SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI SINUS SUDUT GANDA

Posted by on 26 January 2015 - 10:12 AM

Sudut ganda atau sudut rangkap adalah dua kali sudut tertentu (2α), dengan α adalah sudut tunggal. Pada trigonometri sudut ganda akan dibahasa beberapa materi yaitu rumus sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. Rumus-rumus tersebut juga akan digunakan sebagai acuan dalam penentuan rumus trigonometri sudut setengah (½α).

Pada dasarnya, rumus trigonometri sudut ganda mengikuti suatu kaidah khusus yang dapat kita manfaatkan untuk menentukan nilai perbaningan trigonometri suatu sudut. Rumus-rumus trigonometri sudut ganda diturunkan dari rumus trigonometri jumlah dua sudut yang telah dibahas pada artikel sebelumnya.

Rumus untuk sin 2α diturunkan dari rumus sin (α + β). Jika β = α, maka bentuk tersebut akan menjadi sin (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut, maka diperoleh :
sin 2α = sin (α + α)
⇒ sin 2α = sin α .cos α + cos α sin α
⇒ sin 2α = 2 sin α .cos α

Kumpulan Soal dan Pembahasan

  1. Dengan menggunakan konsep sin 2α, nyatakan sin α dalam perbandingan trigonometri ½α.

    Pembahasan :
    sin α = sin 2 (½α)
    ⇒ sin α = 2 sin ½α cos ½α
    Jadi, sin α = 2 sin ½α cos ½α

  2. Jika diketahui α adalah sudut lancip dengan sin α = ⅗, maka hitunglah nilai dari sin 2α.

    Pembahasan :
    Ingat, karena sin α = ⅗, maka cos α = ⅘.
    sin 2α = 2 sin α cos α
    ⇒ sin 2α = 2 (⅗) (⅘)
    ⇒ sin 2α = 2425
    Jadi, sin 2α = 2425.


  3. Diketahui 3α = (2α + α), buktikan bahwa sin 3α = -4 sin3α + 3sin α.

    Pembahasan :
    sin 3α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ sin (2α + α) = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ sin 2α cos α + cos 2α sin α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin2α) sin α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 2 sin α cos2α  + (sin α − 2 sin3α) = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 2 sin α cos2α  + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
    Ingat bahwa cos2α = 1 − sin2α, sehingga :
    ⇒ 2 sin α (1 − sin2α)  + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 2 sin α − 2 sin3α + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 3 sin α − 4 sin3α = -4 sin3α + 3sin α 
    ⇒ -4 sin3α + 3 sin α = -4 sin3α + 3sin α
    (Terbukti).


  4. Jika ABC adalah sudut dalam segitiga, tunjukkanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.

    Pembahasan :
    Karena segitiga, maka A + B + C = 180o = π.
    A = π - (B + C)
    ⇒ 2A = 2π - (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = sin {2π - (2B + 2C)}
    ⇒ sin 2A = sin 2π cos (2B + 2C) − cos 2π sin (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = 0. cos (2B + 2C) − (1) sin (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = -sin (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = -{sin 2B cos 2C + cos 2B sin 2C)
    ⇒ sin 2A = -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C

    Selanjutnya, substitusi sin 2A ke soal yang ditanya.
    sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ -sin 2B cos 2C + sin 2B − cos 2B sin 2C  + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ sin 2B (1 − cos 2C) + sin 2C (1 − cos 2B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 2 sin B cos B (2 sin2C) + 2 sin C cos C (2 sin2B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B cos B (sin2C) + 4 sin C cos C (sin2B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C (cos B sin C + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C sin (B + C) = 4 sin A sin B sin C

    Ingat bahwa B + C = π - A, maka :
    ⇒ 4 sin B sin C sin (π - A) = 4 sin A sin B sin C 
    ⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin A sin B sin C = 4 sin A sin B sin C.
    (Terbukti).

  5. Nyatakan sin 3α dalam sudut 32α. 

    Rumus untuk sin 2α

    rumus trigonometri

    Pembahasan :
    sin 3α = sin 2(32α)
    ⇒ sin 3α = 2 sin 32α cos 32α


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment