PEMBAHASAN SOAL UJIAN NASIONAL LIMIT FUNGSI

Posted by on 25 April 2015 - 11:58 AM

Setiap tahun setidaknya terdapat satu soal tentang limit fungsi pada lembar ujian nasional untuk bidang studi matematika. Biasanya letak soal limit berdekatan dengan integral dan turunan. Untuk mengerjakan soal limit, sebaiknya kita memeriksa terlebih dahulu apakah soal tersebut dapat dikerjakan dengan metode substitusi atau tidak.

Jika bisa, maka kita gunakan saja metode substitusi. Jika tidak bisa, maka kita gunakan metode lain yang sesuai dengan bentuk soal misalnya metode pemfaktoran, dalil L'Hospital, atau metode perkalian sekawan. Berikut beberapa soal UN dari beberapa tahun belakangan.

Kumpulan Soal :
  1. Nilai dari limit di bawah ini adalah ...
    lim
    x → 2
    x3 − 4x
    x − 2
    A. 32      D. 4
    B. 16     E. 2
    C. 8

    Pembahasan : 
    Jika kita gunakan metode substitusi maka hasilnya adalah 0/0, sehingga kita harus menggunakan metode lain. Untuk soal ini kita dapat gunakan metode pemfaktoran sebagai berikut :
    lim
    x → 2
    x3 − 4x = lim
    x → 2
    x(x + 2)(x − 2)
    x − 2  (x − 2)
    lim
    x → 2
    x3 − 4x = lim
    x → 2
    x(x + 2)
    x − 2  1
    lim
    x → 2
    x3 − 4x = 2(2 + 2)
    x − 2   1
    lim
    x → 2
    x3 − 4x = 8
    x − 2
    Jawaban : C.


  2. Nilai dari limit di bawah ini adalah ....
    lim
    x → 3
    x2 − x − 6
    4 − √5x + 1
    A. -8C. 6E. ∞
    B. -6D. 8

    Pembahasan : 
    Dari bentuk fungsinya sudah terlihat bahwa kita dapat menggunakan metode perkalian sekawan. Untuk mempermudah penulisan, maka kita misalkan :
      x2 − x − 6 = f(x)
    4 − √5x + 1

    Dengan metode perkalian sekawan diperoleh :
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
     x2 − x − 6 . 4 + √5x + 1
    4 − √5x + 1 4 + √5x + 1
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
    x2 − x − 64 (4 + √5x + 1)
    16 − (5x + 1)
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
    (x − 3)(x + 2)(4 + √5x + 1)
    15 − 5x
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
    (x − 3)(x + 2)(4 + √5x + 1)
    -5 (x − 3)
    lim
    x → 3
    f(x) = (3 + 2)(4 + √5.3 + 1)
    -5
    lim
    x → 3
    f(x) = 5(8)
    -5 
    lim
    x → 3
    f(x) = 40
    -5
    lim
    x → 3
    f(x) = -8
    Jawaban : A.


  3. Nilai dari limit fungsi di bawah ini adalah ....
    lim
    x → 0
    1 − cos 2x
    x tan (½x)
    A. -4 C. 1E. 4
    B. -2D. 2

    Pembahasan : 
    Jika kita gunakan metode substitusi maka hasilnya adalah 0/0, sehingga kita harus mengubah bentuk fungsi menjadi bentuk lain yang mendekati sifat-sifat limit trigonometri. Untuk mempermudah penulisan kita misalkan :
    1 − cos 2x = f(x)
    x tan (½x)

    Dengan mengubah bentuk fungsinya, maka diperoleh :
    lim
    x → 0
    f(x) = lim
    x → 0
     1 − (1 − 2 sin2 x)
    x tan (½x)
    lim
    x → 0
    f(x) = lim
    x → 0
      2 sin2 x
    x tan (½x)
    lim
    x → 0
    f(x) = lim
    x → 0
    2 sin x .    sin x
    tan (½x)
    lim
    x → 0
    f(x) = 2 (1) . 1
    (1)  ½
    lim
    x → 0
    f(x) = 2(1)(2) = 4
    Jawaban : E.


  4. Nilai dari limit fungsi di bawah ini adalah ....
    lim
    x → π4
    cos 2x
    cos x − sin x
    A. 0 C. 1E. ∞
    B. ½√2D. √2

    Pembahasan : 
    Jika kita gunakan metode substitusi maka hasilnya adalah 0/0, sehingga kita harus menggunakan metode lain. Untuk soal ini kita dapat gunakan dalil L'Hospital (differensial) sebagai berikut :
    lim
    x → π4
        cos 2x = lim
    x → π4
    -2 sin 2x
    cos x − sin x -sin x − cos x
    lim
    x → π4
        cos 2x = -2.sin 2(π4)
    cos x − sin x  -sin (π4) − cos (π4)
    lim
    x → π4
        cos 2x = -2(1)
    cos x − sin x -½√2 − ½√2
    lim
    x → π4
        cos 2x = -2
    cos x − sin x -√2 
    lim
    x → π4
        cos 2x = √2
    cos x − sin x
    Jawaban : D.


  5. Nilai dari limit fungsi di bawah ini adalah ....
    lim
    x → 3
    x2 − 9
    10 + 2x − (x + 1)
    A. -8C. 4E. 8
    B. -6D. 6

    Pembahasan : 
    Dari bentuk fungsinya sudah terlihat bahwa kita dapat menggunakan metode perkalian sekawan maupun dalil L'Hospital. Untuk mempermudah penulisan, maka kita misalkan :
              x2 − 9 = f(x)
    10 + 2x − (x + 1)

    Dengan metode perkalian sekawan diperoleh :
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
               x2 − 9 . 10 + 2x + (x + 1)
    10 + 2x − (x + 1) 10 + 2x + (x + 1)
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
    (x2 − 9) (√10 + 2x + (x + 1))
    (10 + 2x) − (x2 + 2x + 1)
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
    (x2 − 9) (√10 + 2x + (x + 1))
    (x2 − 9)
    lim
    x → 3
    f(x) = lim
    x → 3
    10 + 2x + (x + 1)
    -1
    lim
    x → 3
    f(x) = 10 + 2.3 + (3 + 1)
    -1
    lim
    x → 3
    f(x) = 16 + 4
    -1 
    lim
    x → 3
    f(x) = 8
    -1
    lim
    x → 3
    f(x) = -8
    Jawaban : A.



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment