PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA BARISAN ARITMATIKA

Posted by on 07 October 2015 - 10:37 AM

  1. Andre kuliah di suatu perguruan tinggi negeri selama 8 semester. Besar SPP yang harus dibayar pada setiap semester adalah Rp 200.000,- lebih besar dari SPP semester sebelumnya. Jika pada semester ke-8 Andre membayar SPP sebesar Rp 2.400.000,- maka total SPP yang dibayar selama 8 semester adalah .....
    1. Rp 12.800.000,-
    2. Rp 13.000.000,-
    3. Rp 13.200.000,-
    4. Rp 13.400.000,-
    5. Rp 13.600.000,-

    Pembahasan :
    Karena besar SPP yang dibayar setiap semester bertambah sebesar 200.000,- dari SPP semester sebelumnya, maka biaya yang dikeluarkan akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 200.000.

    Rumus barder aritmatika yang kita gunakan :
    Un = a + (n - 1)b
    Sn = n2 (a + Un)

    Dengan :
    ⇒ Un = suku ke-n barisan
    ⇒ Sn = jumlah n suku pertama
    ⇒ n = banyak suku
    ⇒ a = suku awal
    ⇒ b = beda barisan

    Dari soal cerita di atas, diketahui :
    ⇒ b = 200.000
    ⇒ U8 = 2.400.000
    ⇒ n = 8

    Karena untuk menentukan jumlah SPP selama 8 semester harus diketahui suku awalnya (a), maka kita harus menentukan nilai SPP semester pertamanya.

    Dari rumus suku ke-8 kita peroleh :
    ⇒ Un = a + (n - 1)b
    ⇒ U8 = a + (8 - 1)b
    ⇒ 2.400.000 = a + (7)200.000
    ⇒ 2.400.000 = a + 1.400.000
    ⇒ a = 2.400.000 - 1.400.000
    ⇒ a = 1.000.000

    Dengan demikian total SPP selama 8 semester adalah :
    ⇒ Sn = n2 (a + Un)
    ⇒ S8 = 82 (a + U8 )
    ⇒ S8 = 4 (1.000.000 + 2.400.000)
    ⇒ S8 = 4 (3.400.000)
    ⇒ S8 = 13.600.000
    Jadi, total SPP adalah Rp 13.600.000,-
    Jawaban : E

  2. Diberikn suku banyak f(x) = x3 + 3x2 + a. Jika f ''(2), f '(2), dan f(2) membentuk barisan aritmatika, maka f ''(2) + f '(2) + f(2) sama dengan .....
    A. 37D. 63
    B. 46E. 72
    C. 51

    Pembahasan :
    Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus memahami konsep turunan pertama f '(x) dan turunan kedua f ''(x) dan konsep barisan aritmatika.

    Menentukan nilai f(2) :
    ⇒ f(x) = x3 + 3x2 + a
    ⇒ f(2) = 23 + 3(2)2 + a
    ⇒ f(2) = 8 + 12 + a
    ⇒ f(2) = 20 + a

    Menentukan nilai f '(2) :
    ⇒ f '(x) = d f(x)
    dx
    ⇒ f '(x) = d (x3 + 3x2 + a)
    dx
    ⇒ f '(x) = 3x2 + 6x
    ⇒ f '(2) = 3(2)2 + 6(2)
    ⇒ f '(2) = 12 + 12
    ⇒ f '(2) = 24

    Menentukan nilai f ''(2) :
    ⇒ f ''(x) = d f '(x)
    dx
    ⇒ f ''(x) = d (3x2 + 6x)
    dx
    ⇒ f ''(x) = 6x + 6
    ⇒ f ''(2) = 6(2) + 6
    ⇒ f ''(2) = 18
    Barisan = f ''(2), f '(2), f(2) = 18, 24, 20 + a.

    Karena f ''(2), f '(2), dan f(2) membentuk barisan aritmatika, maka :
    ⇒ f '(2) - f ''(2) = f(2) - f '(2)
    ⇒ 24 - 18 = 20 + a - 24
    ⇒ 6 = -4 + a
    ⇒ a = 10

    Dengan demikian jumlah ketiganya adalah :
    ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 18 + 24 + (20 + a)
    ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 42 + (20 + 10)
    ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 72
    Jawaban : E

  3. Diketahui suatu persamaan parabola y = ax2 + bx + c. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmatika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1, 12) sejajar dengan garis y = 6x, maka nilai (3a + 2b + c) sama dengan ....
    A. 14D. 20
    B. 16E. 22
    C. 18

    Pembahasan :
    Garis singgung di titik (1, 12) maka substitusikan nilai x = 1 dan y = 12.
    ⇒ y = ax2 + bx + c
    ⇒ 12 = a(1)2 + b(1) + c
    ⇒ 12 = a + b + c
    ⇒ a + c = 12 - b ...... 1)

    Konsep barisan aritmatika :
    U1 + U3 = 2 U2
    a + (a + 2b) = 2 (a + b)

    Dengan :
    ⇒ U1 = suku awal
    ⇒ U2 = suku kedua
    ⇒ U3 = suku ketiga

    Karena a, b, dan c membentuk barisan aritmatika dan jumlah ketiganya sama dengan 12, maka substitusi persamaan 1 ke persamaan berikut :
    ⇒ U1 + U3 = 2 U
    ⇒ a + c = 2b
    ⇒ 12 - b = 2b
    ⇒ 12 = 3b
    ⇒ b = 4

    Karena b = 4, maka :
    ⇒ a + c = 12 - b
    ⇒ a + c = 12 - 4
    ⇒ a + c = 8

    Sekarang kita tinjau persamaan gardien garis singgungnya :
    ⇒ m = dy
    dx
    ⇒ m = d (ax2 + bx + c)
    dx
    ⇒ m = 2ax + b

    Karena garis singung sejajar dengan garis y = 6x (gradiennya = 6), maka gradien garis singgung juga sama dengan 6. Ingat bahwa dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Dengan begitu, pada titik (1, 12) diperoleh : 
    ⇒ m = 2ax + b
    ⇒ 6 = 2a(1) + b
    ⇒ 6 = 2a + b

    Substitusikan nilai b = 4 yang sudah kita peroleh sebelumnya :
    ⇒ 6 = 2a + 4
    ⇒ 2a = 6 - 4
    ⇒ 2a = 2
    ⇒ a = 1
    Jadi, a = 1, b = 4, dan c = 8 - 1 = 7.

    Dengan demikian kite peroleh :
    ⇒ 3a + 2b + c = 3(1) + 2(4) + 7
    ⇒ 3a + 2b + c = 3 + 8 + 7
    ⇒ 3a + 2b + c = 18
    Jawaban : C


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment