SOAL DAN PEMBAHASAN INTEGRAL TRIGONOMETRI

Posted by on 22 April 2015 - 9:25 AM

Integral trigonometri merupakan perpaduan yang cukup rumit, yaitu menentukan nilai integral dari suatu fungsi trigonometri. Pemahaman kita tentang turunan fungsi trigonometri akan sangat membantu. Seperti yang telah dibahas pada artikel sebelumnya bahwa integral dan turunan merupakan topik yang saling berhubungan. Integral dari suatu turunan fungsi merupakan fungsi awal sebelum diturunkan. Dengan begitu kita dapat menggunakan konsep turunan sebagai acuan untuk mengoreksi hasil perhitungan kita dalam mengerjakan soal-soal integral. Jika hasil integral diturunkan dan menghasilkan fungsi sebelum diintegralkan, maka jawaban kita sudah tepat.

Di bawah ini disajikan tabel rumus turunan trigonometri dan integral trigonometri sebagai perbandingan. Perhatikan rumus tersebut dan amati hubungannya. Integral membalikkan turunan ke fungsi awal.
Fungsi AwalTurunan dan Integral
f(x) = sin xf '(x) = cos x
∫ cos x dx = sin x + c
f(x) = cos xf '(x) = -sin x
∫ sin x dx = -cos x + c
f(x) = tan xf '(x) = sec2 x
∫ sec2 x dx = tan x + c
f(x) = cotan xf '(x) = -cosec2 x
∫ cosec2 x dx = -cotan x + c
f(x) = sec xf '(x) = sec x. tan x
∫ sec x tan x dx = sec x + c
f(x) = cosec xf '(x) = -cosec x. cotan x
∫ cosec x. cotan x dx = -cosec x + c


Contoh Soal :
  1. Tentukan hasil dari ∫ sin 4x dx.

    Pembahasan :
    sin ax dx = -1 cos ax + c
     a
    sin 4x dx = -1 cos 4x + c
     4


  2. Tentukan hasil dari ∫ cos 6x dx.

    Pembahasan :
    cos ax dx = 1 sin ax + c
    a
    cos 6x dx = 1 sin 6x + c
    6


  3. Tentukan hasil dari ∫ (2 sin 4x + 3 cos 6x) dx.

    Pembahasan :
    sin ax dx = -1 cos ax + c
     a
    (2 sin 4x + 3 cos 6x) dx = -2 cos 4x + 3 sin 6x + c
    4 6
    (2 sin 4x + 3 cos 6x) dx = -1 cos 4x + 1 sin 6x + c
    2 2


  4. Tentukan hasil dari ∫ (sin 3x + cos x) dx

    Pembahasan :
    sin ax dx = -1 cos ax + c
     a
    (sin 3x + cos x) dx = -1 sin 3x + c
    3


  5. Tentukan hasil dari ∫ 2 sin 7x cos 3x dx.

    Pembahasan :
    Ingat kembali rumus trigonometri :
    2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a − b)
    ⇒ 2 sin 7x cos 3x = sin (7x + 3x) + sin (7x − 3x)
    ⇒ 2 sin 7x cos 3x = sin 10x + sin 4x

    Maka diperoleh :
    sin ax dx = -1 cos ax + c
     a
    (sin 10x + sin 4x) dx = -1 cos 10x + -1 sin 4x + c
    10 4
    (sin 10x + sin 4x) dx = -1 cos 10x − 1 sin 4x + c
    10 4



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

10 comments :

  1. ka kalo soalnya f(x) = cos^4 x - sin^4 x maka f'(x) =...

    ReplyDelete
  2. Replies
    1. f '(x) = (-4 cos^3 x.sin x) - (4 sin^3 x.cos x)
      f '(x) = -4 cos^3 x sin x - 4 sin^3 x.cos x.

      Itu pakaian aturan rantai. Kalau bingung coba lihat di artikel aturan rantai turunan, manatau dari situ ngerti.

      Delete
    2. masih bisa disederhanain :
      f '(x) = -4 cos^3 x sin x - 4 sin^3 x.cos x.
      f '(x) = -4 (cos^3 x sin x + sin^3 x.cos x)
      f '(x) = -4 sin x cos x (cos^2 x + sin^2 x)
      f '(x) = -4 sin x cos x (1)
      f '(x) = -4 sin x cos x

      Delete
    3. maaf sebelumnya ka, tp saya dapat dari buku SBMPTN Master Eduka dengan penjabaran sbb: f(x)= cos^4x -sin^4 =====> f(x)=(cos^2x-sin^2x)(cos^2x+sin^2x) ========> f(x)=cos2x jadi f'(x)=-2sin2x apa itu bisa dibetulkan denhan cara seperti itu ka...? Thanks ka sudah membantu dengan jawaban diatas

      Delete
    4. sekalian juga saya mau tau kualitas buku ini,banyak yang janggal menurut saya tentang penjabarannya setelah membaca artikel ini (bukan bermaksd membandingkan ka) Thanks mohon di balas ya ka..

      Delete
    5. Oh iya itu aja kok Dan, begini : Ingat lagi rumus trigonometri penjumahan :
      sin2x = 2 sin x cos x.

      kan jawaban saya seblumnya
      f '(x) = -4 sin x cos x
      f '(x) = -2 (2 sin x cos x)
      f '(x) = -2 sin2x

      atau sebaliknya, cara di buku kamu itu :
      f '(x) = -2 sin2x
      f '(x) = -2 (2 sin x cos x)
      f '(x) = -4 sin x.cos x.

      Jadi sebenernya sama aja Dan, tapi kalau pilihan berganda kan ya harus disesuaikan sama opsi nya.

      Delete
    6. Itulah asiknya belajar mate, 1 soal banyak cara. Makanya harus rajin baca buku biar makin banyak model soal dan cara ngerjainnya. Biasanya beda buku beda cara penyelesaiannya karena dalam mate banyak sekali konsep yg bisa digunakan. Buku itu pas kok, cuma caranya aja yang beda. Biar gak ragu, coba aja pake pemisalan :
      misalin aja x = 30 derajat.
      -2 sin 2x = -4 sinx.cos x
      -2 sin 2(30) = -4 sin 30 cos 30
      -2 sin 60 = -4 sin 30 cos 30
      -2 1/2 akar3 = -4 (1/2) (1/2 akar3)
      -akar3 = -akar3.
      Sama kan? :)

      Delete
  3. Penyelesaian integral rangkap trigonometri gimana? Mohon penjelasannya

    ReplyDelete
    Replies
    1. Integral rangkap itu prinsipnya diintegralkan dua kali dimulai dari bagian dalam

      misal : ∫ ∫ f(x,y) dx dy = ∫ {∫ f(x,y) dx} dy

      Jadi integralkan dulu terhdapa dx baru integralkan lagi terhadap y.

      Contoh :
      ∫ ∫ x cos y dx dy = ....

      Integralkan dulu terhadap dx :
      ∫ x cos y dx = 1/2 x^2 cos y + c1

      Kemudian integralkan hasil di atas terhadap dy ;
      ∫ ∫ x cos y dx dy = ∫ (1/2 x^2 cos y + c1) dy
      = 1/2 x^2 sin y + yc1 + c2

      Delete