SOAL DAN PEMBAHASAN INTEGRAL METODE SUBSTITUSI

Metode substitusi merupakan metode penyelesaian integral dengan mengubah bentuk fungsi menjadi lebih sederhana dalam bentuk variabel tertentu yang saling berhubungan dan ditandai dengan adanya pemisalan. Metode substitusi digunakan karena tidak semua fungsi dapat diintegralkan dengan rumus dasar atau metode anti turunan sesuai dengan defenisinya. Walaupun tidak semua soal dapat diselesaikan dengan metode substitusi, tetapi adanya teknik ini sangat membantu menyelesaikan soal-soal trigonometri yang cukup rumit.

Berikut proses mengintegralkan fungsi dengan metode substitusi :

1. Misalkan salah satu fungsi sebagai u.
2. Turunkan fungsi u terhadap x 
3. Bentuk hubungan keduanya (a dx = n du)
4. Substitusi fungsi pemisalan ke bentuk integral awal
5. Setelah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke bentuk awalnya.

Contoh Soal :

1. Tentukan hasil dari ∫ x√x² + 1 dx
   
   Pembahasan :
   Perhatikan bentuk ∫ x√x² + 1 dx, kita dapat mengubahnya menjadi ∫ √x² + 1 x dx. Sekarang ada dua bagian yaitu √x² + 1 dan x dx.
   
   Misalkan : u = x² + 1
   

   du	= 2x
   dx

   2x dx = du
   

   x dx	=	1	du
   		2

   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ √x² + 1 x dx = ∫ √u ½du
   ∫ √x² + 1 x dx = ∫ ½√u du
   ∫ √x² + 1 x dx = ∫ ½(u)^½ du
   

   ∫	√x2 + 1 x dx	=	½	u½+1	+ c
   			½ + 1

   ∫	√x2 + 1 x dx	=	½	u3⁄2	+ c
   			3⁄2

   ∫	√x2 + 1 x dx	=	1	u3⁄2	+ c
   			3

   
   Selanjutnya kembalikan u ke bentuk awalnya :
   

   ∫	x √x2 + 1 dx	=	1	(x2 + 1)3⁄2	+ c
   			3

   
   
   
   
2. Tentukan hasil dari ∫ (2x − 1) (x² − x + 3)³ dx.
   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = x² − x + 3
   

   du	= 2x − 1
   dx

   (2x −  1) dx = du
   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ (2x − 1)(x² − x + 3)³ dx = ∫ u³ du

   ∫	(2x − 1)(x2 − x + 3)3 dx	=	1	u4	+ c
   			4

   ∫	(2x − 1)(x2 − x + 3)3 dx	=	1	(x2 − x + 3)4	+ c
   			4

   
   
   
   
3. Tentukan hasil integral di bawah ini :

   ∫	2x + 3	dx
   	√3x2 + 9x − 1

   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = 3x² + 9x − 1
   

   du	= 6x + 9
   dx

   (6x + 9) dx = du
   3(2x + 3) dx = du 
   

   (2x + 3) dx	=	1	du
   		3

   
   Substitusi u ke dalam  integral :
   

   ∫	2x + 3	dx =	∫	⅓du
   	√3x2 + 9x − 1			u½

   ∫	2x + 3	dx =	∫	1	u-½	du
   	√3x2 + 9x − 1			3

   ∫	2x + 3	dx =	⅓	u½	+ c
   	√3x2 + 9x − 1		½

   ∫	2x + 3	dx =	2	u½	+ c
   	√3x2 + 9x − 1		3

   ∫	2x + 3	dx =	2	(3x2 + 9x − 1)½	+ c
   	√3x2 + 9x − 1		3

   
   
   
   
4. Tentukan hasil dari  ∫ 4x³ (x⁴ − 1)³ dx.
   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = x⁴ − 1
   

   du	= 4x3
   dx

   4x³ dx = du
   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ 4x³ (x⁴ − 1)³ dx = ∫ u³ du
   

   ∫	4x3 (x4 − 1)3 dx	=	1	u4	+ c
   			4

   ∫	4x3 (x4 − 1)3 dx	=	1	(x4 − 1)4	+ c
   			4

   
   
   
   
5. Tentukan hasil dari  ∫ 12x (x² + 1)² dx.
   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = x² + 1
   

   du	= 2x
   dx

   2x dx = du
   12x dx = 6 du
   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ 12x (x² + 1)² dx = ∫ u² 6du
   

   ∫	12x (x2 + 1)2 dx	=	6	u3	+ c
   			3

   ∫	12x (x2 + 1)2 dx	= 2 u3 + c

   ∫	12x (x2 + 1)2 dx	= 2(x2 + 1)3 + c

   
   

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.