SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI TANGEN SETENGAH SUDUT

Posted by on 28 January 2015 - 6:38 PM

Pada kesempatan ini kita akan mencoba membahas soal-soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (rumus sin ½α, cos ½α, dan tan ½α). Sebelumnya telah dibahas beberapa soal untuk sinus dan cosinus setengah sudut. Sekarang kita akan membahas beberapa soal tentang tangen setengah sudut.


Seperti yang disampaikan sebelumnya, pada rumus tangen setengah sudut kita akan melihat dengan jelas hubungan antara sinus, cosinus, dan tangen. Rumus tangen setengah sudut diturunkan dari rumus sinus dan cosinus setengah sudut.

Penggunaan rumus tan ½α untuk menentukan nilai trigonometri suatu sudut dapat dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang telah anda pelajari. Karena tangen merupakan perbandingan antara sinus dan cosinus, maka anda dapat memanfaatkan nilai sinus atau cosinus yang diketahui untuk menghitung nilai tangen.

Rumus untuk tan ½α

rumus trigonometri
Pada artikel sebelumnya telah dibahas rumus trigonometri untuk sinus dan cosinus setengah sudut. Berdasarkan identitas trigonometri, maka kita dapat menurunkan rumus-rumus tersebut menjadi rumus tangen setengah sudut sebagai berikut :

tan α = sin α cos α

tan ½α = sin ½α cos ½α

tan ½α = ± 1 − cos α 1 + cos α

Jadi, rumus untuk tan ½α adalah :

tan ½α = ± 1 − cos α 1 + cos α

Keterangan :
Tanda negatif atau positif disesuaikan dengan kuadran sudut sebagai berikut :
⇒ Kuadran I : tangen positif.
⇒ Kuadran II : tangen negatif.
⇒ Kuadran III : tangen positif.
⇒ Kuadran IV : tangen negatif.

Soal dan Pembahasan

  1. Jika β merupakan sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
    1. tan β dalam sudut 2β
    2. tan ½β

    Pembahasan :
    1. tan β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu tangen bernilai positif.

      tan β =  1 − cos 2β 1 + cos 2β

    2. tan ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu tangen untuk sudut ½β juga bernilai positif.

      tan ½β =  1 − cos β 1 + cos β


  2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
    1. tan α dalam sudut 2α
    2. tan ½α

    Pembahasan :
    1. tan α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu tangen bernilai negatif.

      tan α = -  1 − cos 2α 1 + cos 2α

    2. tan ½α
      Karena sudut α berada di kuadran II, berarti sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu tangen untuk sudut ½α bernilai positif.  

      tan ½α =  1 − cos α 1 + cos α


  3. Dengan menggunakan rumus tan ½α, hitunglah nilai dari :
    1. tan π12
    2. tan 112 ½

    Pembahasan :
    1. tan π12 = tan ½(π6)

      tan  π121 − cos  π6 1 + cos  π6

      tan  π121 − ½√3 1 + ½√3

      tan  π122 −  √3 2 +  √3



    2. tan 112 12 = tan ½(225o)

      tan 112 12 = - 1 − cos  225o 1 − cos  225o

      tan 112 12 = - 1 − (-½√2) 1 + (-½√2)

      tan 112 12 = - 2 +  √2 2 −  √2



  4. Nyatakan perbandingan trigonometri tan ¾α dalam sudut 1½α.

    Pembahasan :
    tan ¾α = tan ½(32α)

    tan ¾α =  ± 1 − cos  32α 1 + cos  32α

    tan ¾α =  ± 1 − cos  1½α 1 + cos  1½α


  5. Dengan konsep tangen setengah sudut, tentukan nilai trigonometri berikut :
    1. tan 45o
    2. tan 30o

    Pembahasan :
    Sudut 45o dan 30o berada di kuadran I jadi nilai tangennya positif.
    1. tan 45o = tan ½(90o)
      tan 45o1 − cos 90o 1 + cos 90o

      tan 45o1 − 0 1 + 0

      ⇒ cos 45o = 1

    2. tan 30o = tan ½(60o)
      tan 30o1 − cos 60o 1 − cos 60o

      tan 30o1 − ½ 1 + ½

      ⇒ tan 30o = √3.



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment