Pembahasan Soal Ujian Nasional Pertidaksaman

Posted by on 30 March 2016 - 4:20 PM

Ujian Nasional Matematika - Pertidaksamaan. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang pertidaksamaan. Setidaknya, ada satu atau dua soal tentang pertidaksamaan yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal pertidaksamaan yang paling sering muncul adalah menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen, menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma, menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, dan menyelesaikan pertidaksamaan harga mutlak.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Pertidaksamaan

  1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 10x + 21 < 0, x E R adalah ...
    1. {x| x < 3 atau x > 7, x E R}
    2. {x| x < -7 atau x > 3, x E R}
    3. {x| -7 < x < 3, x E R}
    4. {x| -3 < x < 7, x E R}
    5. {x| 3 < x < 7, x E R}

    Pembahasan :
    Berikut langkah-langah untuk mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat :
    1. Asumsikan pertidaksamaannya sebagai persamaan kuadrat
    2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut
    3. Gambarkan garis bilangan untuk nilai x yang diperoleh
    4. Gunakan titik uji untuk melihat penyelesaian pertidaksamaannya

    Berdasarkan tahap di atas, maka pertama kita ambil persamaan kuadratnya lalu kita tentukan akar-akarnya menggunakan pemfaktoran :
    ⇒ x2 - 10x + 21 = 0
    ⇒ (x - 7)(x - 3) = 0
    ⇒ x = 7 atau x = 3

    Selanjutnya gambarkan garis bilangan dengan titik-titik sesuai nilai x yang kita peroleh lalu lakukan pengujian. Sebagai titik uji kita ambil nilai x = 0, x = 4, dan x = 8.

    Untuk x = 0
    ⇒ x2 - 10x + 21 < 0
    ⇒ 02 - 10(0) + 21 < 0
    ⇒ 21 < 0 (Salah)

    Untuk x = 4
    ⇒ x2 - 10x + 21 < 0
    ⇒ 42 - 10(4) + 21 < 0
    ⇒ 16 - 40 + 21 < 0
    ⇒ -3 < 0 (Benar)

    Untuk x = 8
    ⇒ x2 - 10x + 21 < 0
    ⇒ 82 - 10(8) + 21 < 0
    ⇒ 64 - 80 + 21 < 0
    ⇒ 5 < 0 (Salah)

    ++++++++- - - - - - -+++++++
    3
    7

    Berdasarkan pengujian di atas, maka daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada di antara 3 dan 7. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaannya adalah :
    {x| 3 < x < 7, x E R}
    Jawaban : E

  1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x - 6.5x+1 + 125 < 0, x E R adalah ....
    1. 1 < x < 2
    2. 5 < x < 25
    3. x < -1 atau x > 2
    4. x < 1 atau x > 2
    5. x < 5 atau x > 25

    Pembahasan :
    Berikut langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan eksponen seperti di atas :
    1. Ubah bentuk eksponen menjadi pangat x sehingga terbentuk persamaan kuadrat
    2. Misalkan bilangan pakat x sebagai variabel p untuk menyederhanakan persamaan kuadrat yang terbentuk
    3. Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya
    4. Kembalikan nilai akar (p) ke pemisalan sebelumnya 
    5. Gambarkan garis bilangan sesuai dengan nilai x
    6. Lakukan pengujian untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan

    Langkah apertama kitasumsikan pertidaksamaan sebagai persamaan, lalu kita sederhanakan sebagai berikut :
    ⇒ 52x - 6.5x+1 + 125 = 0
    ⇒ (5x)2 - 6.5x.51 + 125 = 0
    ⇒ (5x)2 - 30.5x + 125 = 0

    Selanjutnya kita misalkan 5x = p, sehingga :
    ⇒ (5x)2 - 30.5x. + 125 = 0
    ⇒ p2 - 30p + 125 = 0
    ⇒ (p - 25)(p - 5) = 0
    ⇒ p = 25 atau p = 5

    Selanjutnya kembalikan nilai p ke dalam pemisalan sebelumnya.
    Untuk p = 25
    ⇒ 5x = p
    ⇒ 5x =25
    ⇒ 5x = 52
    ⇒ x = 2

    Untuk p = 5
    ⇒ 5x = p
    ⇒ 5x = 5
    ⇒ 5x = 51
    ⇒ x = 1

    Gambarkan nilai x ke garis bilangan lalu lakukan pengujian untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Untuk mengujinya kita bisa gunaan x = 0, x = 3/2, dan x = 3.

    Untuk x = 0
    ⇒ 52x - 6.5x+1 + 125 < 0
    ⇒ 52(0) - 6.50+1 + 125 < 0
    ⇒ 50 - 6.51 + 125 < 0
    ⇒ 5 - 30 + 125 < 0
    ⇒ 100 < 0 (Salah)

    Untuk x = 3/2
    ⇒ 52x - 6.5x+1 + 125 < 0
    ⇒ 52(3/2) - 6.53/2+1 + 125 < 0
    ⇒ 53 - 6.55/2 + 125 < 0
    ⇒ 125 - 6.55/2 + 125 < 0
    ⇒ -6.55/2 < 0 (Benar)

    Untuk x = 3
    ⇒ 52x - 6.5x+1 + 125 < 0
    ⇒ 52(3) - 6.53+1 + 125 < 0
    ⇒ 56 - 6.54 + 125 < 0
    ⇒ 15625 - 3750 + 125 < 0
    ⇒ 1200 < 0 (Salah)


    ++++++++- - - - - - -+++++++
    1
    2

    Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada antara 1 dan 2, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaannya adalah : 1 < x < 2.
    Jawaban :  A

  1. Nilai-nilai x dalam interval berikut yang memenuhi pertidaksamaan :
    4x - x2  ≥ 0 adalah ....
    x2 + 2
    1. -2 ≤ x < -1
    2. -2 ≤ x < 3
    3. 0 ≤ x < 4
    4. x ≤ 2
    5. x ≥ 2

    Pembahasan :
    Penyebut dari pertidaksamaan di atas yaitu x2 + 2 merupakan definit positif artinya selalu bernilai positif untuk setiap nilai x bilangan real.

    Dengan demikian, kita hanya perlu melihat pembilangnya :
    ⇒ 4x - x2 ≥ 0
    ⇒ x(4 - x) ≥ 0

    Kita asumsikan sebagai persamaan :
    ⇒ x(4 - x) = 0
    ⇒ x = 0 atau x = 4

    Gambarkan ke garis bilangan dan uji. Kita ambil x = -1, x = 1, dan x = 5
    Untuk x = -1
     ⇒  4x - x2  ≥ 0 
    x2 + 2
     ⇒  4(-1) - (-1)2  ≥ 0 
    (-1)2 + 2
     ⇒  -5  ≥ 0 (Salah)
    3

    Untuk x = 1
     ⇒  4x - x2  ≥ 0 
    x2 + 2
     ⇒  4(1) - (1)2  ≥ 0 
    (1)2 + 2
     ⇒  3  ≥ 0 
    3
    ⇒ 1 ≥ 0 (benar)

    Untuk x = 5
     ⇒  4x - x2  ≥ 0 
    x2 + 2
     ⇒  4(5) - (5)2  ≥ 0 
    (5)2 + 2
     ⇒  -5  ≥ 0 (Salah)
    27

    ---------+++++++---------
    0
    4

    Berdasarkan pengujian di atas, maka daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada di antara 0 dan 4. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaannya adalah : {x| 0 ≤ x ≤ 4}.
    Jawaban : C

  1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan -x2 + 4x + 5 ≤ 0 adalah ....
    1. {x| -5 ≤ x ≤ -1}
    2. {x| -1 ≤ x ≤ 5}
    3. {x| -1 < x < 5}
    4. {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5}
    5. {x| x < -1 atau x > 5}

    Pembahasan :
    Kita tentukan akar-akar persamaannya :
    ⇒ -x2 + 4x + 5 = 0
    ⇒ (-x + 5)(x + 1) = 0
    ⇒ x = 5 atau x = -1

    Gambar garis bilangan dan ujia dengan x = -2, x = 0, dan x = 6.
    Untuk x = -2
    ⇒ -x2 + 4x + 5 ≤ 0
    ⇒ -(-2)2 + 4(-2) + 5 ≤ 0
    ⇒ -4 - 8 + 5 ≤ 0
    ⇒ -7 ≤ 0 (Benar)

    Untuk x = 0
    ⇒ -x2 + 4x + 5 ≤ 0
    ⇒ -(0)2 + 4(0) + 5 ≤ 0
    ⇒ 0 + 5 ≤ 0
    ⇒ 5 ≤ 0 (Salah)

    Untuk x = 6
    ⇒ -x2 + 4x + 5 ≤ 0
    ⇒ -(6)2 + 4(6) + 5 ≤ 0
    ⇒ -36 + 24 + 5 ≤ 0
    ⇒ -7 ≤ 0 (Benar)

    --------+++++++---------
    -105

    Dari pengujian di atas, maka penyelesaian pertidaksamaannya adalah : {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5}
    Jawaban : D

  1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x - 2|2 < 4|x - 2| + 12 adalah ...
    1. x > 8
    2. -4 < x < 8
    3. -8 < x < 4
    4. x < -8 atau x > 0
    5. x > 4

    Pembahasan :
    Pertidaksamaan di atas merupakan pertidaksamaan nilai mutlak. Untuk itu, berikut sifat dasar dari harga mutlak yang harus kita pahami :

    Pembahasan Soal Ujian Nasional Pertidaksaman

    Pertidaksamaan Nilai mutlak
    ⇒ |x - 2|2 < 4|x - 2| + 12
    ⇒ |x - 2|2 - 4|x - 2| - 12 < 0

    Asumsikan persamaan :
    ⇒ |x - 2|2 - 4|x - 2| - 12 = 0

    Misalkan |x - 2| = a
    ⇒ |x - 2|2 - 4|x - 2| - 12 = 0
    ⇒ a2 - 4a - 12 = 0
    ⇒ (a - 6)(a + 2) = 0

    Substitusi nilai a =  |x - 2|
    ⇒ (|x - 2| - 6)(|x - 2| + 2) = 0

    Karena |x - 2| + 2 merupakan definit positif yaitu selalu bernilai positif untuk semua nilai x real, maka kita harus meninau bagian |x - 2| - 6.
    ⇒ |x - 2| - 6 < 0
    ⇒ (x - 2 + 6)(x - 2 - 6) < 0
    ⇒ (x - 8)(x + 4) < 0
    ⇒ x < 8 atau x > -4
    Jadi, nilai x yang memenuhi adalah -4 < x < 8.
    Jawaban : B



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment