Pembahasan SBMPTN Matematika Fungsi Komposisi dan Invers

Posted by on 30 October 2015 - 11:28 AM

  1. Diketahui fungsi berikut :
    f(x) = 1 - x
    x
    untuk setiap bilangan real x ≠ 0. Jika g : R → R adalah suatu fungsi sehingga (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1, maka fungsi invers g-1(x) sama dengan ....
    A. g-1(x) = x - 3
    x + 1
    B. g-1(x) = x - 3
    x - 1
    C. g-1(x) = x + 1
    x - 3
    D. g-1(x) = x - 3
    1 - x
    E. g-1(x) = x - 1
    3 - x

    Pembahasan :
    Diketahui : (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1
    Kita misalkan h = g o f

    Invers dari fungsi h :
    ⇒ h-1 = f-1 o g-1
    ⇒ f o h-1 = f o f-1 o g-1
    ⇒ f o h-1 = g-1

    Karena kita misalkan h = g o f, maka :
    ⇒ h(x) = g(f(x))
    ⇒ h(x) = 2x + 1
    ⇒ 2x = h(x) - 1
    ⇒ x = h(x) - 1
    2
    ⇒ h-1(x) = x - 1
    2

    Invers dari fungsi g 
    ⇒ g-1(x) = f(h-1(x))

    Substitusi nilai h-1(x) ke dalam fungsi f(x) sehingga :
    ⇒ g-1(x) = 1 - ((x-1)2)
    (x-1)2
    ⇒ g-1(x) = (2-x+1)2
    (x-1)2
    ⇒ g-1(x) = 2 - x + 1  . 2
    2 x - 1
    ⇒ g-1(x) = 3 - x
    x - 1
    ⇒ g-1(x) = x - 3
    1 - x
    Jawaban : D




  1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x)g(x) = x2 - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika g(1) = 2, f'(1) = f(1), dan g'(1) = f(1), maka g'(1) sama dengan ....
    A. 2D. -1
    B. 1E. -3
    C. 0

    Pembahasan :
    ⇒ f(x)g(x) = x2 - 3x

    Jika fungsi komposisi tersebut kita turunkan terhadap x, maka :
    ⇒  d f(x)g(x)   = d (x2 - 3x)
    dx dx

    Untuk menurunkan perkalian dua fungsi misal h(x) = u(x).v(x), maka kita gunakan rumus berikut :
    h'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

    Dengan :
    h'(x) = turunan fungsi h(x)
    u'(x) = turunan fungsi u(x)
    v'(x) = turunan fungsi v(x)

    Berdasarkan rumus di atas, maka kita peroleh :
    ⇒  d f(x)g(x)   = d (x2 - 3x)
    dx dx
    ⇒ f'(x).g(x) + f(x).g'(x) = 2x - 3

    Untuk x = 1
    ⇒ f '(1).g(1) + f(1).g'(1) = 2(1) - 3
    ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1

    Karena f(1) = g'(1) dan f '(1) = f(1), maka :
    ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1
    ⇒ f(1).(2) + f(1).f(1) = -1
    ⇒ 2 f(1) + {f(1)}2 = -1
    ⇒ {f(1)}2 + 2f(1) + 1 = 0

    Perhatikan bahwa bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat.
    ⇒ {f(1)}2 + 2f(1) + 1 = 0
    ⇒ {f(1) + 1}2 = 0
    ⇒ f(1) = -1

    Karena nilai g'(1) = f(1), maka :
    ⇒ g'(1) = f(1)
    ⇒ g'(1) = -1
    Jawaban : D




Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment