SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI TANGEN JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

Sama halnya seperti nilai perbandingan sinus dan cosinus, kita juga dapat menentukan nilai perbandingan tangen suatu sudut yang tidak diketahui dengan memanfaatkan nilai tangen sudut relasinya. Sesuai dengan identitas trigonometri, pada dasarnya nilai tangen sebuah sudut berhubungan dengan nilai sinus dan cosinusnya.

Oleh karena itu, ketika nilai sinus atau cosinus dari suatu sudut diketahui, maka kita dapat menghitung nilai tangen sudut tersebut. Tak hanya itu, kita juga dapat menghitung nilai tangen suatu sudut yang memiliki relasi dengan sudut yang diketahui.

Sebagai contoh, kita dapat memanfaatkan rumus tan (30^o + 45^o) atau tan (120^o - 45^o) untuk menghitung tan 75^o. Prinsipnya sama seperti pembahasan sebelumnya, yaitu dengan memanfaatkan identitas trigonometri dan relasi antar sudut. Itu sebabnya akan sangat membantu jika anda telah memahami nilai-nilai trigonometri sudut-sudut berelasi. 

Ketika menemukan soal-soal yang berkaitan dengan rumus tangen, cobalah untuk mengubah bentuk soal menjadi sedemikian rupa mendekati sudut relasinya. Usahakan agar bentuk tersebut diubah ke dalam sudut-sudut istimewa sehingga kita dapat menentukan nilainya.

Biasanya, jika bentuk soal tidak dapat disederhanakan dalam bentuk sudut istimewa, maka kita hanya diminta untuk menyederhanakan bentuk tersebut menjadi sudut relasinya yang paling sederhana tanpa menghitung nilainya.

Kumpulan Soal dan Pembahasan

1. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, hitunglah nilai eksak dari :
   1. tan 15^o
   2. tan 75^o

   
   Pembahasan :
   

   1. tan 15^o = tan (45^o − 30^o)
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; = }\frac{\mathrm{tan\; 45^o\; -\; tan\; 30 \; ^o}}{\mathrm{1 +\; tan\; 45^o\; tan\; 30 \; ^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; =}\frac{\mathrm{1\; -\; ⅓\surd 3 }}{\mathrm{1 +\; (1.⅓\surd 3)}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; =}\frac{\mathrm{1\; -\; ⅓\surd 3 }}{\mathrm{1 +\; ⅓\surd 3}}$
      ⇒ tan 15^o = 2 − √3
      Jadi, tan 15^o = 2 − √3.
      
      
   2. tan 75^o = tan (45^o + 30^o)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 75^o\; = }\frac{\mathrm{tan\; 45^o\; +\; tan\; 30 \; ^o}}{\mathrm{1\; -\; tan\; 45^o\; tan\; 30 \; ^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 75^o\; =}\frac{\mathrm{1\; +\; ⅓\surd 3 }}{\mathrm{1\; -\; (1.⅓\surd 3)}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 75^o\; =}\frac{\mathrm{1\; +\; ⅓\surd 3 }}{\mathrm{1\; -\; ⅓\surd 3}}$
      ⇒ tan 75^o = 2 + √3
      Jadi, tan 75^o = 2 + √3.

   
   
   
   
2. Dalam segitiga ABC, diketahui sin C = ⅗ dan tan A tan B = 5. Hitunglah nilai dari :
   1. tan (A + B)
   2. tan A + tan B

   
   Pembahasan :
   Karena sin C = , maka tan C = ¾.
   Ingat bahwa dalam segitiga, jumlah sudutnya adalah 180^o, sehingga diperoleh : C = 180^o − (A + B).
   
   

   1. tan C = (180^o − (A + B))
      tan (180^o − (A + B)) = ¾
      ⇒ $\frac{\mathrm{tan\; 180^o\; -\; tan\; (A \; +\; B\; )}}{\mathrm{1 +\; tan\; 180^o\; tan\; (A \; +\; B)}}\mathrm{=\; ¾ }$
      Ingat bahwa tan 180^o = 0.
      ⇒ - tan (A + B) = ¾
      ⇒ tan (A + B) = -¾
      Jadi, tan (A + B) = -¾ .
      
      
   2. tan (A + B) = ¾
      ⇒ $\frac{\mathrm{tan\; A\; +\; tan\; B}}{\mathrm{1 -\; tan\; A\; tan\; B}}\mathrm{=\; ¾ }$
      ⇒ tan A + tan B = ¾  (1 − tan A. tan B)
      Pada soal diketahui tan A tan B = 5, maka :
      ⇒ tan A + tan B = ¾  (1 − 5)
      ⇒ tan A + tan B = 3
      Jadi,  tan A + tan B = 3.

   
   
   
   
3. Jika diketahui tan 10^o = k, buktikan bahwa :
   1. tan 55^o
   2. tan 50^o

   
   Pembahasan :
   

   1. tan 55^o = tan (45^o + 10^o)
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; = }\frac{\mathrm{tan\; 45^o\; +\; tan\; 10 \; ^o}}{\mathrm{1\; -\; tan\; 45^o\; tan\; 10 \; ^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; =}\frac{\mathrm{1\; +\; k\; }}{\mathrm{1\; -\; (1.k)}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; =}\frac{\mathrm{1\; +\; k }}{\mathrm{1\; -\; k}}$
      
      
   2. tan 50^o = tan (60^o − 10^o)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; = }\frac{\mathrm{tan\; 60^o\; -\; tan\; 10 \; ^o}}{\mathrm{1\; +\; tan\; 60^o\; tan\; 10 \; ^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; =}\frac{\mathrm{\surd 3\; -\; k\; }}{\mathrm{1\; +\; (\surd 3.k)}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 15^o\; =}\frac{\mathrm{\surd 3\; -\; k }}{\mathrm{1\; +\; \surd 3k}}$
      
      
   
   
4. Tunjukkan bahwa nilai eksak dari :
   1. tan (-15^o) = (√3 - 2)
   2. tan (105^o) = -(√3 + 2)

   
   Pembahasan :
   

   1. tan (-15^o) = (√3 - 2)
      ⇒ tan (30^o − 45^o) = (√3 - 2)
      ⇒ $\frac{\mathrm{tan\; 30^o\; -\; tan\; 45 \; ^o}}{\mathrm{1\; +\; tan\; 30^o\; tan\; 45 \; ^o}}\mathrm{=\; (\surd 3\; -\; 2)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{⅓\surd 3\; -\; 1\; }}{\mathrm{1\; +\; (⅓\surd 3.1)}}\mathrm{=\; (\surd 3\; -\; 2)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{⅓\surd 3\; -\; 1 }}{\mathrm{1\; +\; ⅓\surd 3}}\mathrm{=\; (\surd 3\; -\; 2)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{⅓\surd 3\; -\; 1 }}{\mathrm{1\; +\; ⅓\surd 3}}\mathrm{.}\frac{\mathrm{(1\; -\; ⅓\surd 3)}}{\mathrm{(1\; -\; ⅓\surd 3)}}\mathrm{=\; (\surd 3\; -\; 2)}$
      ⇒ (√3 − 2) = (√3 − 2)
      Terbukti.
      
      
   2. tan (105^o) = -(√3 + 2)
      ⇒ tan (60^o + 45^o) = -(√3 + 2)
      ⇒ $\frac{\mathrm{tan\; 60^o\; +\; tan\; 45 \; ^o}}{\mathrm{1\; -\; tan\; 30^o\; tan\; 45 \; ^o}}\mathrm{=\; -(\surd 3\; +\; 2)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{\surd 3\; +\; 1\; }}{\mathrm{1\; -\; (\surd 3.1)}}\mathrm{=\; -(\surd 3\; +\; 2)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{\surd 3\; +\; 1 }}{\mathrm{1\; -\; \surd 3}}\mathrm{=\; -(\surd 3\; +\; 2)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{\surd 3\; +\; 1 }}{\mathrm{1\; -\; \surd 3}}\mathrm{.}\frac{\mathrm{(1\; +\; \surd 3)}}{\mathrm{(1\; +\; \surd 3)}}\mathrm{=\; -(\surd 3\; +\; 2)}$
      ⇒ -(√3 − 2) = -(√3 + 2)
      Terbukti.
      
      

   Rumus tan (α ± β)

   

   
   
5. Jika tan α = ½ dan tan β = ⅓ , hitunglah tan (α + β).
   
   
   Pembahasan :
   ⇒ $\mathrm{tan\; (\alpha \; +\; \beta )\; = }\frac{\mathrm{tan\; \alpha \; +\; tan\; \beta }}{\mathrm{1\; -\; tan\; \alpha \; tan\; \beta }}$
   ⇒ $\mathrm{tan\; (\alpha \; +\; \beta )\; =}\frac{\mathrm{½\; +\; ⅓ }}{\mathrm{1\; -\; (½.⅓)}}$
   ⇒ $\mathrm{tan\; (\alpha \; +\; \beta )\; =}\frac{\mathrm{⅚ }}{\mathrm{1\; -\; ⅙}}$
   ⇒ $\mathrm{tan\; (\alpha \; +\; \beta )\; =}\frac{⅚}{⅚}$
   ⇒ tan (α + β) = 1
   Jadi, tan (α + β) = 1.
   
   

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.