SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI TANGEN JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

Posted by on 25 January 2015 - 9:49 PM

Sama halnya seperti nilai perbandingan sinus dan cosinus, kita juga dapat menentukan nilai perbandingan tangen suatu sudut yang tidak diketahui dengan memanfaatkan nilai tangen sudut relasinya. Sesuai dengan identitas trigonometri, pada dasarnya nilai tangen sebuah sudut berhubungan dengan nilai sinus dan cosinusnya.

Oleh karena itu, ketika nilai sinus atau cosinus dari suatu sudut diketahui, maka kita dapat menghitung nilai tangen sudut tersebut. Tak hanya itu, kita juga dapat menghitung nilai tangen suatu sudut yang memiliki relasi dengan sudut yang diketahui.

Sebagai contoh, kita dapat memanfaatkan rumus tan (30o + 45o) atau tan (120o - 45o) untuk menghitung tan 75o. Prinsipnya sama seperti pembahasan sebelumnya, yaitu dengan memanfaatkan identitas trigonometri dan relasi antar sudut. Itu sebabnya akan sangat membantu jika anda telah memahami nilai-nilai trigonometri sudut-sudut berelasi. 

Ketika menemukan soal-soal yang berkaitan dengan rumus tangen, cobalah untuk mengubah bentuk soal menjadi sedemikian rupa mendekati sudut relasinya. Usahakan agar bentuk tersebut diubah ke dalam sudut-sudut istimewa sehingga kita dapat menentukan nilainya.

Biasanya, jika bentuk soal tidak dapat disederhanakan dalam bentuk sudut istimewa, maka kita hanya diminta untuk menyederhanakan bentuk tersebut menjadi sudut relasinya yang paling sederhana tanpa menghitung nilainya.

Kumpulan Soal dan Pembahasan

  1. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, hitunglah nilai eksak dari :
    1. tan 15o
    2. tan 75o

    Pembahasan :
    1. tan 15o = tan (45o − 30o)
      tan 15otan 45o − tan 30  o 1 + tan 45o tan 30  o
      tan 15o = 1 − ⅓√3   1 + (1.⅓√3)
      tan 15o = 1 − ⅓√3   1 + ⅓√3
      ⇒ tan 15o = 2 − √3
      Jadi, tan 15o = 2 − √3.

    2. tan 75o = tan (45o + 30o)
      tan 75otan 45o + tan 30  o 1 − tan 45o tan 30  o
      tan 75o = 1 + ⅓√3   1 − (1.⅓√3)
      tan 75o = 1 + ⅓√3  1 − ⅓√3
      ⇒ tan 75o = 2 + √3
      Jadi, tan 75o = 2 + √3.


  2. Dalam segitiga ABC, diketahui sin C = ⅗ dan tan A tan B = 5. Hitunglah nilai dari :
    1. tan (A + B)
    2. tan A + tan B

    Pembahasan :
    Karena sin C = , maka tan C = ¾.
    Ingat bahwa dalam segitiga, jumlah sudutnya adalah 180o, sehingga diperoleh : C = 180o − (A + B).

    1. tan C = (180o − (A + B))
      tan (180o − (A + B)) = ¾
      ⇒ tan 180o − tan (A  + B ) 1 + tan 180o tan (A  + B) = ¾ 
      Ingat bahwa tan 180o = 0.
      ⇒ - tan (A + B) = ¾
      ⇒ tan (A + B) = -¾
      Jadi, tan (A + B) = -¾ .

    2. tan (A + B) = ¾
      ⇒ tan A + tan B 1 − tan A tan B = ¾ 
      ⇒ tan A + tan B = ¾  (1 − tan A. tan B)
      Pada soal diketahui tan A tan B = 5, maka :
      ⇒ tan A + tan B = ¾  (1 − 5)
      ⇒ tan A + tan B = 3
      Jadi,  tan A + tan B = 3.


  3. Jika diketahui tan 10o = k, buktikan bahwa :
    1. tan 55o
    2. tan 50o

    Pembahasan :
    1. tan 55o = tan (45o + 10o)
      tan 15otan 45o + tan 10  o 1 − tan 45o tan 10  o
      tan 15o = 1 + k   1 − (1.k)
      tan 15o = 1 + k  1 − k

    2. tan 50o = tan (60o − 10o)
      tan 15otan 60o − tan 10  o 1 + tan 60o tan 10  o
      tan 15o = √3 − k   1 + (√3.k)
      tan 15o = √3 − k  1 + √3k


  4. Tunjukkan bahwa nilai eksak dari :
    1. tan (-15o) = (√3 - 2)
    2. tan (105o) = -(√3 + 2)

    Pembahasan :
    1. tan (-15o) = (√3 - 2)
      ⇒ tan (30o − 45o) = (√3 - 2)
      tan 30o − tan 45  o 1 + tan 30o tan 45  o = (√3 − 2)
      ⅓√3 − 1   1 + (⅓√3.1) = (√3 − 2)
      ⅓√3 − 1  1 + ⅓√3 = (√3 − 2)
      ⅓√3 − 1  1 + ⅓√3 .(1 − ⅓√3)(1 − ⅓√3) = (√3 − 2)
      ⇒ (√3 − 2) = (√3 − 2)
      Terbukti.

    2. tan (105o) = -(√3 + 2)
      ⇒ tan (60o + 45o) = -(√3 + 2)
      tan 60o + tan 45  o 1 − tan 30o tan 45  o = -(√3 + 2)
      √3 + 1   1 − (√3.1) = -(√3 + 2)
      √3 + 1  1 − √3 = -(√3 + 2)
      √3 + 1  1 − √3 .(1 + √3)(1 + √3) = -(√3 + 2)
      ⇒ -(√3 − 2) = -(√3 + 2)
      Terbukti.

    Rumus tan (α ± β)

    RUMUS TRIGONOMETRI

  5. Jika tan α = ½ dan tan β = ⅓ , hitunglah tan (α + β).

    Pembahasan :
    tan (α + β) = tan α + tan β 1 − tan α tan β
    tan (α + β) = ½ + ⅓   1 − (½.⅓)
    tan (α + β) = ⅚   1 − ⅙
    tan (α + β) =
    ⇒ tan (α + β) = 1
    Jadi, tan (α + β) = 1.



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment