Pembahasan SBMPTN Matematika Deret Geometri Tak hingga

Posted by on 21 October 2015 - 6:40 PM

  1. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama menjadi 2a dan rasio berubah menjadi (2 - r)r, maka jumlahnya menjadi ......
    A. 2S(1 - 1r)
    B. 2S(1-r)
    C. 2S(1r - r)
    D. 2S(1r - 1)
    E. (S-1)r

    Pembahasan :
    Sesuai dengan konsep deret geometri, jumlah deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus berikut :
    S∞ = a
    1 − r

    Dengan :
    S∞ = jumlah deret geometri tak hingga.
    a = suku pertama deret geometri
    r = rasio deret geometri.

    Pada soal diketahui sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a, rasio r, dan jumlah S, maka berlaku :
    ⇒ S = a
    1 − r
    ⇒ a = S(1 − r)

    Pada deret geometri tak hingga yang baru diketahui perubahan sebagai berikut :
    ⇒ a' = 2a
    ⇒ r' = (2 − r)r

    Dengan rumus yang sama maka kita peroleh :
    ⇒ S' = a'
    1 − r'
    ⇒ S' = 2a
    1 − (2 − r)r
    ⇒ S' = 2.S(1 − r)
    1 − (2r − r2)
    ⇒ S' = 2S (1 − r)
    1 − 2r + r2
    ⇒ S' = 2S (1 − r)
    (1 − r)(1 − r)
    ⇒ S' = 2S
    (1 − r)
    Jawaban : B
  1. Diketahui segitiga siku-siku sama kaki pertama dengan panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga siku-siku sama kaki kedua dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga pertama. Segitiga siku-siku sama kaki ke-3 dan ke-4, dan seterusnya masing-masing dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. Jumlah luas seluruh segitiga tersebut adalah .....
    A. 8a2D. 2a2
    B. 4a2E. a2
    C. 3a2
pembahasan soal SBMPTN deret geometri

Pembahasan : 
Berdasarkan keterangan dalam soal, maka sketsa untuk segitiga sama kaki terlihat seperti gambar di atas. Jika luas segitiga pertama adalah L, maka luas segitiga kedua adalah ½L, dan luas segitiga ketiga adalah ¼L.
Luas masing-masing segitiga membentuk deret geometri dengan rasio ½. Nilai tersebut kita peroleh dari rumus berikut ini :
⇒ r = L2  = L3
L1 L2
⇒ r = ½L  = ¼L
L ½L
⇒ r = ½

Luas seluruh segitiga, merupakan jumlah deret geometri tak hingga sehingga dapat kita hitung dengan rumus yang sama seperti pada soal nomor 1, sebagai berikut :
⇒ S = a
1 - r
⇒ S = L
1 - ½
⇒ S = L
½
⇒ S = 2L

Seperti yang kita ketahui, luas segitiga merupakan setengah alas dikali tingginya. Karena segitiga pada soal merupakan segitiga siku-siku sama kaki maka panjang alas dan tingginya sama yaitu a. Sehingga kita peroleh :
⇒ S = 2L
⇒ S = 2 (½.a.a)
⇒ S = 2a2
Jawaban : E
  1. Diketahui sebuah segitiga OP1P2 dengan sudut siku-siku pada P2 dan sudut puncak 30o pada O. Dengan OP2 sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP2P3 dengan sudut puncak P2OP3 sbesar 30o. Selanjutnya dibuat pula segitiga siku-siku OP2P3 dengan OP3 sebagai sisi miring dan sudut puncak P3OP4 sebesar 30o. Proses ini dilanjutkan terus-menerus. Jika OP1 = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah ....
    A. 64√3D. 256
    B. 128E. 256√3
    C. 128√3
pembahasan soal SBMPTN deret geometri tak hingga

Pembahasan :
Berdasarkan uraian dalam soal, maka segitiga-segitiga tersebut kurang lebih seperti gambar di atas. Karena proses berlanjut terus menerus dengan pola yang sama, maka luas segitiga tersebut membentuk deret geometri tak hingga.
Untuk mengetahui luas segitiga seluruhnya, maka kita harus mengetahui luas segitiga pertama dan rasionya. Karena OP1 = 16, maka panjang sisi P1P2 dapat dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri, sebagai berikut :
⇒ sin 30o = P1P2
OP1
⇒ P1P2 = OP1 sin 30o
⇒ P1P2 = 16. ½
⇒ P1P2 = 8

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP2 sebagai berikut :
⇒ cos 30o = OP2
OP1
⇒ OP2 = OP1 cos 30o
⇒ OP2 = 16. ½√3
⇒ OP2 = 8√3

Dengan demikian luas segitiga pertama adalah :
⇒ L Δ OP1P2 = ½.a.t
⇒ L Δ OP1P2 = ½. P1P2. OP2
⇒ L Δ OP1P2 = ½ (8) (8√3)
⇒ L Δ OP1P2 = 32√3

Segitiga kedua adalah Δ OP2P3. Untuk mengetahui luasnya, kita harus mencari alas dan tingginya terlebih dahulu dengan konsep trigonometri.
⇒ sin 30o = P2P3
OP2
⇒ P2P3 = OP2 sin 30o
⇒ P2P3 = 8√3. ½
⇒ P2P3 = 4√3

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP3 sebagai berikut :
⇒ cos 30o = OP3
OP2
⇒ OP3 = OP2 cos 30o
⇒ OP3 = 8√3. ½√3
⇒ OP3 = 12

Dengan demikian, luas segitiga kedua adalah :
⇒ L Δ OP2P3 = ½.a.t
⇒ L Δ OP2P3 = ½. P2P3. OP3
⇒ L Δ OP2P3 = ½ (4√3) (12)
⇒ L Δ OP2P3 = 24√3

Selanjutnya kita dapat menentukan rasio deret geometrinya :
⇒ r = L Δ OP2P3
L Δ OP1P2
⇒ r = 24√3
32√3
⇒ r = ¾

Karena suku pertama dan rasionya sudah kita peroleh, maka jumlah luas segitiga dapat kita tentukan dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga sebagai berikut :
⇒ L∞ = L Δ OP1P2
1 - r
⇒ L∞ = 32√3
1 - ¾
⇒ L∞ = 32√3
¼
⇒ L∞ = 128√3
Jawaban : C



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment