PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA APLIKASI TURUNAN

Posted by on 06 October 2015 - 7:29 PM

  1. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3√x. Jika kurva tersebut melalui titik (4, 9), maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah .....
    A. 3x - y - 1 = 0
    B. 3x - y + 4 = 0
    C. 3x - y - 4 = 0
    D. 3x - y + 8 = 0
    E. 3x - y - 8 = 0

    Pembahasan :
    Ingat konsep bahwa persamaan gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi f(x) = y'. Karena pada soal gradiennya sudah diketahui :
    ⇒ m = 3√x
    ⇒ y' = 3√x

    Fungsi f(x) = y dapat ditentukan dengan konsep integral :
    ⇒ y = ∫ m dx
    ⇒ y = ∫ 3√x dx
    ⇒ y = 2x3/2 + c

    Karena kurvanya melalui titik (4, 9), maka substitusi nilai x = 4 dan y = 9 pada persamaannya untuk menentukan nilai c, sebagai berikut :
    ⇒ y = 2x3/2 + c
    ⇒ 9 = 2 (4)3/2 + c
    ⇒ 9 = 2 (4½ .41) + c
    ⇒ 9 = 2 (√4 .4) + c
    ⇒ 9 = 2 (8) + c
    ⇒ c = 9 - 16
    ⇒ c = -7

    Karena c = -7, maka fungsi kurvanya menjadi :
    ⇒ y = 2x3/2 + (-7)
    ⇒ y = 2x3/2 - 7

    Pada soal ditanya persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 1, maka substitusi nilai x = 1 untuk mencari titik potongnya :
    ⇒ y = 2.(1)3/2 - 7
    ⇒ y = 2 - 7
    ⇒ y = -5
    Titik potong = (1, -5)

    Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung di titik (1, -5) :
    ⇒ m = 3√x
    ⇒ m = 3√1
    ⇒ m = 3

    Dengan demikian, persamaan garis singgung di titik (1, -5) adalah :
    ⇒ y - y1 = m (x - x1)
    ⇒ y - (-5) = 3 (x - 1)
    ⇒ y + 5 = 3x - 3
    ⇒ 0 = 3x - 3 - y - 5
    ⇒ 3x - y - 8 = 0
    Jawaban : E

  2. Luas sebuah lingkaran adalah sebuah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah ....
    A. πxD.  xπ
    B. 2πxE.  2xπ
    C. x

    Pembahasan :
    Untuk menyelesaikan soal ini tentu kita harus mengerti rumus menentukan keliling dan luas lingkaran.
    • Rumus keliling lingkaran :
      K = 2 π.r

    • Rumus luas lingkaran :
      L = π.r2

    Karena luas lingkaran dinyatakan sebagai fungsi keliling, maka kedua rumus di atas harus dihubungkan sebagai berikut :
    ⇒ K = 2 π.r
    ⇒ r = K

    Substitusi r ke persamaan luas, sehingga diperoleh :
    ⇒ L = π.r2
    ⇒ L = π. K2
    (2π)2
    ⇒ L = πK2
    2
    ⇒ L = K2

    Karena pada soal keliling dinyatakan dalam x, maka persamaannya menjadi :
    ⇒ L(x) = x2

    Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya sama dengan turunan dari fungsi luas L(x) terhadap kelilingnya (x). Jika laju perubahan dimisalkan v, maka :
    ⇒ v = d L
    dx
    ⇒ v = d (x2/4π)
    dx
    ⇒ v = d (1 x2)
    dx
    ⇒ v = 2x
    ⇒ v = x
    Jawaban : C 

  3. Jika jarak suatu titik dari suatu posisi P pada setiap waktu t diberikan sebagai s(t) = A sin 2t, A > 0, maka kecepatan terbesar diperoleh pada waktu t sama dengan .....
    1. k2 π, k = 0, 1, 2, 3, ....
    2. k2 π, k = 1, 3, 5, ....
    3. k2 π, k = 0, 2, 4, 6, ....
    4. kπ, k = ½ , 2½, 4½, ....
    5. kπ, k = 1½, 3½, 5½, ....

    Pembahasan :
    Ingat konsep dasar bahwa kecepatan merupakan turunan dari jarak terhadap waktu.
    Persamaan jarak :
    ⇒ s(t) = A sin 2t, A > 0

    Kecepatan :
    ⇒ v = ds
    dt
    ⇒ v = d (A sin 2t)
    dt
    ⇒ v = A cos 2t. 2
    ⇒ v = 2A cos 2t

    Karena persamaan kecepatannya bergantung pada cos 2t dan nilai tertinggi untuk cos adalah 1, maka kecepatan maksimum akan tercapai bila :
    ⇒ cos 2t = 1
    ⇒ 2t = ± n.2π
    ⇒ 2t = ± 2n π ; dengan n = 0, 1, 2, 3, ....

    Karena opsi pilihan dinyatakn dalam k, maka kita misalkan k = 2n.
    ⇒2t = ± k π ; dengan k = 0, 2, 4, 6, ....

    Dengan demikian, kecepatan terbesar diperoleh pada :
    ⇒2t = ± k π
    ⇒ t = k π  ; k = 0, 2, 4, 6, ....
    2
    Jawaban : C


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment