Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru dan Contoh #9

Posted by on 17 March 2016 - 8:03 PM

Bagian 9 - Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat awal. Pada artikel sebelumnya, telah dibahas delapan rumus khusus yang dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru. Pada bagian kesembilan (#9) ini, kita akan belajar bagaimana cara menemukan rumus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya. Dengan kata lain, kita akan menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x13 dan x23).

Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru disusun berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Oleh karena itu kita, rumus jumlah dan hasil kali akar merupakan modal utama yang harus kita kuasai untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :
x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :
x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Dengan memanfaatkan rumus di atas, kita dapat menentukan persamaan kuadrat baru tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu.

Hanya dengan melihat jumlah akar dan hasil kali akar pada persamaan kuadrat awal, kita dapat menentukan persamaan kuadrat baru berdasarkan hubungan akar-akar dari kedua persamaan tersebut.

Prinsip kerja untuk menentukan persamaan kuadrat baru berdasarkan jumlah dan hasil kali akar cukup sederhana. Hal pertama yang harus kita lakukan adalah melihat nilai koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat awal yang diketahui.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal sesuai dengan harga a, b, dan c yang diketahui. Setelah itu, kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat barunya.

Jika jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru sudah diperoleh, maka kita tinggal menyusun persamaan kuadratnya sesuai dengan rumus umum di atas. Untuk lebih jelasnya, akan kita bahas pada rumus khusus.

Baca juga : Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru #8.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar (x13 dan x23)

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar sebelumnya (x13 dan x23) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :
  1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
  2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
  3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
  4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
  5. Susun persamaan kuadrat baru

Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru dan Contoh

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakukan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax2 + bx + c = 0

Jumlah akar : 
x1 + x2 = -b
a

Hasil kali akar :
x1 . x2 = c
a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ x13 + x23 = (x1 + x2)3  − 3x1.x2(x1 + x2)
⇒ x13 + x23 = (-b/a)3  − 3(c/a)(-b/a)
⇒ x13 + x23 = -b3/a3  + 3bc/a2

Hasil kali akar :
⇒ x13 . x23 = (x1 . x2)3 
⇒ x13 . x23 = (c/a)3
⇒ x13 . x23 = c3/a3

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-b3/a3  + 3bc/a2)x + c3/a3 = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a3 :
⇒ a3x2 + b3x − 3abcx + c3 = 0
⇒ a3x2 + (b3  − 3abc)x + c3 = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar sebelumnya (x13 dan x23) adalah :
a3x2 + (b3  − 3abc)x + c3 = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.


Kunjungi channel youtube kami "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus lainnya. Ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang umum dan sering keluar dalam soal.

Baca juga : Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru #7.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2  − 4x + 2 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x2  − 4x + 2 = 0
Dik : a = 1, b = -4, dan c = 2

Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-4)/1
⇒ x1 + x2 = 4

Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 2/1
⇒ x1 . x2 = 2

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar sebelumnya (x13 dan x23).

Jumlah akar :
⇒ x13 + x23 = (x1 + x2)3  − 3x1.x2(x1 + x2)
⇒ x13 + x23 = (4)3  − 3(2)(4)
⇒ x13 + x23 = 64 − 24
⇒ x13 + x23 = 40

Hasil kali akar :
⇒ x13 . x23 = (x1 . x2)3
⇒ x13 . x23 = (2)3
⇒ x13 . x23 = 8

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x13 dan x23) adalah :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (40)x + 8 = 0
⇒ x2 − 40x + 8 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar sebelumnya (x13 dan x23) dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :
a3x2 + (b3  − 3abc)x + c3 = 0

Dari soal diketahui a = 1, b = -4  dan c = 2, maka kita peroleh :
⇒ a3x2 + (b3  − 3abc)x + c3 = 0
⇒ 13x2 + {(-4)3  − 3(1)(-4)(2)}x + 23 = 0
⇒ x2 + (-64 + 24)x + 8 = 0
⇒ x2 + (-40)x + 8 = 0
⇒ x2 − 40x + 8 = 0 

Hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.

Baca juga : Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru #6.

Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube kami "Edukiper". Total ada sembilan (#1 s.d #9) pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements