Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Differensial

Posted by on 19 October 2015 - 10:32 AM

  1. Jika garis singgung di titik (1, 2) pada parabola y = ax2 + bx + 4 memiliki persamaan y = -6x + 8, maka nilai a dan b berturut-turut adalah ....
    A. 2 dan -4
    B. -4 dan 2
    C. -2 dan 0
    D. 2 dan -10
    E. 4 dan -6

    Pembahasan :
    Untuk menentukan nilai a dan b, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung yang diketahui.
    ⇒ y = -6x + 8

    Sesuai dengan konsep turunan, gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari persamaan garisnya, yang secara matematis dapat ditulis :
    Gradien = m = y' = dy
    dx

    Dengan rumus tersebut, kita peroleh gradien garis singgung sebagai berikut :
    ⇒ m = dy
    dx
    ⇒ m = d(-6x + 8)
    dx
    ⇒ m = -6
    Untuk persamaan garis lurus, gradien akan sama dengan koefisien dari variabel x.

    Gradien m = -6 merupakan gradien di titik (1,2) yang sama dengan turunan pertama parabola. Sehingga :
    ⇒ -6 = d(ax2 + bx + 4)
    dx
    ⇒ -6 = 2ax + b

    Substitusi nilai x = 1 ke persamaan di atas, sehingga :
    ⇒ -6 = 2ax + b
    ⇒ -6 = 2a(1) + b
    ⇒ 2a + b = -6 ....... (1)

    Garis singgung y = -6x + 8 menyinggung parabola di titik (1, 2) maka :
    ⇒ y = ax2 + bx + 4
    ⇒ 2 = a(1)2 + b(1) + 4
    ⇒ 2 = a + b + 4
    ⇒ a + b = -2
    ⇒ a = -2 - b ...... (2)

    Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) :
    ⇒ 2a + b = -6
    ⇒ 2(-2 - b) + b = -6
    ⇒ -4 - 2b + b = -6
    ⇒ -b = -6 + 4
    ⇒ -b = -2
    ⇒ b = 2

    Substitusi nilai b untuk memperoleh nilai a :
    ⇒ a = -2 - b
    ⇒ a = -2 - 2
    ⇒ a = -4
    Jadi, nilai a = -4 dan b = 2.
    Jawaban : B

  2. Misalkan f '(x) menyatakan turunan pertama dari fungsi berikut :
    y = x2  , x ≠ 3
    3 - x
    Jika f '(2) dan ½ f '(4) adalah suku pertama dan kedua suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tersebut adalah .....
    A. 8D. 32
    B. 16E. 40
    C. 24

    Pembahasan :
    Untuk bentuk pembagian y = u(x)v(x) , turunan pertamanya dapat ditentukan dengan rumus berikut :
    f '(x) = u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
    v2(x)

    Dari soal, kita misalkan :
    ⇒ u(x) = x2 maka u'(x) = 2x
    ⇒ v(x) = 3 - x maka v'(x) = -1

    Dengan rumus turunan, kita peroleh :
    ⇒ f '(x) = u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
    v2(x)
    ⇒ f '(x) = 2x (3 - x) - x2.(-1)
    (3 - x)2
    ⇒ f '(x) = 6x - 2x2 + x2
    (3 - x)2
    ⇒ f '(x) = 6x - x2
    (3 - x)2

    Selanjutnya kita cari nilai f '(2) sebagai berikut :
    ⇒ f '(2) = 6(2) - (2)2
    (3 - 2)2
    ⇒ f '(2) = 12 - 4
    1
    ⇒ f '(2) = 8

    Dengan cara yang sama kita peroleh f '(4) sebagau berikut :
    ⇒ f '(4) = 6(4) - (4)2
    (3 - 4)2
    ⇒ f '(4) = 24 - 16
    1
    ⇒ f '(4) = 8
    Dengan begitu nilai dari ½ f '(4) = 4.

    Kita sudah peroleh suku pertama dan suku kedua deret tak hingga yaitu 8 dan 4. Itu berarti deret tersebut memiliki rasio sebesar ½. Dengan demikian, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah :
    ⇒ S∞ = a
    1 - r
    ⇒ S∞ = 8
    1 - ½
    ⇒ S∞ = 8
    ½
    ⇒ S∞ = 16
    Jawaban : B

  3. Diketahui fungsi trigonometri sebagai berikut :
    w(α) = 1 - tan2 α
    2 sec2 α
    Nilai minimum dari fungsi w(α) adalah .....
    A. 0D. -2
    B. -½E. -∞
    C. -1

    Pembahasan :
    Berikut rumus & identitas trigonometri yang dapat kita manfaatkan untuk menyelesaikan soal di atas.
    tan α = sin α
    cos α
    sec α = 1
    cos α

    Bentuk fungsi pada soal di atas dapat kita sederhanakan menjadi :
    ⇒ w(α) = 1 - tan2 α
    2 sec2 α
    ⇒ w(α) = 1 - (sin2 αcos2 α)
    2cos2 α
    ⇒ w(α) = (1 − sin2 α ) x cos2 α
    cos2 α 2
    ⇒ w(α) = cos2 α  − sin2 α
    2 2
    ⇒ w(α) = cos2 α − sin2 α
    2

    Sekarang ingat bahwa cos2 α − sin2 α = cos 2α, sehingga :
    ⇒ w(α) = ½ cos 2α 

    Karena fungsi w(α) dalam bentuk cosinus dan nilai minimum dari fungsi cosinus adalah -1, maka nilai minimum dari fungsi w(α) adalah : ½(-1) = -½.
    Jawaban : B


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment