MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Posted by on 26 May 2015 - 5:15 PM

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dapat diselesaikan dengan cara mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah nilai x yang jika disubstitusi ke persamaan akan menghasilkan nilai sama dengan nol. Nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ada tiga metode yang umum digunakan, yaitu metode pemfaktoran, metode melengkapi kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus kuadrat atau yang lebih dikenal sebagai rumus abc.

Pada kesempatan ini kita akan membahas cara menentukan akar-akar persamaan kuadart dengan metode pemfaktoran .

Metode Pemfaktoran 

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan metode pemfaktoran, maka persamaan kuadratnya difaktorkan terlebih dahulu. Bentuk pemfaktoran yang umum adalah sebagai berikut :

PemfaktoranKeterangan
(ax + p)(ax + q) = 0
a
p + q = b
p x q = ac

Perlu diingat bahwa p dan q pada rumus di atas bukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat melainkan dua angka yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b dan jika dikalikan hasilnya sama dengan ac. Jika koefisien a bernilai 1, maka bentuk persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi :

PemfaktoranKeterangan
(x + p)(x + q) = 0p + q = b
p x q = c

Untuk terbiasa menggunakan metode ini, maka kita harus fokus pada koefisien a, b, dan c dalam persamaan tersebut. Fikirkan dua angka yang jika dijumlahkan hasilnya b jika dikalikan hasilnya ac. Meskipun tidak semua bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan metode ini, tapi metode ini cukup membantu karena lebih ringkas daripada menggunakan rumus abc. Tentu saja itu tergantung pada seberapa cepat kita mampu menentukan nilai p dan q pada rumus tersebut.

Contoh Soal :
Dengan cara memfaktorkan, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan kuadrat berikut ini :
a. x2 − 5x + 6 = 0f. 4x2 − 12x + 9 = 0
b. x2 + 7x + 12 = 0g. 2x2 − x − 1 = 0
c. x2 − 5x − 6 = 0h. 3x2 + x − 2 = 0
d. x2 + 9x + 14 = 0 i. 2x2 + 24x + 40 = 0
e. x2 + x − 6 = 0j. 3x2 + 22x − 16 = 0

Pembahasan :
  1. x2 − 5x + 6 = 0
    Dik : a = 1, b = -5, c = 6, ac = 6

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan 6 antara lain : (1 dan 6), (-1 dan -6), (2 dan 3), dan (-2 dan -3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -5 jika dijumlahkan adalah -2 dan -3. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = -3.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + (-2))(x + (-3)) = 0
    ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0
    ⇒ x = 2 atau x = 3
    Jadi, akar dari x2 − 5x + 6 = 0 adalah 2 atau 3.

  2. x2 + 7x + 12 = 0
    Dik : a = 1, b = 7, c = 12, ac = 12

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan 12 antara lain : (1 dan 12), (-1 dan -12), (2 dan 6), dan (-2 dan -6), (3 dan 4), dan (-3 dan -4). Dari keenam pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 7 jika dijumlahkan adalah 3 dan 4. Dengan demikian kita peroleh p = 3 dan q = 4.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + 3)(x + 4) = 0
    ⇒ x = -3 atau x = -4
    Jadi, akar dari x2 + 7x + 12 = 0 adalah -3 atau -4.

  3. x2 − 5x − 6 = 0
    Dik : a = 1, b = -5, c = -6, ac = -6

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan -6 antara lain : (-1 dan 6), (1 dan -6), (2 dan -3), dan (-2 dan 3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -5 jika dijumlahkan adalah -6 dan 1. Dengan demikian kita peroleh p = -6 dan q = 1.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + (-6))(x + 1) = 0
    ⇒ (x − 6)(x + 1) = 0
    ⇒ x = 6 atau x = -1
    Jadi, akar dari x2 − 5x − 6 = 0 adalah -1 atau 6.

  4. x2 + 9x + 14 = 0
    Dik : a = 1, b = 9, c = 14, ac = 14

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan 14 antara lain : (1 dan 14), (-1 dan -14), (2 dan 7), dan (-2 dan -7). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 9 jika dijumlahkan adalah 2 dan 7. Dengan demikian kita peroleh p = 2 dan q = 7.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + 2)(x + 7) = 0
    ⇒ x = -2 atau x = -7
    Jadi, akar dari x2 + 9x + 14 = 0 adalah -2 atau -7.

  5. x2 + x − 6 = 0
    Dik : a = 1, b = 1, c = -6, ac = -6

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan -6 antara lain : (1 dan -6), (-1 dan 6), (2 dan -3), dan (-2 dan 3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 1 jika dijumlahkan adalah -2 dan 3. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 3.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0
    ⇒ x = 2 atau x = -3
    Jadi, akar dari x2 + x − 6 = 0 adalah -3 atau 2.

  6. 4x2 − 12x + 9 = 0
    Dik : a = 4, b = -12, c = 9, ac = 36

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan 36 antara lain : (9 dan 4), (-9 dan -4), (6 dan 6), dan (-6 dan -6) dan beberapa yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -12 jika dijumlahkan adalah -6 dan -6. Dengan demikian kita peroleh p = -6 dan q = -6.

    Berdasarkan rumus :
    (ax + p)(ax + q) = 0
    a
    (4x − 6)(4x − 6) = 0
    4
    2(2x − 3).2(2x − 3) = 0
    4
    4 (2x − 3)(2x − 3) = 0
    4
    ⇒ (2x − 3)(2x − 3) = 0
    ⇒ (2x − 3)2 = 0
    ⇒ x = 32
    Jadi, akar dari 4x2 − 12x + 9 = 0 adalah 32.

  7. 2x2 − x − 1 = 0
    Dik : a = 2, b = -1, c = -1, ac = -2

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan -2 antara lain : (1 dan -2) dan (-1 dan 2). Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -1 jika dijumlahkan adalah 1 dan -2. Dengan demikian kita peroleh p = 1 dan q = -2.

    Berdasarkan rumus :
    (ax + p)(ax + q) = 0
    a
    (2x + 1)(2x − 2) = 0
    2
    (2x + 1). 2(x − 1) = 0
    2
    2 (2x + 1)(x − 1) = 0
    2
    ⇒ (2x + 1)(x − 1) = 0
    ⇒ x = -½  atau x = 1. 
    Jadi, akar dari 2x2 − x − 1 = 0 adalah -½ atau 1.

  8. 3x2 + x − 2 = 0
    Dik : a = 3, b = 1, c = -2, ac = -6

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan -6 antara lain : (1 dan -6), (-1 dan 6), (2 dan -3) dan (-2 dan 3). Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 1 jika dijumlahkan adalah -2 dan 3. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 3.

    Berdasarkan rumus :
    (ax + p)(ax + q) = 0
    a
    (3x − 2)(3x + 3) = 0
    3
    (3x − 2). 3(x +1) = 0
    3
    ⇒ (3x − 2)(x + 1) = 0
    ⇒ x = 23  atau x = -1. 
    Jadi, akar dari 3x2 + x − 2 = 0 adalah 23 atau -1.

  9. 3x2 − 2x − 8 = 0
    Dik : a = 3, b = -2, c = -8, ac = -24

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan -16 antara lain : (3 dan -8), (-3 dan 8), (4 dan -6) dan (-4 dan 6) dan beberapa yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -2 jika dijumlahkan adalah 4 dan -6. Dengan demikian kita peroleh p = 4 dan q = -6.

    Berdasarkan rumus :
    (ax + p)(ax + q) = 0
    a
    (3x + 4)(3x −  6) = 0
    3
    (3x + 4). 3(x − 2) = 0
    3
    ⇒ (3x + 4)(x − 2) = 0
    ⇒ x = -43  atau x = 2. 
    Jadi, akar dari 3x2 − 2x − 8 = 0 adalah -43 atau 2.

  10. 2x2 − 7x + 6 = 0
    Dik : a = 2, b = -7, c = 6, ac = 12

    Dua bilangan yang jika dikali sama dengan 12 antara lain : (-3 dan -4), (3 dan 4), (2 dan 6) dan (-2 dan -6) dan beberapa yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -7 jika dijumlahkan adalah -3 dan -4. Dengan demikian kita peroleh p = -3 dan q = -4.

    Berdasarkan rumus :
    (ax + p)(ax + q) = 0
    a
    (2x −  3)(2x −  4) = 0
    2
    (2x −  3). 2(x − 2) = 0
    2
    ⇒ (2x −  3)(x − 2) = 0
    ⇒ x = 32  atau x = 2. 
    Jadi, akar dari 2x2 − 7x + 6 = 0 adalah 32 atau 2.



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment