PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA PERSAMAAN LOGARITMA

Posted by on 06 October 2015 - 9:09 PM

  1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3log x + 3log (2x - 3) < 3 adalah .....
    A. {x| x > 32}
    B. {x| x > 92}
    C. {x| 0 < x < 92}
    D. {x| 32 < x < 92}
    E. {x| -3 < x < 92}

    Pembahasan :
    Syarat agar pertidaksamaan di atas terpenuhi adalah :
    ⇒ x > 0
    ⇒2x - 3 > 0

    Karena 2x - 3 > 0, maka :
    ⇒ 2x - 3 > 0
    ⇒ x > 32 (memenuhi)

    Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menyelesaikan soal ini :
    alog b + alog c = alog (b.c)

    Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip logaritma, bentuk pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut :
    3log x + 3log (2x - 3) < 3
    3log {x(2x - 3)} < 3log 33
    3log {x(2x - 3)} < 3log 27
    ⇒ x(2x - 3) < 27
    ⇒ 2x2 - 3x < 27
    ⇒ 2x2 - 3x - 27 = 0
    ⇒ (2x - 9)(x + 3) < 0

    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat diuji dengan menggunakan garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
    ⇒ -3 < x < 92

    Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi berdasarkan syarat, yaitu x > 32, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3log x + 3log (2x - 3) < 3 adalah :
    ⇒ HP = {x| 32 < x < 92}
    Jawaban : D

  2. Diketahui persamaan sebagai berikut :
    10(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = (x - 4)2(x + 3)2
    Jumlah semua akar persamaan tersebut adalah .....
    A. -2D. 1
    B. -1E. 2
    C. 0

    Pembahasan :
    Untuk menyelesaiakn soal di atas, berikut prinsip-prinsip logaritma yang dapat kita gunakan :
    alog (b.c) = alog b + alog c
    alog bm = m alog b

    Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
    ⇒ 10(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = (x - 4)2(x + 3)2
    ⇒ log {10.(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12)} =  log (x - 4)2(x + 3)2

    Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
    ⇒ log 10 + log (x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) =  log {(x - 4)(x + 3)}2
    ⇒ 1 + log (x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) =  log (x2 - x - 12)2

    Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
    ⇒ 1 + log (x2 - x - 12).log (x2 - x - 12) = 2 log (x2 - x - 12)
    ⇒ 1 + {log (x2 - x - 12)}2 - 2 log (x2 - x - 12) = 0
    ⇒ 1 + log2 (x2 - x - 12) - 2 log (x2 - x - 12) = 0
    ⇒ log2 (x2 - x - 12) - 2 log (x2 - x - 12) + 1 = 0

    Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan :
    ⇒ log (x2 - x - 12) = p

    Maka persamaannya menjadi :
    ⇒ p2 - 2p + 1 = 0
    ⇒ (p - 1)(p - 1) 0
    ⇒ p1 = 1 dan p2 = 1

    Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 yaitu x1, x2, x3 dan x4. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk semula :
    Untuk p1 = 1
    ⇒ log (x2 - x - 12) = 1
    ⇒ log (x2 - x - 12) = log 10
    ⇒ x2 - x - 12 = 10
    ⇒ x2 - x - 22 =  0 ; diperoleh x1 dan x2.
    Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.

    Jumlah x1 dan x2 :
    ⇒ x1 + x2-ba
    ⇒ x1 + x2 = 11
    ⇒ x1 + x2 = 1

    Untuk p2 = 1, dengan cara yang sama seperti di atas, akan diperoleh x3 dan x4 dengan jumlah yang sama yaitu 1. Dengan demikian, jumlah seluruh akarnya adalah :
    ⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 1 + 1
    ⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 2
    Jawaban : E

  3. Diketahui 2 (4log x)2 - 2 4log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x1 dan x2 maka x1 + x2 sama dengan .....
    A. 5D. 52
    B. 92E. 94
    C. 174

    Pembahasan :
    ⇒ 2 (4log x)2 - 2 4log √x = 1
    ⇒ 2 (4log x)2 - 4log (√x)2 = 1
    ⇒ 2 (4log x)2 - 4log x = 1
    ⇒ 2 (4log x)2 - 4log x - 1 = 0

    Misalkan 4log x = p, maka :
    ⇒ 2p2 - p - 1 = 0
    ⇒ (2p + 1)(p - 1) = 0
    ⇒ p = -½ atau p = 1

    Untuk p = -½, diperoleh :
    4log x = -½
    ⇒  4log x = 4log 4
    4log x = 4log 4
    ⇒ x = 4
    ⇒ x = 1
    4½
    ⇒ x = 1
    4
    ⇒ x1 = ½

    Untuk p = 1, diperoleh :
    4log x = 1
    ⇒  4log x = 4log 41
    4log x = 4log 41
    ⇒ x = 41
    ⇒ x2 = 4

    Dengan demikian, jumlah akar-akarnya adalah :
    ⇒ x1 + x2 = ½ + 4
    ⇒ x1 + x2 = 92
    Jawaban : B



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements