140o .cos 50o  + sin 140o .sin 50o
    4. cos 15o
    5. cos 75o

    Pembahasan :
    1. cos 64o .cos 26o  − sin 64o .sin 26o  = cos (64o + 26o)
      ⇒ cos 64o .cos 26o  − sin 64o .sin 26o  = cos 90o
      ⇒ cos 64o .cos 26o  − sin 64o .sin 26o  = 0.

    2. cos 34o .cos 26o  − sin 34o .sin 26o  = cos (34o + 26o)
      ⇒ cos 34o .cos 26o  − sin 34o .sin 26o  = cos 60o
      ⇒ cos 34o .cos 26o  − sin 34o .sin 26o  = ½.

    3. cos 140o .cos 50o  + sin 140o .sin 50o = cos (140o − 50o)
      ⇒ cos 140o .cos 50o  + sin 140o .sin 50o = cos 90o
      ⇒ cos 140o .cos 50o  + sin 140o .sin 50o = 0.

    4. cos 15o = cos (45o − 30o)
      ⇒ cos 15o = cos 45o .cos 30o  + sin 45o .sin 30o
      ⇒ cos 15o = ½√2.(½√3) + ½√2.(½)
      ⇒ cos 15o = ¼√6 + ¼√2
      ⇒ cos 15o = ¼ (√6 + √2)

    5. cos 75o = cos (45o + 30o)
      ⇒ cos 75o = cos 45o .cos 30o  − sin 45o .sin 30o
      ⇒ cos 75o = ½√2.(½√3) − ½√2.(½)
      ⇒ cos 75o = ¼√6 − ¼√2
      ⇒ cos 75o = ¼ (√6 − √2)


  6. Buktikan kebenaran hubungan di bawah ini :
    1. cos β + cos (β + 120o) + cos (β + 240o) = 0
    2. cos β − cos (β − 120o) − cos (β − 240o) = 2 cos β

    Pembahasan :
    1. cos β + cos (β + 120o) + cos (β + 240o) = 0
      ⇒ cos β + (cos β cos 120o − sin β sin 120o) + (cos β cos 240o − sin β sin 240o) = 0
      ⇒ cos β + (-½ cos β − ½√3 sin β) + {(-½cos β) − (-½√3 sin β)} = 0
      ⇒ cos β − ½ cos β − ½√3 sin β − ½ cos β + ½√3 sin β = 0
      ⇒ cos β − ½ cos β − ½ cos β = 0
      ⇒ cos β − cos β = 0.
      ⇒ 0 = 0.
      (Terbukti)

    2. cos β − cos (β − 120o) − cos (β − 240o) = 2 cos β
      ⇒ cos β − (cos β cos 120o + sin β sin 120o) − (cos β cos 240o + sin β sin 240o) = 2 cos β
      ⇒ cos β − (-½ cos β + ½√3 sin β) − {(-½cos β) + (-½√3 sin β)} = 2 cos β
      ⇒ cos β + ½ cos β − ½√3 sin β + ½ cos β + ½√3 sin β = 2 cos β
      ⇒ cos β + ½ cos β + ½ cos β = 2 cos β
      ⇒ cos β + cos β = 2 cos β.
      ⇒ 2 cos β = 2 cos β.
      (Terbukti)

    Rumus cos (α ± β)

    rumus trigonometri

  7. Buktikan kebenaran identitas berikut ini :
    1. cos (α + β) cos (α − β) = cos2 α − sin2 β
    2. cos (α + β) cos (α − β) = cos2 β − sin2 α
    3. cos (α + β) cos (α − β) = 1 − (sin2 α + sin2 β)
    4. cos (α + β) cos (α − β) = (cos2 α + cos2 β) − 1

    Pembahasan :
    1. cos (α + β) cos (α − β) = cos2 α − sin2 β
      Kita selesaikan persamaan sebelah kiri :
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = (cos α cos β − sin α sin β)(cos α cos β + sin α sin β)
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos2 α cos2 β − sin2 α sin2 β
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = {cos2 α (1 - sin2 β)} − {(1 - cos2 α) sin2 β}
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos2 α − sin2 β cos2 α − (sin2 β - sin2 β cos2 α) 
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos2 α − sin2 β cos2 α − sin2 β + sin2 β cos2 α
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos2 α − sin2 β.
      (Terbukti).

    2. cos (α + β) cos (α − β) = cos2 β − sin2 α
      Kita selesaikan persamaan sebelah kiri :
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = (cos α.cos β − sin α.sin β)(cos α.cos β + sin α.sin β)
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos2 α.cos2 β − sin2 α.sin2 β
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = {(1 - sin2 α) cos2 β} − {sin2 α (1 - cos2 β)}
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos2 β − sin2 α cos2 β − (sin2 α - sin2 α cos2 β) 
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos2 β − sin2 α cos2 β − sin2 α + sin2 α cos2 β
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos2 β − sin2 α.
      (Terbukti).


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment