Pembahasan SBMPTN Matematika Pertidaksamaan Trigonometri

Posted by on 28 October 2015 - 12:31 PM

  1. Jika 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos x - sin 2x < 0 adalah ....
    1. {x| π6 < x < π2}
    2. {x| π4 < x < π3}
    3. {x| π6 < x < π2}∪{x| 6 < x ≤ π}
    4. {x| π6 < x < π3}∪{x| 6 < x ≤ π}
    5. {x| π6 < x < π2}∪{x| 6 < x ≤ π}

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal di atas, maka kita perlu mengingat kembali rumus dasar atau identitas trigonometri berikut ini :
    sin 2x = 2 sin x. cos x

    Berdasarkan rumus di atas, maka bentuk pertidaksamaan di soal dapat disederhanakan menjadi :
    ⇒ cos x - sin 2x < 0
    ⇒ cos x - (2 sin x. cos x) < 0
    ⇒ cos x (1 - 2 sin x) < 0

    Sekarang kita lihat dulu penyelesaian untuk persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 untuk mendapatkan x yang menghasilkan nilai nol. Setelah kita peroleh x pembuat nol, maka kita bisa memeriksa tanda pertidaksamaannya.

    Persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 bisa bernilai nol jika salah satu faktor pengalinya bernilai nol. Jadi persamaan itu akan bernilai nol jika cos x = 0 atau (1 - 2 sin x) = 0.

    Untuk cos x = 0
    ⇒ cos x = 0
    ⇒ x = 90o atau x = 270o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka 270o tidak memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90
    ⇒ x = π2

    Untuk (1 - 2 sin x) = 0
    ⇒ 1 - 2 sin x = 0
    ⇒ 2 sin x = 1
    ⇒ sin x = ½
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka kedua nilai tersebut memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    ⇒ x = π6 atau x = 6

    Untuk pertidaksamaannya, kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x pembuat nol adalah π2π6, dan 6, maka kita bisa gunakan nilai uji x = 0, x = π3, x = 3, dan x = π.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 (1 - 2 sin 0) = 1> 0
    x = π3cos π3 (1 - 2 sin π3) = -0,36< 0
    x = 3cos 3 (1 - 2 sin 3) = 0,36 > 0
    x = πcos π (1 - 2 sin π) = 0= 0

    Karena pertidaksamaannya adalah kurang dari (perhatikan cos x (1 - 2 sin x) < 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai kurang dari nol. Berdasarkan tabel di atas, maka HP-nya berada di antara π6 dan π2 atau 6 dan π. Secara matematis dapat ditulis sebagai :
    ⇒ HP = {x| π6 < x < π2}∪{x| 6 < x ≤ π}
    Jawaban : E
  1. Untuk 0 ≤ x ≤ 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos πx6 ≥ ½ adalah ....
    1. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9
    2. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12
    3. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10
    4. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11
    5. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12

    Pembahasan :
    Dik : 0 ≤ x ≤ 12

    Kita tentukan dulu nilai x pembuat nol.
    ⇒ cos πx6 = ½
    ⇒ cos πx6 = cos π3
    πx6 = π3
    π6 x = 6
    ⇒ x = 2

    Nilai x lainnya :
    ⇒ cos πx6 = ½
    ⇒ cos πx6 = cos 10π6
    πx6 = 10π6
    π6 x = 10π6
    ⇒ x = 10

    Untuk menentukan HP pertidaksamaannya, kita gunakan nilai uji x = 0, x = 4, dan x = 12 dan substitusi ke cos πx6.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 = 1> 0
    x = 4cos 6 = -0,5< 0
    x = 12cos 12π6 = 1> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih dari sama dengan (perhatikan cos πx6 ≥ ½), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya lebih besar dari nol. Dengan demikian :
    ⇒ HP = {x| 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12}
    Jawaban : E


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment