Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Differensial

Posted by on 19 October 2015 - 10:32 AM

  1. Jika garis singgung di titik (1, 2) pada parabola y = ax2 + bx + 4 memiliki persamaan y = -6x + 8, maka nilai a dan b berturut-turut adalah ....
    A. 2 dan -4
    B. -4 dan 2
    C. -2 dan 0
    D. 2 dan -10
    E. 4 dan -6

    Pembahasan :
    Untuk menentukan nilai a dan b, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung yang diketahui.
    ⇒ y = -6x + 8

    Sesuai dengan konsep turunan, gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari persamaan garisnya, yang secara matematis dapat ditulis :
    Gradien = m = y' = dy
    dx

    Dengan rumus tersebut, kita peroleh gradien garis singgung sebagai berikut :
    ⇒ m = dy
    dx
    ⇒ m = d(-6x + 8)
    dx
    ⇒ m = -6
    Untuk persamaan garis lurus, gradien akan sama dengan koefisien dari variabel x.

    Gradien m = -6 merupakan gradien di titik (1,2) yang sama dengan turunan pertama parabola. Sehingga :
    ⇒ -6 = d(ax2 + bx + 4)
    dx
    ⇒ -6 = 2ax + b

    Substitusi nilai x = 1 ke persamaan di atas, sehingga :
    ⇒ -6 = 2ax + b
    ⇒ -6 = 2a(1) + b
    ⇒ 2a + b = -6 ....... (1)

    Garis singgung y = -6x + 8 menyinggung parabola di titik (1, 2) maka :
    ⇒ y = ax2 + bx + 4
    ⇒ 2 = a(1)2 + b(1) + 4
    ⇒ 2 = a + b + 4
    ⇒ a + b = -2
    ⇒ a = -2 - b ...... (2)

    Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) :
    ⇒ 2a + b = -6
    ⇒ 2(-2 - b) + b = -6
    ⇒ -4 - 2b + b = -6
    ⇒ -b = -6 + 4
    ⇒ -b = -2
    ⇒ b = 2

    Substitusi nilai b untuk memperoleh nilai a :
    ⇒ a = -2 - b
    ⇒ a = -2 - 2
    ⇒ a = -4
    Jadi, nilai a = -4 dan b = 2.
    Jawaban : B

  2. Misalkan f '(x) menyatakan turunan pertama dari fungsi berikut :
    y = x2  , x ≠ 3
    3 - x
    Jika f '(2) dan ½ f '(4) adalah suku pertama dan kedua suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tersebut adalah .....
    A. 8D. 32
    B. 16E. 40
    C. 24

    Pembahasan :
    Untuk bentuk pembagian y = u(x)v(x) , turunan pertamanya dapat ditentukan dengan rumus berikut :
    f '(x) = u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
    v2(x)

    Dari soal, kita misalkan :
    ⇒ u(x) = x2 maka u'(x) = 2x
    ⇒ v(x) = 3 - x maka v'(x) = -1

    Dengan rumus turunan, kita peroleh :
    ⇒ f '(x) = u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
    v2(x)
    ⇒ f '(x) = 2x (3 - x) - x2.(-1)
    (3 - x)2
    ⇒ f '(x) = 6x - 2x2 + x2
    (3 - x)2
    ⇒ f '(x) = 6x - x2
    (3 - x)2

    Selanjutnya kita cari nilai f '(2) sebagai berikut :
    ⇒ f '(2) = 6(2) - (2)2
    (3 - 2)2
    ⇒ f '(2) = 12 - 4
    1
    ⇒ f '(2) = 8

    Dengan cara yang sama kita peroleh f '(4) sebagau berikut :
    ⇒ f '(4) = 6(4) - (4)2
    (3 - 4)2
    ⇒ f '(4) = 24 - 16
    1
    ⇒ f '(4) = 8
    Dengan begitu nilai dari ½ f '(4) = 4.

    Kita sudah peroleh suku pertama dan suku kedua deret tak hingga yaitu 8 dan 4. Itu berarti deret tersebut memiliki rasio sebesar ½. Dengan demikian, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah :
    ⇒ S∞ = a
    1 - r
    ⇒ S∞ = 8
    1 - ½
    ⇒ S∞ = 8
    ½
    ⇒ S∞ = 16
    Jawaban : B

  3. Diketahui fungsi trigonometri sebagai berikut :
    w(α) = 1 - tan2 α
    2 sec2 α
    Nilai minimum dari fungsi w(α) adalah .....
    A. 0D. -2
    B. -½E. -∞
    C. -1

    Pembahasan :
    Berikut rumus & identitas trigonometri yang dapat kita manfaatkan untuk menyelesaikan soal di atas.
    tan α = sin α
    cos α
    sec α = 1
    cos α

    Bentuk fungsi pada soal di atas dapat kita sederhanakan menjadi :
    ⇒ w(α) = 1 - tan2 α
    2 sec2 α
    ⇒ w(α) = 1 - (sin2 αcos2 α)
    2cos2 α
    ⇒ w(α) = (1 − sin2 α ) x cos2 α
    cos2 α 2
    ⇒ w(α) = cos2 α  − sin2 α
    2 2
    ⇒ w(α) = cos2 α − sin2 α
    2

    Sekarang ingat bahwa cos2 α − sin2 α = cos 2α, sehingga :
    ⇒ w(α) = ½ cos 2α 

    Karena fungsi w(α) dalam bentuk cosinus dan nilai minimum dari fungsi cosinus adalah -1, maka nilai minimum dari fungsi w(α) adalah : ½(-1) = -½.
    Jawaban : B


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment