PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA APLIKASI TURUNAN

Posted by on 06 October 2015 - 7:29 PM

  1. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3√x. Jika kurva tersebut melalui titik (4, 9), maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah .....
    A. 3x - y - 1 = 0
    B. 3x - y + 4 = 0
    C. 3x - y - 4 = 0
    D. 3x - y + 8 = 0
    E. 3x - y - 8 = 0

    Pembahasan :
    Ingat konsep bahwa persamaan gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi f(x) = y'. Karena pada soal gradiennya sudah diketahui :
    ⇒ m = 3√x
    ⇒ y' = 3√x

    Fungsi f(x) = y dapat ditentukan dengan konsep integral :
    ⇒ y = ∫ m dx
    ⇒ y = ∫ 3√x dx
    ⇒ y = 2x3/2 + c

    Karena kurvanya melalui titik (4, 9), maka substitusi nilai x = 4 dan y = 9 pada persamaannya untuk menentukan nilai c, sebagai berikut :
    ⇒ y = 2x3/2 + c
    ⇒ 9 = 2 (4)3/2 + c
    ⇒ 9 = 2 (4½ .41) + c
    ⇒ 9 = 2 (√4 .4) + c
    ⇒ 9 = 2 (8) + c
    ⇒ c = 9 - 16
    ⇒ c = -7

    Karena c = -7, maka fungsi kurvanya menjadi :
    ⇒ y = 2x3/2 + (-7)
    ⇒ y = 2x3/2 - 7

    Pada soal ditanya persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 1, maka substitusi nilai x = 1 untuk mencari titik potongnya :
    ⇒ y = 2.(1)3/2 - 7
    ⇒ y = 2 - 7
    ⇒ y = -5
    Titik potong = (1, -5)

    Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung di titik (1, -5) :
    ⇒ m = 3√x
    ⇒ m = 3√1
    ⇒ m = 3

    Dengan demikian, persamaan garis singgung di titik (1, -5) adalah :
    ⇒ y - y1 = m (x - x1)
    ⇒ y - (-5) = 3 (x - 1)
    ⇒ y + 5 = 3x - 3
    ⇒ 0 = 3x - 3 - y - 5
    ⇒ 3x - y - 8 = 0
    Jawaban : E

  2. Luas sebuah lingkaran adalah sebuah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah ....
    A. πxD.  xπ
    B. 2πxE.  2xπ
    C. x

    Pembahasan :
    Untuk menyelesaikan soal ini tentu kita harus mengerti rumus menentukan keliling dan luas lingkaran.
    • Rumus keliling lingkaran :
      K = 2 π.r

    • Rumus luas lingkaran :
      L = π.r2

    Karena luas lingkaran dinyatakan sebagai fungsi keliling, maka kedua rumus di atas harus dihubungkan sebagai berikut :
    ⇒ K = 2 π.r
    ⇒ r = K

    Substitusi r ke persamaan luas, sehingga diperoleh :
    ⇒ L = π.r2
    ⇒ L = π. K2
    (2π)2
    ⇒ L = πK2
    2
    ⇒ L = K2

    Karena pada soal keliling dinyatakan dalam x, maka persamaannya menjadi :
    ⇒ L(x) = x2

    Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya sama dengan turunan dari fungsi luas L(x) terhadap kelilingnya (x). Jika laju perubahan dimisalkan v, maka :
    ⇒ v = d L
    dx
    ⇒ v = d (x2/4π)
    dx
    ⇒ v = d (1 x2)
    dx
    ⇒ v = 2x
    ⇒ v = x
    Jawaban : C 

  3. Jika jarak suatu titik dari suatu posisi P pada setiap waktu t diberikan sebagai s(t) = A sin 2t, A > 0, maka kecepatan terbesar diperoleh pada waktu t sama dengan .....
    1. k2 π, k = 0, 1, 2, 3, ....
    2. k2 π, k = 1, 3, 5, ....
    3. k2 π, k = 0, 2, 4, 6, ....
    4. kπ, k = ½ , 2½, 4½, ....
    5. kπ, k = 1½, 3½, 5½, ....

    Pembahasan :
    Ingat konsep dasar bahwa kecepatan merupakan turunan dari jarak terhadap waktu.
    Persamaan jarak :
    ⇒ s(t) = A sin 2t, A > 0

    Kecepatan :
    ⇒ v = ds
    dt
    ⇒ v = d (A sin 2t)
    dt
    ⇒ v = A cos 2t. 2
    ⇒ v = 2A cos 2t

    Karena persamaan kecepatannya bergantung pada cos 2t dan nilai tertinggi untuk cos adalah 1, maka kecepatan maksimum akan tercapai bila :
    ⇒ cos 2t = 1
    ⇒ 2t = ± n.2π
    ⇒ 2t = ± 2n π ; dengan n = 0, 1, 2, 3, ....

    Karena opsi pilihan dinyatakn dalam k, maka kita misalkan k = 2n.
    ⇒2t = ± k π ; dengan k = 0, 2, 4, 6, ....

    Dengan demikian, kecepatan terbesar diperoleh pada :
    ⇒2t = ± k π
    ⇒ t = k π  ; k = 0, 2, 4, 6, ....
    2
    Jawaban : C


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment