SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI COSINUS SETENGAH SUDUT

Posted by on 28 January 2015 - 12:23 PM

Pada kesempatan ini kita akan mencoba membahas soal-soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (rumus sin ½α, cos ½α, dan tan ½α). Setelah membahas beberapa soal untuk sinus setengah sudut, kini kita akan membahas beberapa soal tentang sinus setengah sudut. Sama seperti sinus setengah sudut, rumus cosinus setengah sudut juga diturunkan dari rumus cosinus sudut ganda.

Penggunaan rumus cos ½α untuk menentukan nilai trigonometri suatu sudut dapat dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang telah anda pelajari. Setelah membahas rumus sin ½α, cos ½α, dan tan ½α, anda akan melihat dengan jelas hubungan antara sinus, cosinus, dan tangen.
Pada artikel sebelumnya telah dibahas rumus trigonometri sudut rangkap. Jika anda sudah memahami rumus-rumus tersebut khususnya rumus cosinus sudut ganda, maka anda pasti dapat menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus cosinus setengah sudut sebagai berikut :
cos 2α = 2 cos2 α − 1
⇒ 2cos2 α = 1 + cos 2α

cos2 α = 1 + cos 2α 2

cos α = ± 1 + cos 2α 2

Dengan mengganti α menjadi ½α, maka diperoleh :

cos ½α = ± 1 + cos α 2

Keterangan :
Tanda negatif atau positif disesuaikan dengan kuadran sudut sebagai berikut :
⇒ Kuadran I : cosinus positif.
⇒ Kuadran II : cosinus negatif.
⇒ Kuadran III : cosinus negatif.
⇒ Kuadran IV : cosinus positif.

Soal dan Pembahasan

  1. Jika β merupakan sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
    1. cos β dalam sudut 2β
    2. cos ½β

    Pembahasan :
    1. cos β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu cosinus bernilai positif.

      cos β =  1 + cos 2β 2

    2. cos ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu cosinus untuk sudut ½β juga bernilai positif.

      cos ½β =  1 + cos  β 2


  2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
    1. cos α dalam sudut 2α
    2. cos ½α

    Pembahasan :
    1. cos α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu cosinus bernilai negatif.

      cos α = -  1 + cos 2α 2

    2. cos ½α
      Karena sudut α berada di kuadran II, berarti sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu cosinus untuk sudut ½α bernilai positif.  

      cos ½α =  1 + cos α 2


  3. Dengan menggunakan rumus cos ½α, hitunglah nilai dari :
    1. cos π12
    2. cos 112 ½

    Pembahasan :
    1. cos π12 = cos ½(π6)

      cos  π121 + cos  π6 2

      cos  π121 + ½√3 2

      cos  π12 = ½(2 +  √3)

      ⇒ cos π12 = ½ √(2 + √3)


    2. cos 112 12 = cos ½(225o)

      cos 112 12 = - 1 + cos  225o 2

      cos 112 12 = - 1 + (-½√2) 2

      cos 112 12 = -½(2 −  √2)

      ⇒ cos 112 12 = -½ √(2 − √2)


  4. Nyatakan perbandingan trigonometri cos ¾α dalam sudut 1½α.

    Pembahasan :
    cos ¾α = cos ½(32α)

    cos ¾α =  ± 1 + cos  32α 2

    cos ¾α =  ± 1 + cos  1½α 2


  5. Dengan konsep cosinus etengah sudut, tentukan nilai trigonometri berikut :
    1. cos 45o
    2. cos 30o

    Rumus untuk cos ½α

    RUMUS TRIGONOMETRI

    Pembahasan :
    Sudut 45o dan 30o berada di kuadran I jadi nilai cosinusnya positif.
    1. cos 45o = cos ½(90o)
      cos 45o1 + cos 90 o 2

      cos 45o1 + 0 2

      ⇒ cos 45o = 1√2
      ⇒ cos 45o = ½√2.

    2. cos 30o = cos ½(60o)
      cos 30o1 + cos 60o 2

      cos 30o1 + ½ 2

      ⇒ cos 30o = √32
      ⇒ cos 30o = ½√3.



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment