Bagian 7 - Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan dari persamaan kuadrat awal. Pada artikel sebelumnya, kita telah mempelajari enam rumus khusus yang dapat kita gunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru sesuai dengan hubungan antar akar-akarnya. Pada bagian ketujuh (#7) ini, kita akan membahas bagaimana cara mendapatkan rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1).
Hasil dari jumlah akar dan hasil kali akar bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c di dalam persamaan kuadrat awal yang diketahui yaitu ax2 + bx + c = 0.
Nilai yang diperoleh dari jumlah dan hasil kali akar persamaan awal selanjutnya akan digunakan untuk menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akan disusun bergantung pada persamaan kuadrat awal yang diketahui sesuai dengan hubungan antar akar-akar kedua persamaan tersebut.
Secara sederhana, rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :
Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :
Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
Jika dikembangkan lebih lanjut berdasarkan rumus awal jumlah akar dan hasil kali akar, maka dari rumus umum persamaan kuadrat baru tersebut akan kita lihat suatu rumus khusus yang dapat kita manfaatkan untuk menjawab soal-soal setipe.
Dengan kata lain, terdapat beberapa bentuk-bentuk khusus yang paling sering keluar dalam soal persamaan kuadrat. Nah, dengan memenafaatkan rumus umum, kita bisa menurunkan rumus khusus untuk tiap-tiap bentuk.
Dengan rumus khusus, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru dengan lebih mudah dan dalam waktu yang lebih singkat. Akan tetapi, perlu diingat bahwa rumus khusus hanya berlaku untuk bentuk-bentuk tertentu dan kita harus menghafalnya agar tidak salah penggunaan.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #6.
Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.
Persamaan Kuadrat Awal :
ax2 + bx + c = 0
Jumlah akar :
Hasil kali akar :
Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ x1/x2 + x2/x1 = b2/ac − 2
Hasil kali akar :
⇒ x1/x2 . x2/x1 = 1
Selanjutnya kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (b2/ac − 2)x + 1 = 0
Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan ac :
⇒ acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0
Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1) adalah :
Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
Kunjungi channel youtube kami "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus lainnya. Ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang umum dan sering keluar dalam soal.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #5.
Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahasa soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.
Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x2 + 2x + 4 = 0
Dik : a = 1, b = 2, dan c = 4
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -2/1
⇒ x1 + x2 = -2
Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 4/1
⇒ x1 . x2 = 4
Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1).
Jumlah akar :
⇒ x1/x2 + x2/x1 = -1
Hasil kali akar :
⇒ x1/x2 . x2/x1 = (x1 . x2) /(x1 . x2)
⇒ x1/x2 . x2/x1 = 1
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1/x2 dan x2/x1 adalah :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-1)x + 1 = 0
⇒ x2 + x + 1 = 0
Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1) dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :
Dari soal diketahui a = 1, b = -2 dan c = 4, maka kita peroleh :
⇒ acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0
⇒ 1(4)x2 − {(-2)2 − 2.1.(4)}x + 1(4) = 0
⇒ 4x2 − (4 − 8)x + 4 = 0
⇒ 4x2 + 4x + 4 = 0
⇒ x2 + x + 1 = 0
Kita bisa lihat hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus atau cara yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #4.
Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube kami "Edukiper". Total ada sembilan (#1 s.d #9) pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.
Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Kunci utama dalam menyusun persamaan kuadrat baru adalah rumus jumlah dan hasil kali akar. Dengan memanfaatkan kedua rumus tersebut, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu.Hasil dari jumlah akar dan hasil kali akar bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c di dalam persamaan kuadrat awal yang diketahui yaitu ax2 + bx + c = 0.
Nilai yang diperoleh dari jumlah dan hasil kali akar persamaan awal selanjutnya akan digunakan untuk menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akan disusun bergantung pada persamaan kuadrat awal yang diketahui sesuai dengan hubungan antar akar-akar kedua persamaan tersebut.
Secara sederhana, rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :
| x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0 |
Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :
| x2 − (α + β) + α.β= 0 |
Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
Jika dikembangkan lebih lanjut berdasarkan rumus awal jumlah akar dan hasil kali akar, maka dari rumus umum persamaan kuadrat baru tersebut akan kita lihat suatu rumus khusus yang dapat kita manfaatkan untuk menjawab soal-soal setipe.
Dengan kata lain, terdapat beberapa bentuk-bentuk khusus yang paling sering keluar dalam soal persamaan kuadrat. Nah, dengan memenafaatkan rumus umum, kita bisa menurunkan rumus khusus untuk tiap-tiap bentuk.
Dengan rumus khusus, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru dengan lebih mudah dan dalam waktu yang lebih singkat. Akan tetapi, perlu diingat bahwa rumus khusus hanya berlaku untuk bentuk-bentuk tertentu dan kita harus menghafalnya agar tidak salah penggunaan.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #6.
Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar x1/x2 dan x2/x1
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yang diketahui, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :- Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
- Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
- Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
- Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
- Susun persamaan kuadrat baru
Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.
Persamaan Kuadrat Awal :
ax2 + bx + c = 0
Jumlah akar :
|
Hasil kali akar :
|
Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | x12 + x22 |
| x1 . x2 |
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | (x1 + x2)2 − 2x1.x2 |
| x1 . x2 |
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | (-b/a)2 − 2(c/a) |
| c/a |
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | b2/a2 − 2c/a |
| c/a |
Hasil kali akar :
| ⇒ x1/x2 . x2/x1 = | x1 . x2 |
| x1 . x2 |
Selanjutnya kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (b2/ac − 2)x + 1 = 0
Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan ac :
⇒ acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0
Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1) adalah :
| acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0 |
Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
Kunjungi channel youtube kami "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus lainnya. Ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang umum dan sering keluar dalam soal.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #5.
Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x + 4 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1).Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahasa soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.
Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x2 + 2x + 4 = 0
Dik : a = 1, b = 2, dan c = 4
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -2/1
⇒ x1 + x2 = -2
Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 4/1
⇒ x1 . x2 = 4
Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1).
Jumlah akar :
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | x12 + x22 |
| x1 . x2 |
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | (x1 + x2)2 − 2x1.x2 |
| x1 . x2 |
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | (-2)2 − 2(4) |
| 4 |
| ⇒ x1/x2 + x2/x1 = | 4 − 8 |
| 4 |
Hasil kali akar :
⇒ x1/x2 . x2/x1 = (x1 . x2) /(x1 . x2)
⇒ x1/x2 . x2/x1 = 1
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1/x2 dan x2/x1 adalah :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-1)x + 1 = 0
⇒ x2 + x + 1 = 0
Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1) dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :
| acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0 |
Dari soal diketahui a = 1, b = -2 dan c = 4, maka kita peroleh :
⇒ acx2 − (b2 − 2ac)x + ac = 0
⇒ 1(4)x2 − {(-2)2 − 2.1.(4)}x + 1(4) = 0
⇒ 4x2 − (4 − 8)x + 4 = 0
⇒ 4x2 + 4x + 4 = 0
⇒ x2 + x + 1 = 0
Kita bisa lihat hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus atau cara yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #4.
Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube kami "Edukiper". Total ada sembilan (#1 s.d #9) pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.