Pembahasan Soal Ujian Nasional Lingkaran

Posted by on 29 March 2016 - 8:49 AM

Ujian Nasional Matematika - Lingkaran. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang lingkaran. Biasanya, ada dua soal tentang persamaan lingkaran yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal lingkaran yang paling sering muncul adalah menentukan persamaan garis singgung lingkaran, menentukan persamaan lingaran jika diketahui pusat dan titik yang dilaluinya, dan menentukan persamaan garis singgung yang melalaui titi potong antara lingkaran dan garis.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Lingkaran

  1. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)2 + (y + 1)2 = 13 di titik yang berabsis -1 adalah ....
    1. 3x - 2y - 3 = 0
    2. 3x - 2y - 5  0
    3. 3x + 2x - 9 = 0
    4. 3x + 2y + 9 = 0
    5. 3x + 2x + 5 = 0

    Pembahasan :
    Pada soal diketahui bahwa garis menyinggung lingkaran di titik berabsis -1, itu artinya x = -1.

    Langkah pertama yang dapat kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = -1 ke persamaan lingkarannya untuk memperoleh nilai y dan koordinat titik singgungnya.
    ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 13
    ⇒ (-1 − 2)2 + (y + 1)2 = 13
    ⇒ (-3)2 + (y + 1)2 − 13 = 0
    ⇒ 9 + y2 + 2y + 1 − 13 = 0
    ⇒ y2 + 2y − 3 = 0
    ⇒ (y + 3)(y - 1) = 0
    ⇒ y = -3 atau y = 1
    Jadi titik singgungnya adalah (-1,-3) dan (-1,1).

    Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk umum x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, sebagai berikut :
    ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 13
    ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 13
    ⇒ x2 + y2 − 4x + 2y − 8 = 0
    Dik : a = ½(-4) = -2, b = ½(2) = 1, c = -8

    Persamaan garis singgung lingkaran untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 dapat ditentukan dengan rumus :
    x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

    Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
    Untuk titik (-1,-3) substitusi x1 = -1 dan y1 = -3 :
    ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
    ⇒ (-1)x + (-3)y + (-2)(-1 + x) + (1)(-3 + y) + (-8) = 0
    ⇒ -x − 3y + 2 − 2x − 3 + y − 8 = 0
    ⇒ -3x − 2y − 9 = 0
    ⇒ 3x + 2y + 9 = 0 

    Untuk titik (-1,1) substitusi x1 = -1 dan y1 = 1
    ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
    ⇒ (-1)x + (1)y + (-2)(-1 + x) + (1)(1 + y) + (-8) = 0
    ⇒ -x + y + 2 − 2x +  1 + y − 8 = 0
    ⇒ -3x + 2y − 5 = 0 

    Dari kedua persamaan di atas, yang ada pada opsi jawaban adalah 3x + 2y + 9 = 0.
    Jawaban : D

  1. Persamaan garis singgung malalui titik A(-2,-1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0 adalah ....
    1. -2x - y - 5 = 0
    2. x - y + 1 = 0
    3. x + 2y + 4 = 0
    4. 3x - 2y + 4 = 0
    5. 2x - y + 3 = 0

    Pembahasan :
    Cara I :
    Sebagai langkah awal, kita ubah persamaan lingkaran ke bentuk (x - a)2 + (y - b)2 = r2. Untuk mengubahnya kita dapat memanfaatkan konsep menyempurnakan kuadrat.
    ⇒ x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0
    ⇒ (x2 + 12x + 36 - 36) + (y2 - 6y + 9 - 9) + 13 = 0
    ⇒ (x2 + 12x + 36) + (y2 - 6y + 9) - 36 - 9 + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y -3)2 - 36 - 9 + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y -3)2 - 32 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y -3)2 = 32

    Selanjutnya kita tentukan persamaan garis singgungnya. Karena garis melalui titik A(-2,-1), maka substitusikan x1 = -2, dan y1 = -1 ke persamaan berikut :.
    ⇒ (x + 6)2 + (y -3)2 = 32
    ⇒ (x + 6)(x1 + 6) + (y -3)(y1 - 3) = 32
    ⇒ (x + 6)(-2 + 6) + (y -3)(-1 - 3) = 32
    ⇒ (x + 6)(4) + (y -3)(-4) = 32
    ⇒ 4x + 24 - 4y + 12 = 32
    ⇒ 4x - 4y + 36 - 32 = 0
    ⇒ 4x - 4y + 4 = 0
    ⇒ x - y + 1 = 0

    Cara II :
    Dari x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0
    Dik : a = ½(12) = 6, b = ½(-6) = -3, c = 13

    Persamaan garis singgung lingkaran untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 dapat ditentukan dengan rumus :
    x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

    Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
    Untuk titik (-2,-1) substitusi x1 = -2 dan y1 = -1 :
    ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
    ⇒ (-2)x + (-1)y + (6)(-2 + x) + (-3)(-1 + y) + 13 = 0
    ⇒ -2x − y − 12 + 6x + 3 − 3y + 13 = 0
    ⇒ 4x − 4y + 4 = 0
    ⇒ x − 2y + 1 = 0 
    Jawaban : B

  1. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x - 4y - 4 = 0 serta menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif adalah ...
    1. x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
    2. x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
    3. x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
    4. x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0
    5. x2 + y2 - 2x - 2y + 4 = 0

    Pembahasan :
    Karena menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, berarti lingaran berada di kuadran III.

    Pembahasan Soal Ujian Nasional Lingkaran

    Jika kita misalkan pusat lingkaran adalah (-a, -b), maka berlaku :
    r = |-a| = a
    r = |-b| = b
    Dengan demikian a = b.

    Dari soal, diketahui bahwa pusat lingkaran (-a,-b) terletak pada garis 2x - 4y - 4 = 0, maka substitusikanlah x = -a dan y = -b ke persamaan tersebut.
    ⇒ 2x - 4y - 4 = 0
    ⇒ 2(-a) - 4(-b) - 4 = 0
    ⇒ -2a + 4b - 4 = 0
    ⇒ -2a + 4b = 4

    Karena a = b, maka :
    ⇒ -2a + 4a = 4
    ⇒ 2a = 4
    ⇒ a = 2

    Karena a = 2, maka b = 2 dengan demikian kita peroleh titik pusat (-2,-2) dan jari-jari lingkaran r = |-2| = 2.

    Persamaan lingkaran yang diketahui pusat (a,b) dan jari-jari (r) dapat ditentukan menggunakan rumus berikut :
    (x - a)2 + (y - b)2 = r2

    Berdasarkan rumus tersebut, maka kita peroleh persamaan lingkaran :
    ⇒ (x - a)2 + (y - b)2 = r2
    ⇒ (x - (-2))2 + (y - (-2))2 = 22
    ⇒ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 22
    ⇒ x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4
    ⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 8 - 4 = 0
    ⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
    Jawaban : A

  1. Lingaran L = (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ...
    1. x = 2 dan x = -4
    2. x = 2 dan x = -2
    3. x = -2 dan x = 4
    4. x = -2 dan x = -4
    5. x = 8 dan x = -10

    Pembahasan :
    Langkah awal kita substitusikan nilai y = 3 ke persamaan lingkaran untuk mengetahui titik potongnya :
    ⇒ (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9
    ⇒ (x + 1)2 + (3 - 3)2 = 9
    ⇒ (x + 1)2 = 9
    ⇒ x + 1 = ±3
    ⇒ x = 3 - 1 = 2 atau x = -3 - 1 = -4
    Jadi titik potongnya (2,3) dan (-4,3)

    Selanjutnya, untuk mengetahui garis singgungnya, kita substitusikan titik yang sudah kita peroleh ke persamaan berikut :
    (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2

    Nilai a, b dan r kita peroleh dari persamaan lingkarannya.
    Dari  (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9
    Dik a = -1, b = 3 dan r = 3

    Karena ada dua titik, maka garis singgungnya kita lihat berdasarkan kedua titik tersebut.
    Untuk (2,3), substitusix1 = 2 dan y1 = 3
    ⇒ (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2
    ⇒ (x + 1)(2 + 1) + (y - 3)(3 - 3) = 9
    ⇒ 3x + 3 = 9
    ⇒ 3x = 9 - 3
    ⇒ 3x = 6
    ⇒ x = 2

    Untuk (-4,3), substitusi x1 = -4 dan y1 = 3 :
    ⇒ (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2
    ⇒ (x + 1)(-4 + 1) + (y - 3)(3 - 3) = 9
    ⇒ -3x - 3 = 9
    ⇒ -3x = 9 + 3
    ⇒ -3x = 12
    ⇒ x = -4
    Jadi, Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah adalah x = 2 dan x = -4.
    Jawaban : A
  1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (5,-1) dan berpusat di titik (2,3)adalah ....
    1. x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0
    2. x2 + y2 - 4x - 6y - 13 = 0
    3. x2 + y2 - 4x - 6y - 24 = 0
    4. x2 + y2 - 2x - 3y - 10 = 0
    5. x2 + y2 - 4x + 6y + 25 = 0

    Pembahasan :
    Persamaan umum lingkaran jika diketahui pusat (a,b) dan jari-jari r adalah :
    (x - a)2 + (y - b)2 = r2
    Dari soal kita ketahui a = 2, b = 3

    Karena melalui titik (5,-1), maka substitusikan x = 5 dan y = -1 untuk memperoleh jari-jari lingkaran :
    ⇒ (x - a)2 + (y - b)2 = r2
    ⇒ (5 - 2)2 + (-1 - 3)2 = r2
    ⇒ 9 + 16 = r2
    ⇒ 25 = r2
    ⇒ r = 5

    Karen jari-jari dan pusat sudah diketahui, maka persamaan lingkarannya adalah :
    ⇒ (x - a)2 + (y - b)2 = r2
    ⇒ (x - 2)2 + (y - 3)2 = 52
    ⇒ x2 -4x + 4 + y2 -6y + 9 = 25
    ⇒ x2 + y2 -4x -6y + 13 - 25 = 0
    ⇒ x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0
    Jawaban : A



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment