Pembahasan SBMPTN Matematika Pertidaksamaan Trigonometri

Posted by on 28 October 2015 - 12:31 PM

  1. Jika 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos x - sin 2x < 0 adalah ....
    1. {x| π6 < x < π2}
    2. {x| π4 < x < π3}
    3. {x| π6 < x < π2}∪{x| 6 < x ≤ π}
    4. {x| π6 < x < π3}∪{x| 6 < x ≤ π}
    5. {x| π6 < x < π2}∪{x| 6 < x ≤ π}

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal di atas, maka kita perlu mengingat kembali rumus dasar atau identitas trigonometri berikut ini :
    sin 2x = 2 sin x. cos x

    Berdasarkan rumus di atas, maka bentuk pertidaksamaan di soal dapat disederhanakan menjadi :
    ⇒ cos x - sin 2x < 0
    ⇒ cos x - (2 sin x. cos x) < 0
    ⇒ cos x (1 - 2 sin x) < 0

    Sekarang kita lihat dulu penyelesaian untuk persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 untuk mendapatkan x yang menghasilkan nilai nol. Setelah kita peroleh x pembuat nol, maka kita bisa memeriksa tanda pertidaksamaannya.

    Persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 bisa bernilai nol jika salah satu faktor pengalinya bernilai nol. Jadi persamaan itu akan bernilai nol jika cos x = 0 atau (1 - 2 sin x) = 0.

    Untuk cos x = 0
    ⇒ cos x = 0
    ⇒ x = 90o atau x = 270o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka 270o tidak memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90
    ⇒ x = π2

    Untuk (1 - 2 sin x) = 0
    ⇒ 1 - 2 sin x = 0
    ⇒ 2 sin x = 1
    ⇒ sin x = ½
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka kedua nilai tersebut memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    ⇒ x = π6 atau x = 6

    Untuk pertidaksamaannya, kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x pembuat nol adalah π2π6, dan 6, maka kita bisa gunakan nilai uji x = 0, x = π3, x = 3, dan x = π.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 (1 - 2 sin 0) = 1> 0
    x = π3cos π3 (1 - 2 sin π3) = -0,36< 0
    x = 3cos 3 (1 - 2 sin 3) = 0,36 > 0
    x = πcos π (1 - 2 sin π) = 0= 0

    Karena pertidaksamaannya adalah kurang dari (perhatikan cos x (1 - 2 sin x) < 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai kurang dari nol. Berdasarkan tabel di atas, maka HP-nya berada di antara π6 dan π2 atau 6 dan π. Secara matematis dapat ditulis sebagai :
    ⇒ HP = {x| π6 < x < π2}∪{x| 6 < x ≤ π}
    Jawaban : E
  1. Untuk 0 ≤ x ≤ 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos πx6 ≥ ½ adalah ....
    1. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9
    2. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12
    3. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10
    4. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11
    5. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12

    Pembahasan :
    Dik : 0 ≤ x ≤ 12

    Kita tentukan dulu nilai x pembuat nol.
    ⇒ cos πx6 = ½
    ⇒ cos πx6 = cos π3
    πx6 = π3
    π6 x = 6
    ⇒ x = 2

    Nilai x lainnya :
    ⇒ cos πx6 = ½
    ⇒ cos πx6 = cos 10π6
    πx6 = 10π6
    π6 x = 10π6
    ⇒ x = 10

    Untuk menentukan HP pertidaksamaannya, kita gunakan nilai uji x = 0, x = 4, dan x = 12 dan substitusi ke cos πx6.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 = 1> 0
    x = 4cos 6 = -0,5< 0
    x = 12cos 12π6 = 1> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih dari sama dengan (perhatikan cos πx6 ≥ ½), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya lebih besar dari nol. Dengan demikian :
    ⇒ HP = {x| 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12}
    Jawaban : E


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment