PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA PERSAMAAN LOGARITMA

Posted by on 06 October 2015 - 9:09 PM

  1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3log x + 3log (2x - 3) < 3 adalah .....
    A. {x| x > 32}
    B. {x| x > 92}
    C. {x| 0 < x < 92}
    D. {x| 32 < x < 92}
    E. {x| -3 < x < 92}

    Pembahasan :
    Syarat agar pertidaksamaan di atas terpenuhi adalah :
    ⇒ x > 0
    ⇒2x - 3 > 0

    Karena 2x - 3 > 0, maka :
    ⇒ 2x - 3 > 0
    ⇒ x > 32 (memenuhi)

    Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menyelesaikan soal ini :
    alog b + alog c = alog (b.c)

    Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip logaritma, bentuk pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut :
    3log x + 3log (2x - 3) < 3
    3log {x(2x - 3)} < 3log 33
    3log {x(2x - 3)} < 3log 27
    ⇒ x(2x - 3) < 27
    ⇒ 2x2 - 3x < 27
    ⇒ 2x2 - 3x - 27 = 0
    ⇒ (2x - 9)(x + 3) < 0

    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat diuji dengan menggunakan garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
    ⇒ -3 < x < 92

    Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi berdasarkan syarat, yaitu x > 32, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3log x + 3log (2x - 3) < 3 adalah :
    ⇒ HP = {x| 32 < x < 92}
    Jawaban : D

  2. Diketahui persamaan sebagai berikut :
    10(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = (x - 4)2(x + 3)2
    Jumlah semua akar persamaan tersebut adalah .....
    A. -2D. 1
    B. -1E. 2
    C. 0

    Pembahasan :
    Untuk menyelesaiakn soal di atas, berikut prinsip-prinsip logaritma yang dapat kita gunakan :
    alog (b.c) = alog b + alog c
    alog bm = m alog b

    Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
    ⇒ 10(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) = (x - 4)2(x + 3)2
    ⇒ log {10.(x2 - x - 12)log(x2 - x - 12)} =  log (x - 4)2(x + 3)2

    Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
    ⇒ log 10 + log (x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) =  log {(x - 4)(x + 3)}2
    ⇒ 1 + log (x2 - x - 12)log(x2 - x - 12) =  log (x2 - x - 12)2

    Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
    ⇒ 1 + log (x2 - x - 12).log (x2 - x - 12) = 2 log (x2 - x - 12)
    ⇒ 1 + {log (x2 - x - 12)}2 - 2 log (x2 - x - 12) = 0
    ⇒ 1 + log2 (x2 - x - 12) - 2 log (x2 - x - 12) = 0
    ⇒ log2 (x2 - x - 12) - 2 log (x2 - x - 12) + 1 = 0

    Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan :
    ⇒ log (x2 - x - 12) = p

    Maka persamaannya menjadi :
    ⇒ p2 - 2p + 1 = 0
    ⇒ (p - 1)(p - 1) 0
    ⇒ p1 = 1 dan p2 = 1

    Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 yaitu x1, x2, x3 dan x4. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk semula :
    Untuk p1 = 1
    ⇒ log (x2 - x - 12) = 1
    ⇒ log (x2 - x - 12) = log 10
    ⇒ x2 - x - 12 = 10
    ⇒ x2 - x - 22 =  0 ; diperoleh x1 dan x2.
    Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.

    Jumlah x1 dan x2 :
    ⇒ x1 + x2-ba
    ⇒ x1 + x2 = 11
    ⇒ x1 + x2 = 1

    Untuk p2 = 1, dengan cara yang sama seperti di atas, akan diperoleh x3 dan x4 dengan jumlah yang sama yaitu 1. Dengan demikian, jumlah seluruh akarnya adalah :
    ⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 1 + 1
    ⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 2
    Jawaban : E

  3. Diketahui 2 (4log x)2 - 2 4log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x1 dan x2 maka x1 + x2 sama dengan .....
    A. 5D. 52
    B. 92E. 94
    C. 174

    Pembahasan :
    ⇒ 2 (4log x)2 - 2 4log √x = 1
    ⇒ 2 (4log x)2 - 4log (√x)2 = 1
    ⇒ 2 (4log x)2 - 4log x = 1
    ⇒ 2 (4log x)2 - 4log x - 1 = 0

    Misalkan 4log x = p, maka :
    ⇒ 2p2 - p - 1 = 0
    ⇒ (2p + 1)(p - 1) = 0
    ⇒ p = -½ atau p = 1

    Untuk p = -½, diperoleh :
    4log x = -½
    ⇒  4log x = 4log 4
    4log x = 4log 4
    ⇒ x = 4
    ⇒ x = 1
    4½
    ⇒ x = 1
    4
    ⇒ x1 = ½

    Untuk p = 1, diperoleh :
    4log x = 1
    ⇒  4log x = 4log 41
    4log x = 4log 41
    ⇒ x = 41
    ⇒ x2 = 4

    Dengan demikian, jumlah akar-akarnya adalah :
    ⇒ x1 + x2 = ½ + 4
    ⇒ x1 + x2 = 92
    Jawaban : B



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements