SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI TANGEN SUDUT GANDA

Posted by on 26 January 2015 - 1:24 PM

Setelah membahas tentang trigonometri sudut ganda untuk sinus 2α dan cosinus 2α, sekarang kita akan membahas tentang rumus tan 2α. Sama seperti sinus dan cosinus, rumus tan 2α juga diturunkan dari rumus tangen untuk jumlah dua sudut, tan (α + β). Kita dapat menggunakan rumus tangen sudut rangkap untuk menghitung nilai tangen suatu sudut yang nilainya dua kali sudut istimewa.

Kita juga dapat memanfaatkan rumus tan 2α untuk menyatakan suatu bentuk trigonometri dalam bentuk sudut relasinya. Pada umumnya kita dapat menggunakan rumus tan 2α jika nilai sin atau cos suatu sudut diketahui. Setelah nilai tan α dikethaui maka nilai tan 2α dapat ditentukan dengan mudah.

Untuk mendapatkan rumus tan 2α, maka ingat kembali rumus tan (α + β). Dengan menyamakan β = α, maka rumus jumlah tersebut akan menjadi rumus tan 2α. Berdasarkan rumus tangen jumlah dua sudut, maka diperoleh :
tan 2α = tan α + tan α 1 − tan α tan α
tan 2α = 2 tan α 1 − tan2 α

Soal dan Pembahasan Trigonometri

  1. Dengan menggunakan rumus tan 2α, nyatakan :
    1. tan α dalam bentuk ½α
    2. tan 3α dalam bentuk 32α

    Pembahasan :
    1. tan α = tan 2(½α)
      tan α = tan ½α + tan ½α 1 − tan ½α tan ½α
      tan α = 2 tan ½α 1 − tan2 ½α

    2. tan 3α = tan 2 (32α)
      tan 3α = tan 32α + tan 32α 1 − tan 32α tan 32α
      tan 3α = 2 tan 32α 1 − tan2 32α


  2. Jika diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos  β = ⅘, maka tentukanlah nilai :
    1. tan 2α
    2. tan 2β

    Pembahasan :
    Karena sin α = cos  β = ⅘, maka :
    ⇒ tan α = 43
    ⇒ tan β = 34

    1. tan 2α = tan (α + α)
      tan 2α = 2 tan α 1 − tan2α
      tan 2α = 2 (43) 1 − (43)2
      tan 2α =  83 1 −  169
      ⇒ tan 2α = -247

    2. tan 2β = tan (β + β)
      tan 2β = 2 tan β 1 − tan2β
      tan 2β = 2 (34) 1 − (34)2
      tan 2β =  32 1 −  916
      ⇒ tan 2β = 247


  3. Dengan konsep tan 2α, buktikan bahwa :
    1. tan 60o = √3
    2. tan 120o = -√3

    Pembahasan :
    1. tan 60o = √3
      tan 60o = 2 tan 30o 1 − tan230o
      tan 60o = 2 (⅓√3) 1 − (⅓√3)2
      tan 60o ⅔√3 1 −  ⅓
      tan 60o ⅔√3
      ⇒ tan 60o = √3
      (Terbukti).

    2. tan 120o = -√3
      tan 60o = 2 tan 60o 1 − tan260o
      tan 60o = 2 (√3) 1 − (√3)2
      tan 60o 2√3 1 − 3
      tan 60o 2√3 -2
      ⇒ tan 60o = -√3
      (Terbukti).


  4. Tanpa menggunakan tabel triogonometri atau kalkulator, hitunglah nilai :
    1. 2 tan  π8 1 − tan2 π8

    2. 4 tan  π12 1 − tan2 π12

    Pembahasan :

    Rumus untuk tan 2α

    RUMUS TRIGONOMETRI

    1. 2 tan  π8 1 − tan2 π8 = tan 2( π8)
      2 tan  π8 1 − tan2 π8 = tan  π4
      2 tan  π8 1 − tan2 π8 = tan 45o
      2 tan  π8 1 − tan2 π8 = 1

    2. 4 tan  π12 1 − tan2 π12 = 2 tan 2( π12)
      4 tan  π12 1 − tan2 π12 = 2 tan  π6
      4 tan  π12 1 − tan2 π12 = 2 tan 30o
      4 tan  π8 1 − tan2 π8 = ⅔√3



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment