Model soal yang umum dalam persamaan kuadrat antara lain menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, menentukan sifat akar, menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar suatu persamaan kuadrat tertentu yang diketahui nilainya, melihat hubungan variabel dan akar-akarnya, dan sebagainya. Konsep yang harus kita pahami untuk menjawab soal-soal seperti itu antara lain bentuk umum persamaan kuadrat, hubungan nilai deskriminan dengan sifat-sifat akar, penyelesaian persamaan kuadrat, konsep jumlah dan hasil kali akar, dan cara menyusun persamaan kuadrat baru.
Pada kesempatan ini kita akan membahas beberapa contoh soal tentang persamaan kuadrat yang akan dibahas secara bertahap. Anda mungkin menemukan artikel dengan judul yang hampir sama namun itu hanya menunjukkan bahwa artikel tersebut merupakan kelanjutan atau pembahasan yang lebih dulu dari artikel ini.
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
- Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 4 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (m + 2) dan (n + 2) adalah ....
| A. x2 − 2x + 4 = 0
| D. x2 + 4x + 2 = 0
|
| B. x2 + 2x + 4 = 0
| E. x2 − 2x + 2 = 0
|
| C. x2 − 4x + 2 = 0
|
|
Pembahasan :
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, kita tidak harus mencari nilai m dan n karena dengan menggunakan konsep jumlah dan hasil kali akar kita dapat mengerjakannya. Oleh karena itu, jika bertemu soal seperti ini, jangan panik ketika persamaan kuadratnya sulit diakarkan, yang perlu anda lakukan hanya mencari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
Sekarang tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
⇒ x
2 + 2x + 4 = 0
Diketahui : a = 1, b = 2, dan c = 4.
Jumlah akarnya :
⇒ m + n = -2
Hasil kali akarnya :
⇒ m.n = 4
Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
Jumlah akarnya :
⇒ (m + 2) + (n + 2) = (m + n) + 4
⇒ (m + 2) + (n + 2) = -2 + 4
⇒ (m + 2) + (n + 2) = 2
Hasil kali akarnya :
⇒ (m + 2).(n + 2) = m.n + 2m + 2n + 4
⇒ (m + 2).(n + 2) = m.n + 2(m + n) + 4
⇒ (m + 2).(n + 2) = 4 + 2(-2) + 4
⇒ (m + 2).(n + 2) = 4
Selanjutnya susun persamaan kuadrat barunya :
⇒ x
2 − {(m + 2) + (n + 2)}x + (m + 2).(n + 2) = 0
⇒ x
2 − 2x + 4 = 0
Cara Praktis :
Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah (x1 + n) dan (x2 + n), maka persamaan kuadrat baru itu dapat kita cari dengan rumus :
a (x − n)2 + b(x − n) + c = 0
Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
⇒ x
2 + 2x + 4 = 0
Diketahui : a = 1, b = 2, dan c = 4.
Dari (m + 2) dan (n + 2), maka n = 2.
⇒ a (x − n)
2 + b(x − n) + c = 0
⇒ 1 (x − 2)
2 + 2(x − 2) + 4 = 0
⇒ x
2 − 4x + 4 + 2x − 4 + 4 = 0
⇒ x
2 − 2x + 4 = 0
Jawaban : A
- Diketahui m dan n merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 − 3x + 6 = 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/m dan 1/n adalah .....
| A. 6x2 + 3x + 2 = 0 | D. 6x2 − 2x + 3 = 0 |
| B. 6x2 − 3x + 2 = 0 | E. 6x2 + 2x − 3 = 0 |
| C. 6x2 − 3x − 2 = 0 |
|
Pembahasan :
Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
⇒ 2x
2 − 3x + 6 = 0
Diketahui : a = 2, b = -3, dan c = 6.
Jumlah akarnya :
Hasil kali akarnya :
⇒ m.n = 3
Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
Jumlah akarnya :
Hasil kali akarnya :
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru adalah :
⇒ x
2 − (1/m + 1/n)x + (1/m.1/n) = 0
⇒ x
2 − ½x + ⅓ = 0
⇒ 6x
2 − 3x + 2 = 0
Cara Praktis :
Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah 1/x1 dan 1/x2 (berkebalikan), maka persamaan kuadrat baru itu dapat kita cari dengan rumus :
cx2 + bx + a = 0
Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
⇒ 2x
2 − 3x + 6 = 0
Diketahui : a = 2, b = -3, dan c = 6.
Persaman kuadrat barunya :
⇒ cx
2 + bx + a = 0
⇒ 6x
2 + (-3)x + 2 = 0
⇒ 6x
2 − 3x + 2 = 0
Jawaban : B
- Jika x1 dan x2 merupakan aka-akar persamaan kuadrat 2x2 + x − 4 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 - 4) dan (x2 - 4) adalah .....
| A. 2x2 + 32x − 17 = 0 | D. 2x2 + 17x + 32 = 0 |
| B. 2x2 + 32x + 17 = 0 | E. 2x2 + 17x − 32 = 0 |
| C. 2x2 − 17x − 32 = 0 |
|
Pembahasan :
Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
⇒ 2x
2 + x − 4 = 0
Diketahui : a = 2, b = 1, dan c = -4.
Jumlah akarnya :
Hasil kali akarnya :
⇒ x1.x2 = -2
Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
Jumlah akarnya :
⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = (x1 + x2) − 8
⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = -½ − 8
⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = -
17⁄
2
Hasil kali akarnya :
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = (x1.x2) − 4x1 − 4x2 + 16
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = (x1.x2) − 4(x1 + x2) + 16
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = -2 − 4(-½) + 16
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = -2 + 2 + 16
⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = 16
Jadi persamaan kuadrat barunya :
⇒ x
2 − {(x1 - 4) + (x2 - 4)}x + (x1 - 4).(x2 - 4) = 0
⇒ x
2 − (-
17⁄
2)x + 16 = 0
⇒ 2x
2 + 17x + 32 = 0
Cara Praktis :
Jika akar-akar persamaan
kuadrat yang baru adalah (x1 - n) dan (x2 - n), maka persamaan kuadrat
baru itu dapat kita cari dengan rumus :
a (x + n)2 + b(x + n) + c = 0
Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
⇒ 2x
2 + x − 4 = 0
Diketahui : a = 2, b = 1, dan c = -4.
Dari (x1 - 4) dan (x2 - 4), diketahui n = 4.
Persamaan kuadart barunya adalah :
⇒ a (x + n)
2 + b(x + n) + c = 0
⇒ 2 (x + 4)
2 + 1(x + 4) + (-4) = 0
⇒ 2 (x
2 + 8x + 16) + x + 4 − 4 = 0
⇒ 2x
2 + 16x + 32 + x = 0
⇒ 2x
2 + 17x + 32 = 0
Jawaban : D
- Akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 5x − 10 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -x1 dan -x2 adalah .....
| A. x2 − 10x − 5 = 0 | D. x2 + 5x − 10 = 0 |
| B. x2 − 5x + 10 = 0 | E. x2 + 10x − 5 = 0 |
| C. x2 − 5x − 10 = 0 |
|
Pembahasan :
Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
⇒ x
2 + 5x − 10 = 0
Diketahui : a = 1, b = 5, dan c = -10.
Jumlah akarnya :
⇒ x1 + x2 = -5
Hasil kali akarnya :
⇒ x1.x2 = -10
Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
Jumlah akarnya :
⇒ -x1 + (-x2) = -x1 - x2
⇒ -x1 + (-x2) = -(x1 + x2)
⇒ -x1 + (-x2) = -(-5)
⇒ -x1 + (-x2) = 5
Hasil kali akarnya :
⇒ -x1(-x2) = x1.x2
⇒ -x1(-x2) = -10
Maka persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ x
2 − {-x1 + (-x2)}x + -x1(-x2) = 0
⇒ x
2 − 5x + (-10) = 0
⇒ x
2 − 5x − 10 = 0
Cara Praktis :
Jika akar-akar persamaan
kuadrat yang baru adalah -x1 dan -x2, maka persamaan kuadrat
baru itu dapat kita cari dengan rumus :
ax2 − bx + c = 0
Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
⇒ x
2 + 5x − 10 = 0
Diketahui : a = 1, b = 5, dan c = -10.
Persamaan kuadart barunya adalah :
⇒ ax
2 − bx + c = 0
⇒ x
2 − 5x + (-10) = 0
⇒ x
2 − 5x − 10 = 0
Jawaban : C
- Diketahui persamaan kuadrat x2 + 4x + 6 = 0 memiliki akar-akar m dan n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2m dan 2n adalah .....
| A. x2 + 8x + 24 = 0 | D. x2 − 24x + 8 = 0 |
| B. x2 − 8x + 24 = 0 | E. x2 + 24x − 8 = 0 |
| C. x2 − 8x − 24 = 0 |
|
Pembahasan :
Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
⇒ x
2 + 4x + 6 = 0
Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = 6.
Jumlah akarnya :
⇒ m + n = -4
Hasil kali akarnya :
⇒ m.n = 6
Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
Jumlah akarnya :
⇒ 2m + 2n = 2(m + n)
⇒ 2m + 2n = 2(-4)
⇒ 2m + 2n = -8
Hasil kali akarnya :
⇒ 2m.2n = 4m.n
⇒ 2m.2n = 4(6)
⇒ 2m.2n = 24
Selanjutnya susun persamaan kuadrat barunya :
⇒ x
2 − (2m + 2n)x + 2m.2n = 0
⇒ x
2 − (-8)x + 24 = 0
⇒ x
2 + 8x + 24 = 0
Cara Praktis :
Jika akar-akar persamaan
kuadrat yang baru adalah nx1 dan nx2, maka persamaan kuadrat
baru itu dapat kita cari dengan rumus :
a (x⁄n)2 + b(x⁄n) + c = 0
Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang lama :
⇒ x
2 + 4x + 6 = 0
Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = 6.
Dari 2m dan 2n diketahui n = 2.
Maka persamaan kuadrat barunya adalah :
⇒ a (
x⁄
n)
2 + b(
x⁄
n) + c = 0
⇒ 1(
x⁄
2)
2 + 4(
x⁄
2) + 6 = 0
⇒ ¼ x
2 + 2x + 6 = 0
⇒ x
2 + 8x + 24 = 0
Jawaban : A
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.
0 comments :
Post a Comment