CONTOH SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Posted by on 19 May 2015 - 11:15 AM

  1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0 yang tegak lurus dengan garis y = 4 - x adalah .....
    A. y = x − 5
    B. y = x + 5
    C. y = 2x − 5
    D. y = 2x + 5
    E. 2y = x − 5

    Pembahasan :
    Ada beberapa metode yang dapat kita gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan metode tersebut bergantung pada persamaan dan titik yang diketahui. Untuk (x − a)2 + (y − b)2 = r2 dan bergradien m, maka persamaan garis singgungnya adalah :

    y  − b = m(x − a) ± r √1 + m2

    Kita dapat mengubah persamaan lingkaran di atas menjadi bentuk umum persamaan lingkaran yang pusatnya berada di titik P(a,b) dan berjari-jari r, yaitu :
    ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2

    Sekarang perhatikan persamaan lingkaran pada soal.
    ⇒ x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0
    Dik : a = 22 = 1; b = -42 = -2 dan c = 3.

    Tentukan pusat lingkaran :
    ⇒ P = (-a, -b)
    ⇒ P = (-1, -(-2))
    ⇒ P = (-1,2)

    Tentukan jari-jari lingkaran :
    ⇒ r = √(-a)2 + (-b)2 − c
    ⇒ r = √(-1)2 + (2)2 − (3)
    ⇒ r = √1 + 4 - 3
    ⇒ r = √2

    Jadi bentuk lain dari x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0 yang berpusat di (-1,2) adalah :
    ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
    ⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = √22
    ⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2

    Sekarang lihat persamaan garis pada soal.
    ⇒ y = 4 - x
    ⇒ gradien, m1 = -1

    Ingat jika ada dua garis yang saling tegak lurus, maka hasil kali gradien kedua garis itu adalah -1. Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis y = 4 - x, maka gradien garis singgung tersebut adalah :
    ⇒ m1.m2 = -1
    ⇒ m2 = -1/m1
    ⇒ m2 = -1-1
    ⇒ m2 = 1.

    Sekarang ingat tadi P(a,b) = (-1,2), dan gradien m = 1.
    Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
    ⇒ y  − b = m(x − a) ± r √1 + m2
    ⇒ y  − 2 = 1(x + 1) ± √2.√1 + 1
    ⇒ y  − 2 = x + 1 ± 2
    Uraikan tanda plus minusnya.
    ⇒ y  − 2 = x + 1 + 2
    ⇒ y  − 2 = x + 3
    ⇒ y = x + 5
    Atau :
    ⇒ y  − 2 = x + 1 − 2
    ⇒ y  − 2 = x − 1
    ⇒ y = x + 1
    Jawaban : B

  2. Jika lingkaran (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2 memotong garis y = 2, maka persamaan garis singgung di titik potong lingkaran dan garis y = 2 adalah ....
    A. x + y − 5 = 0 D. x + y + 1 = 0
    B. x + y + 5 = 0 E. x + y − 1 = 0
    C. x − y + 5 = 0

    Pembahasan :
    Substitusi nilai y = 2 ke persamaan lingkaran untuk menentukan titik potong.
    ⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
    ⇒ (x − 2)2 + (2 − 1)2 = 2
    ⇒ (x − 2)2 + 1 = 2
    ⇒ (x − 2)2 = 1
    ⇒ x = 3 atau x = 1
    Jadi titik potongnya adalah (3,2) dan (1,2).

    Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk umum x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, sebagai berikut :
    ⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
    ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2
    ⇒ x2 + y2 − 4x − 2y + 3 = 0
    Dik : a = ½(-4) = -2, b = ½(-2) = -1, c = 3

    Persamaan garis singgung lingkaran untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 dapat ditentukan dengan rumus :

    x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

    Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
    Untuk titik (3,2)
    ⇒ 3x + 2y + (-2)(3 + x) + (-1)(2 + y) + 3 = 0
    ⇒ 3x + 2y − 6 − 2x − 2 − y + 3 = 0
    ⇒ x + y − 5 = 0

    Untuk titik (1,2)
    ⇒ x + 2y + (-2)(1 + x) + (-1)(2 + y) + 3 = 0
    ⇒ x + 2y − 2 − 2x − 2 − y + 3 = 0
    ⇒ -x + y − 1 = 0
    ⇒ x − y + 1 = 0 
    Jawaban : A

  3. Diketahui suatu lingkaran dengan pusat berada pada kurva y = √x dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik O adalah ....
    A. y = -xD. y = -2x√a
    B. y = -x√aE. y = -2ax
    C. y = -ax

    Pembahasan :
    Karena absis pusat adalah a dan sumbu y = √x, maka P(a,√a).
    Jari-jari lingkaran :
    ⇒ r = √x2 + y2
    ⇒ r = √a2 + (a)2
    ⇒ r = √a2 + a

    Persamaan umum lingkaran :
    ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
    ⇒ (x − a)2 + (y − √a)2 = (√a2 + a)2

    Persamaan garis singgungnya dapat dihitung dengan rumus :

    (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

    Berdasarkan rumus di atas :
    Telah kita peroleh a = a, b = √a
    ⇒ (x1 − a)(x − a) + (y1 − √a)(y − √a) = a2 + a
    Karena melalui titik (0,0) maka x1 = 0, y1 = 0.
    ⇒ (0 − a)(x − a) + (0 − √a)(y − √a) = a2 + a
    ⇒ -ax +  a2 − √a y + a = a2 + a
    ⇒ -ax − √a y = 0 ⇒ -√ay = ax
    ⇒ y = ax-√a x = -x√a
    Jawaban : B



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment